幂零矩阵性质及应用

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1、0.证实:Q A为幕零矩阵s.tAk令0为A任意一个特征值,那么0, s.t幂零矩阵性质及应用性质1: A为幕零矩阵的充要条件是 A的特征值全为J1J2丄L , Js为幕零矩阵得证由引理7知,；为Ak的特征值0s.t Ak从而有=0即有又有Ak 0,知00* E AAkAk(1)k A(1)k00为A的特征值.由0的任意性知,A的特征值为Q A的特征值全为0A的特征多项式为f ()由引理2知,f (A) An所以A为幕零矩阵.得证性质2： A为幕零矩阵的充要条件为trAk证实： Q A为幕零矩阵,由性质A的特征值全为0 即由引理7,知kA的特征值为从而有ktrA由,kktrA 12k L(1.

2、1)2,L L ,t为A的不为0的特征值且i互不相同重数为ni (i 1,2,L L ,t)由(1.1 )式及引理7,得方程组n1 1n2 2Lnt t02厲12n2 2Lntt2 033L3n1 1门2 2ntt 0(1.2)L Lt n1 1t 门22Lnttt0由于方程组(1.2 )的系数行列式为12Lt11 L1B2 2 | 212Lt1 2 L t12 LtM M LMM M LMt t l t12 Jtt t L t12tt(又i (i 1,2丄L t)互不相同且不为从而知,方程(1.2)只有0解,即ni(i1,2丄L ,t)即A没有非零的特征值A的特征值全为0,由性质1,得 性质

3、3:假设A为幕零矩阵那么A的假设当标准形 证实：A为幕零矩阵,由引理3,为幕零矩阵得证J的假设当块为幕零假设当块,且 由性质1,知 A的特征值全为0在复数域上,存在可逆矩阵 T,使得J和主对角线上的元素为0J1T 1ATJ2Js其中Ji阶数为 m(i 1,2,l ,s)由引理4,i(i1,2丄,s)为J和特征值j)又A与J相似,由引理6,知A与J有相同的特征值所以i 0(i1,2,L ,s) 即J的主对角线上的元素全为0n n 由引理 8,知 Ji 0gE) i (Ji) i 0 (i 1,2,L ,s)性质4:假设A为幕零矩阵,A 一定不可逆但有 A E证实：Q A为幕零矩阵,ks.tAk

4、0AkA 一定不可逆由性质得 A的特征值为由引理7,A E, EA的特征值分别为1, 1且有AgL1ncL1n得证性质5:假设AE为幕零矩阵,那么 A非退化证实：令2,L L ,的特征值假设A退化,那么有由引理7, 得1 2gL L g n至少存在i0 =0为A的特征值又由引理7,得i 110为A E的一特征值0这与A E为幕零矩阵矛盾得证A为非退化性质6：假设A为幕零矩阵,B为任意的n阶矩阵且有 AB BA,那么AB也为幕零矩阵.即与幕零矩阵可交换的矩阵也是幕零矩阵k证实：Q A为幕零矩阵k Z s.t A 0又 AB BA(AB)k AkBk 0 Bk 0AB也为幕零矩阵得证性质7:假设A

5、为幕零矩阵且 Ak 0,那么(1)(E A) 1 E A A2 L L Ak 12mEA) 1丄Em12AmAa2mL L(1)k11k 1rAk1 (m 0) m证实：Q Ak0E EAkEk Ak(EA)(EA A2L LAk 1)即EA) 1E AA2 LL Ak1任意m0,有mEmEAk mE k AkmE k(-)kmm(E)(E11 A12 A2L L(1)k1 1,k1 )mmmm(mEA)(EaA A2L L(1)kAk1)mmm即有mE111 2k 11k 1A)(E1 A2 AL L(1)a rk 1 A)Emmmm1 1 (E11 2k 11k 1(mEA)1 A2 AL

6、 L(1)k 1 A)mmmmE12A -13A2 LL (1)k11 Ak 1 k Amm mm性质&假设A为幕零矩阵且 A 0,那么A不可对角化但对任意的n阶方阵B,存在幕零矩阵 N,使得B N可对角化证实：Q A为幕零矩阵k Z s.t Ak 0且A的特征值全为零f E A n为A的特征多项式且fA An 0令mA为A的最小多项式,那么有 mA | f 从而有口人ko 1 k nk由于A 0 , k0 1,又此时mA 0ko 2即A的最小多项式有重根,由引理5,知A不可对角化Q B为n阶方阵由引理3,知在复数域上,存在可逆矩阵T,使得J1iT 1BTJ2其中 J iJs令 Di阶数为ni

