第1课时一元二次方程

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1、精品文档第1课时一元二次方程(1)1、使学生了解一元二次方程的意义。2、通过提供实际问题的情境，让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识的实际意义。3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。一、自主学习感受新知【问题1有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？【分析】设宽为x米，则列方程得：x(x+10)=900;整理得x2+10x-900=0【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增

2、加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。【分析】设这两年的年平均增长率为x,则列方程得：5(1+x)2=7.2;整理得5x2+10x-2.2=0【问题2学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【分析】全部比赛共4X7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它(x-1)1,1队各赛1场，全场比赛共一x(x1)场，列方程得：一x(x1)=28；22整理得x2-x-56=0二、自主交流探究新知【探究】(1)上面三个方程左右两边是含未知数的整式(填“整式”“分式”“无理式”);(2)方程整理后

3、含有一个未知数;(3)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是二次。【归纳】1、一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个求知数(一元)，并且求知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0(aw0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项，正是二次项系数，b1是一次项，b是一次项系数，c是常数项。【注意】方程ax2+bx+c=0只有当aw0时才叫一元二次方程，如果a=0,bw。时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含aw0这个条件。【补充练习】判断下

4、列方程，哪些是一元二次方程？(1)x32x2+5=0;(2)x2=1;(3)5x2-2x-=x2-2x+-；(4)2(x+1)2=3(x+1);45(5)x22x=x2+l;(6)ax2+bx+c=0三、自主应用巩固新知四、自二朝帆新如次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.1例岸0触教2珈科2=02+为x-匏z(死2程=?1速燕牛，元否称天稠一般璐x2+bx+C=0i蓼为bx+c=0,州弟是次先匚知棘I系数；一次项、一次项系数；常数项b学取，全均凝理丽的叫娜索族公式摸项系嬷+曾就(xt抽x+2睚带为北痴段x2+bx+c=0(aw0)的形式.五、慨呗I号P2812567(课堂内外

5、对应练习)教学理念/教学心思x2+2x+1+x2-4=1移项合并同类项，得：2x2+2x-4=0其中二次项是2x2,二次项系数是2,一次项是2x,一次项系数是-8,常数项是-10。【例3】求证：关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值，该方程都是一元二次方程.【分析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17?w0即证明：m2-8m+17=(m-4)2+1(m-4)2力(m-4)2+10,即(m-4)2+1w0不论m取何值，该方程都是一元二次方程.【例1】将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一

6、次项系数及常数项.【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(aw0).因此，方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等.解：去括号，得：3x2-3x=5x+10移项合并同类项，得：3x2-8x-10=0其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10。【练习】P2712四、自主总结拓展新知1、aw0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0,就不是一元二次方程。2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。五、课堂作业P2812567(课堂内外对应练习)教学理

7、念/教学反思第2课时一元二次方程(2)学习目标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。学习重点一元二次方程解的探索。学习难点一元二次方程近似解的探索。一、自主学习感受新知【问题1把方程3x(x1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么? x2+4x+2=0 x x22xy3=0 x2+3x2= x2 a x2+bx+c=0精品文档二、自主交流探究新知【探究】猜测方程x2-x-56=0的解是什么?【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作

8、一元二次方程的解,又叫作元二次方程的根.【问题3】下面哪些数是方程2x2+i0x+12=0的根？-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可.解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元次方程2x2+l0x+12=0的两根.【问题4认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。x2-16=0(x+3)(x-2)=0(x-2)2=49x2-2x+1=25【分析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题.(x+3)(

9、x-2)=0 -x+3=0 或 x-2=0x=-3 或 x=2. x2-2x+1=25(x-1)2=25x-1= i5x=6 或 x=-4解：x2-16=0,x=16x=4.(x-2)2=49x-2=立x=9或x=-5三、自主应用巩固新知【例1】若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根，你能求出a的值吗？【分析】根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a的一元一次方程，进而解即可.解：=x=2是方程ax2+4x5=0的一个根-4a+8-5=0,解之得：a4【例2】若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的一个根，求

10、代数式2007(a+b+c)的值。【分析】如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解。解：丁x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根a+b+c=0，2007(a+b+c)=0【练习】P2812四、自主总结拓展新知1、一元二次方程根的概念；2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根；3、要会用一些方法求一元二次方程的根.五、课堂作业P28348(课堂内外对应练习)【补充练习】1、方程x(x-1)=2的两根为1A.xi=0,x2=1B.xi=0,x2=-1C.xi=1,x2=2D.xi=-1,x2=22、方程x

