姿态的欧拉角表示

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1、题目比拟分析,找出一种适合乒乓球机器人的末端姿态的欧拉角方法姿态的欧拉角表示任何旋转矩阵都可以通过三个欧拉角进行参数化, 一般来说,绕三个坐标轴的顺 次旋转可以到达任意的姿态,由于旋转矩阵的乘法是非交换的,因此旋转的次序 是很重要的.根据旋转所绕轴的次序的不同,共有12种不同的欧拉角.六种非对称型欧拉角：XYZ, XZY YXZ YZX ZXY和ZYX; 六种对称型欧拉角：XYX,XZX YXY YZY ZXZ和ZY乙记绕三个坐标轴的根本旋转矩阵为：0sin 0SI 11(爪00 0 11 0 0 R (工 * 0)=0 costf 一 sin *(y, 0)=_()宫in-1、非对称型欧拉角

2、表示当三个旋转所绕的坐标轴相互不同时, 称为非对称型欧拉角表示.以XYZ欧拉角 为例,假定起始时物体坐标系与惯性坐标系重合,首先刚体绕物体坐标系的 X- 轴旋转a角,接着绕y-轴旋转B角,最后绕Z-轴旋转角,那么刚体最终的姿态矩 阵为：Rxy2 =c/3cy- cpsys(3sas(3cy + easy 一 sas(3sy + caty - sac(3+ sasy caspsy + say ca/3上式给出了 XYZ欧拉角参数的正运动学方程,反解该式可求得其逆运动学方程, 给定姿态矩阵R=【rij 3 x 3时,可求得其逆运动学方程为：B AlJl】2Jr2厂?)r从上式可以看出,当B = n

3、 2时,逆运动学存在奇异.其他五种非 对称型欧拉角表示的姿态矩阵计算结果列于表 1表1非对称型欧拉角表示的姿态矩阵Rxyz = R&a)fl(八0)R (r y)RXZY=R(x,a)RUfl)Ry)Cficy-佝爭 Cy -0 的 1丁 + easy -机羊盒了 + cufy -心卩G秒了 + sfty 血单- 一 m单卜y +和r*y 代咿y+聶敢了 cac0L Sa0Y easy sat(fj say + cacyKnz - H肌邙)ZfG汀)ftyzx 二 R (n a) R (无 0)R(W)a了 + iSft*0y -+ ,sas7 ,s(ic/J qcac * cft,7 + s

4、etay 煦0$了 + 他了 q咿Ycficy-够$ficy-咿yL -$ary 的 wy + caky catc/J-碍+r碓y + airy flzvy = ff(a) W(y,y)Gfany -只呻 m邛 + aaiy7 -gry+心砂y+ rfty aif/3 saty -castysoct my +(a5y + oecy-咿y咽cficy -L岬飾(fief 这些表示均在B = n 2时存在奇异.对称型欧拉角表示当三个旋转所绕的坐标轴第一个和第三个相同时,称为对称型欧拉角表示,以ZYZ欧拉角为例,首先绕物体坐标系的z-轴旋转a角,接着绕y-轴旋转B角,最后绕x-轴旋转丫角,那么刚体最

5、终的姿态矩阵 为：R2YZ = R(2, a) R ft y)=斗+(-+ ca(y sa/3_-s/3sy(0另外还有五种对称型欧拉角表示的姿态矩阵列于表2表2对称欧拉角表示的姿态矩阵Rxyx = R (%fR(xr 了) RXzx = R (v, o) G) K (x,y)r申 餉创 r- safety + e(xty - aarry - natsy-(岬 mfjsy + saty m(y - satayRyvy 二RSo)R*)R&y)申仪y举丫 ic(fip 他申严-so.sy - caJsy - sarym車 setty + easy - sar/Ssy + oacy -Hm 二 R

6、(ye)R (胡)H (yry)-racy - sacay aap easy + 占山#cy ?輕 Y单 -sfjcy.-sacy -cotg 一刃吓 十 caq&y 氐吃二KG农心別恥订r caft - cacy +j= RRV = (ABC) (ABC)1 = AAV+A(BBT)+ (AB) (CCr)(肋几P00q(甸)二 jo-1 d叫二-010 -00(VA (*)/? (y* 0)=000 B心二二.-10(LP - 1 CTR (s 小 R G* 小-I 0()札-()0 0CD = fRr =-(x)saV=0-sina(u)s/3pW3 si netUMWi】昭J丿此处rl

7、0sin/31Av -0sinacosJ1称为XYZ型欧拉角参数表示的雅克比矩阵,由 detJXYZ = cos B 可知,JXYZ在B = n /2时出现奇异,这就是 XYZ型欧拉角参 数的一阶运动奇异位形.其他欧拉角参数表示的雅可比矩阵列于 表3和表4.从表3可以看出,非对称型欧拉角表示的雅可比矩阵都在B = n /2时出现奇异,因此它们存在大角度的一阶运 动奇异;从表4可以看出,对称型欧拉角表示的雅可比矩阵都在B =0时出现奇异,因此它们存在小角度的一阶运动奇异.表3非对称型欧拉角表示的雅可比矩阵Axz10sirit0a-sin(；t( mfih)riigosomEJ -Jrvzr()i

8、rid1C)siiL)-Mg：(朋-r 1( sinf0 sin ?ina 1 0-()c廿阳sinaw岬B-10-讪()si tin (*sqi*(jJm( si iiq mmyji0 np fiiiiaeo：10 allies -表对称型欧拉角表示的雅可比矩阵/vxJ a zy/ nr0J)()rnff rcii net -I0()r()14)()仆昭sincr (osasin/3 J Z17ro()inZ叩r()sii ia100sitkt0( I Ct11住冷昭J)ri itrsinctsinfj * 10耶 -105車)Zk欧拉角参数表示的二阶运动对式(4)继续求导,可以得到刚体的瞬

9、时空间角加速度,它也是在惯性坐标系中描述的.计算的结果如下,rl0sin/3 r a ()rosujsiiitvi-osB 曲 p+*1仙bs一 00t-os/J-* a/3、一 sirutirkicsii0 aY-cnsv-siiKtroo那么有:tvl/n其他欧拉角参数表示的矩阵列于表5和表6.表5非对称型欧拉角表示的矩阵xxzr()0bOHJr-na (wavoi HJitrroBL cosat - sinacoJ 一怦aH】均-0() (tisjK *-：R*a 一 intzcor/J门,严atFiuQ sincr - (isy5otn?P -r ( nsa sija( oy vats

10、infi si na cnstxiiryiJ sinotsLii C)0一岬 sina cr sinofcuiB chnsaiii-00哪 -表&对称型欧拉角表示的矩阵D炳 00一 H叨 - o0-r一cnstyl eostr、ii igii】#rm* 门消一*耳in盘-iYXY*Hzyf 一 sinasi naviiri isttf-H 昭宀00-siu/30(-siiyS-sijiasii叮飞、y 一 siimosQsitisinari/J -lzz1X、zr - sinnri)stt “弭；晳inwsjfj -,-sinac-osasiiJ-5(7心仔 (0-sin/3 00ii 庐-从表5可以看出,非对称欧拉角表示在B = n /2时出现二阶运动奇 异,因此在这些点上存在大角度的二阶运动奇异 ；从表6可以看出, 对称欧拉角表示都在B =0时出现二阶运动奇异,因此在这些点上 存在小角度二阶运动奇异.