7、(i那么有 J iJiDi由引理 8,知 (J iEni)ni(Ji)niJ1现令 JJ2J1JsJ1D1T 1 BTJ2Js即 B T (JD)TTJ T又 D 为对角阵,由(1)式知令 N=TJT1且取JkNkJ1kJ2k1,2,L, s)阶数为 ni (i 1, 2,L , s)阶数为 ni (i1,2,L , s)D1J2TDT 1B TJ T 1max( n1, n2,L L( TJ T 1)k ( )kT(J )kT 1 ( )k T即JiD2D2OL (1)TDT,ns)J1 kJ2k为幂零矩阵 (i1,2, L ,s)JsDsDs11 可对角化那么有T1( )kT 0T 1 0

8、Jsk即有 B N 可对角化且 N 为幂零矩阵 得证性质9： n阶幕零矩阵的幕零指数小于等于n且幕零指数等于其假设当形矩阵中阶数最高的假设当块的阶数证实；令 A 为 n 阶幂零矩阵由性质 3 知,存在可逆矩阵使得J1T 1 ATJ2Js其中 Ji阶数为 nii1,2,L ,s)且 (J i )nini(i 1,2,L,s)取 k max( ni,n?丄 L , n$),那么 k n且有J1kJ2Ak (T2TOJs即 Ak01)k TJ2kOkJskJ1k11T 1 T oT 1 o L (1.5)假设令ko为A的幕零指数,那么kok nAkoo假设 ko k ,那么 ios.tnioko且

9、Jioko由 1.5式,得J1koJ1koA o (TJ21)koJ2koJskos这与 Akoo 矛盾.ko得证性质10：与幕零矩阵相似的矩阵仍为幕零,且幕零指数相同并相似于严格上三角形 证实：令 A 为幂零矩阵,那么 A 的特征值全为 o假设B与A相似 由引理6,得 A与B有相同的特征值B的特征值也全为0,由性质1,知B也为幕零矩阵A 为幂零矩阵由性质 3 知, 存在可逆矩阵 T 使得J1T 1ATJJ2OJs01其中 JiOOO1阶数为 ni(i1,2,L ,s)0且 (J i )ni01ni n(i 1,2,L,s)由性质 9,知kAmax(n1 ,n2,L L,ns)为A的幕零指数又

10、 A 与 B 相似, A 与 J 相似从而有 B 也与 J 相似J1可逆矩阵 P使得 P 1BP JJ2OJs又由性质 9,kBmax(n2 ,L L ,ns)为B的幕零指数从而有kAkB(i 1,2,L ,s) 为严格上三角J1性质11：假设J2也为严格上三角形Js都相似于严格上三角形得证为幂零矩阵,那么 A,A, A, mA(m Z ) 都为幂零矩阵,特别有2(A )20证实：Q A 为幂零矩阵kZs.tAk 0由引理 1,知(A)k(Ak)00(A )k (Ak)00(A)k ( 1)k Ak ( 1)k 0 0A , A , A都为幕零矩阵kk kk(mA) (m) A (m)00mA

11、(m Z )也为幕零矩阵又Q A为幕零矩阵A 0 即r(A) n 1假设 r(A) n1,那么有A的所有n1阶代数余子式都为 o那么有 A 0 从而有A 2 A 0假设rA n 1,那么由性质3知,T 1ATJ1J2JOJs0其中Ji1 O阶数为OO1 0又显然A与J,所以有存在可逆矩阵T,使得ni(i1,2,l , s)且 r(Ji) ni 1ssr(A) r(J) r(Ji) gi 1i 11s 1即有T AT J0 L L ( 1)n 1又BOMOM0由1.3式及引理1,知 As1) nj s n s n 1i 101 O小小B (1.3)O O1 02(B )01 1(TBT ) (T

12、 ) BT(A )2 (T 1) B T 2 (T 1) (B )2T0 得证21、A为实对称矩阵且 A0,那么有A 0Dn 1 ()证实：令A (aj)n n,那么由A实对称n n且 A2 A Aaij20i 1 j 1又 aj 为实数aj 0 i, j 1,2, ,n即 A 02、所有n阶幕零指数等于其阶数的幕零矩阵都是相似证实：令A为n阶n次幕零矩阵即An 0 Ak0(k n)A的最小多项式m A ()又A幕零矩阵A的特征值全为0A的特征多项式为f ()E ADn()由引理9,知 dn()mA()n又dn()Dn()Dn 1()nDn 1()1从而有dn 1()d2()d1()1所以所有