11、2-81=0的两个根分别是x1=,x2=.3、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为.4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)有一个根为1,则a+b+c=;若有一个根是-1,则b与a、c之间的关系为;若有一个根为0,则c=。5、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求(a-b)2+4ab的值.第3课时解一元二次方程一一配方法(1)学习目标1、使学生会用直接开平方法解一元二次方程。2、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。学习重点掌握直接开平方法解一元二次方程。学习难点灵活运用直接开平方法解一元二次方程。一、自主学习感受新知【问题1一桶某种油漆可刷的面积为1500d

12、m2,小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为前dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程：10X6x2=1500由此可得：x2=25根据平方根的意义，得x=5即x1=5,x2=-5可以验证5和立是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dmo二、自主交流探究新知【探究】对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为2x-1=V5,即将方程变为2x-1=5和2x-1

13、=-V5两个一元一次方程，151-5从而得到方程(2x-1)=5的两个解为x1=,x2=。在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x+3)2=4,进行降次，得到x+3=2,方程的根为x1=-1,x2=-5o【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.即，如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p(p0)的形式，那么可得x=Jp或mxn二p.三、自主应用巩固新知例1解下列方程：2y2=82(x-8)2=50(2x-1)2+4=04x2-4x+1=0

14、【分析】引导学生观察以上各个方程能否化成x2=p或(mx+n)2=p(p之0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解。解：2y2=82(x-8)2=50y2=4(x-8)2=25y=+2x-8=5y1=2,y2=-2x-8=5或x-8=-5.xi=13,x2=-3(2x-1)2+4=04x2-4x+1=0(2x-1)2=-40)#p0?五、课堂作业P421(课堂内外对应练习)教学理念/教学反思第4课时解一元二次方程一一配方法(2)学习目标1、会用配方法解数字系数的一元二次方程。2、掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能学习重点掌握配方法解一元二次方

15、程。学习难点把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程。一、自主学习感受新知【问题1填空(1)x2-8x+16=(x-4)2；(2)9x2+l2x+4=(3x+2)2；2(3)x2+px+|=(x+)2.2_【问题2】若4x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值是12。【问题3要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm,则长为(x+6)m,根据矩形面积为16m2,得到方程x(x+6)=16,整理得到x2+6x16=0。二、自主交流探究新知【探究】怎样解方程x2+6x-16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=2,可以发现方程

16、x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项得：x2+6x=166o两边都加上9即(一)，使左边配成x+bx+b的形式，得：2x+6x+9=16+9左边写成平方形式，得：(x+3)2=25x+3=5(降次)即x+3=5或x+3=-5解一次方程，得：x1=2,x2=-8【归纳】通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程三、自主应用巩固新知【例1】用配方法解下列方程：x2-8x+1

17、=0x2-4x+1=09x2+6x-3=0【分析】显然这两个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式。解：x2-8x+1=0x2-4x+1=09x2+6x-3=0移项得：移项得：移项得：x2-8x=-1x2-4x=-19x2+6x=3配方得：配方得：配方得：x2-8x+16=-1+16x2-4x+4=-1+49x2+6x+1=3+1即(x-4)2=15即(x-2)2=3即(3x+1)2=4两边开平方得：两边开平方得：两边开平方得：x-4=二.15x-2=二.33x+1=2Xi=4+v15,xi=2+V3X2=4-15X2=2-31X1 = -,3X2= -1例2如图，在

18、RtAACB中，/C=90,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B?两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s,?几秒后PCQ?的面积为RtAACB面积的一半.【分析】设x秒后PCQ的面积为RtAABC面积的一半，PCQ也是直角三角形.根据已知列出等式.解：设x秒后PCQ的面积为RtAACB面据题可列方程：1(8-x)(6-x)=1X1X8X6222即：x2-14x+24=0(x-7)2=25积的一半.根x-7=5,x1=12,x2=2x1=12,x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去.答：2秒后4PCQ的面积为RtAACB面积的一半.【练习】P3412(12)四、自主总结拓展新知x的完全平方形式,左边不是含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.五、课堂作业P4223(12)(课堂内外对应练习)教学理念/教学反思