13、的n阶n次幕零矩阵的不变因子都是1,1,1,所以所有n阶幕零指数等于其阶数的幕零矩阵都相似3、所有n阶n 1次幕零矩阵相似(n 1为幕零指数)证实：令A为n阶n 1次幕零矩阵,那么An 1 0 Ak 0(k n 1)A的最小多项式 m a ( ) n 1又A幕零矩阵A的特征值全为0DnA的特征多项式为又dn()罟1()Dndn()又f()从而有 dn 1()dn 2()d2( ) d1( )1所以所有n阶n 1次幕零矩阵具有相同不变因子1,1,1, , n 1所以所有n阶n 1次幕零矩阵都相似1、设n阶方阵,k求证：1存在k Z,使得rA k 1、r(A )证实：1、由引理jT 1AT2存在k

14、 Z,而且1 kr(Ak)r(Akk s、r(A )在复数域上,可逆矩阵使得OJs(1.4)其中Ji阶数为ni i 1,2,s,Jt0的假设当块i1,2,t2,0的假设当块1,t2,s由于Ji由引理8, 得(Ji)ni且(Ji)nii 1,2,tJi(J)max( nn2,nji 1,2,tni i0 即J i可逆 it 1,t2,s(J)ir 0有 r(Jir)r(Ji)ni1,t2,s由1.4式,知A与J相似,且J1P(T1AT)P T1APT T 1Jt从而,得Ap与J p相似,Jt 1psss综上可得,r(Ak)r(Jk)i 1r(Jik)r(Jik)i t 1r(Jik P)i t

15、1且 k max(,n2,nJp Z即得证r(Ak)r(Ak 1)r(Ak s)2、A,证实：由引理10,在复数域上,存在可逆矩阵T,使得T 1AT1BT又B为幕零矩阵所以B的特征值全为(2 )、由(1)知,kmax( n1, n 2,nJ使得k、r(A )kr( A1)r(A )又1nin i1,2,t1k n得证特别当r(A)r(A2)时,可得r(A)2134r(A ) r(A ) r(A )ABB为n阶方阵,B为幕零矩阵且 ABBA,那么有1T 1(AB)TT 1A BTT 12T 1BTT 1(AB)T1AT T 1BT又 T可逆由 T 1ATn为A的特征值由引理7,从而得证3、A为n

16、阶方阵,求证 证实：由性质3,知存在幕零矩阵N,B可对角化,C为幕零矩阵且BC CB即存在可逆T,即有A TDT由性质11,知使得A使得 T1( N)N可对角化1(AN)TN幕零矩阵那么-N也幕零矩阵又TDT 1与D相似,TDT11可对角化令 B TDT 1 CN,那么有ABC1B TDT 1可对角化N为幕零矩阵又 D为对角阵1 1BC TDT C TT DCDC CD CDTT1CTDT CB得证4、A,B,C为n阶方阵,且ACCABCCBC AB BA,证实：存在自然数 k n：,s.tCk0证实：由于AC CA BCCBCABBA,m ZCm Cm 1(AB BA)A(Cm 1B) (C

17、Cm 1ABm 1B)ACm1BAA(Cm 1B) (BCm 1)A由引理 11,得tr(A(Cm 1B) tr (BC m 1)A)21tr(Cm)tr(A(Cm 1B) (BCm 1)A) tr(A(Cm 1B)tr (BC m 1)A) 0由性质2,得 C 为幂零矩阵由性质9,n,s.t C k 0 得证5、在复数域上,n 阶方阵 A 相似于对角阵等价于对于 A 的任一特征值,有 AE 与 (AE )2 的秩相同.证实：由于 A 对角化,那么存在可逆矩阵T,使得1AT从而有T 1( AE )TT 1( AE)2TO(n)2所以 T1(AE)T 与 T1(AE )2T 相同与(A E)2的

18、秩相同由于在复数域上,存在可逆矩阵 TJ1J2OJsT 1AT其中Ji使得i1OO阶数为ni(i 1,2,L , s)假设 J i (i1,2,L,s)不全为对角阵,那么不妨令J1En(J1OOO1 0 0从而知J1T 1( AJ1不可对角化,且有 ni1,有21En1 的秩大 于 (J1 En1)2 的 秩, 即 有 T 1(AE)T 的 秩大 于E )2T 的秩也即A E的秩大于AE2的秩,这与矛盾所以所有Ji i1,2丄,s为对角阵,从而得证A相似于对角阵x y 0 例OxyA0 0 00 0 0主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆xy0001000001000解A0xy00010000

19、0100xy000xy00010000010000x0000100000nnxE yJ其中Jn且有J(xE解:其中yJn)a2aJnxJ：1n1)nxanan 1特别的也是n aan 1aJna2Jn2anJyx1x01)n1)nn 11 ynxn 22 yxM1x可表为假设当块的幕的矩阵和逆0 1 00 0 10 0 00 0 000000100n n1 0 00 1 0E0 0 00 0 00 10 0A 1 E aJn E a0 00 00001a010001a0010000000000 00 01 a0 1J1性质1当k=2即复数域C上的n阶2-幕零矩阵A 的 Jordan标准型为O其

20、Jm性质性质中Ji使kjOO O10 ki ki(ki0,1,2；i1,2Lmkii 1,且至少存在一个j ,2即至少存在一个Jk.j2：设C是复数域,标准型为0 01 0而A是C上2-幕零矩阵,设A的秩为-,而 A 的 Jordan2,其中对角线上有r个13:两个2-幕零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同.0设1设 J(0,k)引理1.2 :,那么 J(0, k)k0,而 J(0,k)0,(1l k).定理1：复数域其中Ji证实:O10 kkC上的k-幕零矩阵A的标准型具有形式J1O(kiO,1L k；i 1,2l m),且至少存在一个假设当块,使kjO10 kki由于A为幕零矩阵,故 A的特

21、征值全为0,于是A的特征多项式为m矩阵的A的初等因子为 k2L km (k丄km可能相同,且ikin),每一个初等因子kiJ1对应一个J块 (0 ki k ),这些J块构成一个假设当形矩阵Jm由于a为k-幕零矩阵,所以J中存在Jk即至少存在一个j,使10kj k推论2 :秩不大于3的两个3-幕零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等.定理可逆矩阵A的逆矩阵与伴随矩阵都可以表示为A的多项式性质 性质 性质 性质 性质 性质 性质性质性质性质、定理：假设A是幕零矩阵,那么 A不可逆幕零矩阵的转置矩阵、数乘矩阵、K次幕、伴随矩阵都是幕零矩阵幕零矩阵的特征值为零,特征值为零矩阵为幕零矩阵.幕零矩阵的相似矩阵

22、是幕零矩阵.?幕零矩阵的性质?同阶可交换的矩阵的幕零矩阵的乘积是幕零矩阵.设A为菲零的幕零矩阵,且 r是A的幕零矩阵,那么 E、A、Ak线性无关. 相似于对角矩阵的幕零矩阵是零矩阵.假设 A 2=o 且 at=A,那么 A=0性质幕零矩阵与一个与之可交换的矩阵的乘积仍为幕零矩阵. 与幕零矩阵可交换的矩阵仍为幕零矩阵.菲零的幕零矩阵 A不能对角化,对任意的矩阵对角化任意的n节下三角矩阵都相似与一个上三角矩阵.?幕零矩阵的性质及其应用?B,存在幕零矩阵 M使得可以B+M?幂零矩阵和幂零线性变换?证实：设A特征多项式fn ai n 1 L an iar利用 hamilaon-cayley定理那么有

23、f AAnaAn 1 Lan 1A anE0而A可逆,得an1 n A 0从而 A 1丄 An 1 a1An 2 Lan 1Ean以及 A*|A A 11 n An 1a1An 2 Lan 1E性质 m阶幕零矩阵A的最小多项式为性质是n维线性空间的幕零线性变换,m为 的指数,那么对任意的非零向量,向量m-1线性无关?幂零矩的标准型?命題習殁门是h维线性空间F上的指敎为同5如的慕零线性AS. W -U=卩曰.旳二 对秤|星:訓亠.占*汗I乍同切在7内诱寻的一个卅循环不变了空虬那么【I 为 F内的一个点-1瓣循吁变子彎1_即用f勾=t ft旳曰f,_ _定匡I蛙.是.ms性空间上的蘇零投性变换那么在为疗在一组基.妇 衣该组基下的葩阵是假设当标诽胺