必修二：球的内切和外接例题讲解

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1、圆台圆台( (棱台棱台) )是由圆锥是由圆锥( (棱锥棱锥) )截成的截成的根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPSSh1()3VSS SS h11()331() 3VVVS hxS xShSS x小小大大22()SxShx SxS hxhxSSS 1()3SVh SSSSS 13SSSS h柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？上底扩大上底扩大1()3VSS SS h上底缩小上底缩小VSh SS 0S 13VSh 例例3 3 有一堆规格相同的铁制六角螺有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重帽共重5.8kg

2、5.8kg（铁的密度是（铁的密度是7.8g/cm7.8g/cm3 3），），已知螺帽的底面是正六边形，边长为已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm10mm，高为，高为10mm10mm，问这堆螺帽大约有多少个？问这堆螺帽大约有多少个？ 12101096.210514.3106124322V251)96.28.7(108.53求此棱柱挖去圆求此棱柱挖去圆柱后的体积和表柱后的体积和表面积面积定理定理: 半径是半径是R的球的体积的球的体积334RV定理定理: 半径是半径是R的球的表面积的球的表面积24 RS球的体积、表面积的计算公式球的体积、表面积的计算公式C

3、ABOR球的半径球的半径r和正方体和正方体的棱长的棱长a有什么关系？有什么关系？.ra球与多面体的内切、外接球与多面体的内切、外接正方体的外接球正方体的外接球二、球与多面体的接、切二、球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体， 这个球是这个这个球是这个 。定义定义2：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体， 这个球是这个这个球是这个 。一、一、球

4、体的体积与表面积球体的体积与表面积343VR 球球24SR 球球面面多面体的多面体的外接球外接球 多面体的多面体的内切球内切球棱切：棱切：一个几何体各个面分别与另一个几一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。何体各条棱相切。图3图4图5中截面中截面设为设为1 1214=SR 甲甲球的外切正方体的棱长等于球直径。球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O例例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B.

5、 C. D.1: 2: 31: 8: 27331: 4: 9ABCDD1C1B1A1O中截面中截面正方正方形形的对角线等于球的直径。的对角线等于球的直径。224=2SR 乙乙.球内切于正方体的棱球内切于正方体的棱ABCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面对角面设为设为1 1223R 球的内接正方体的对角线等于球直径。球的内接正方体的对角线等于球直径。234=3SR 丙丙球外接于正方体球外接于正方体1.3.21.3.2球的体积和表面积球的体积和表面积安徽省含山县林头中学安徽省含山县林头中学正方体的内切球正方体的内切球直径直径正方体的外接球正方体的外接球直径直径与正方体所有棱相切的球与正方体所

6、有棱相切的球直径直径探究探究 若正方体的棱长为若正方体的棱长为a，则，则aa3a2：有三个球：有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切一球切于正方体的各侧棱于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求求这三个球的体积之比这三个球的体积之比.画出正确的截面画出正确的截面：(1)(1)中截面；中截面；(2)(2)对角面对角面找准数量关系找准数量关系21ar aaaa2ar222aa2ar233性质性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面，截球面， 截线是圆。截线是圆。大圆大圆-截面过球心，半径等于球半

7、径；小圆截面过球心，半径等于球半径；小圆-截面不过球截面不过球心心AOABCO 例例4已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体，求球的体积，表面积积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 ABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径例例5、 求棱长为求棱长为 a 的正四面体的正四面体 A-BCD的的外接球的表面

8、积。外接球的表面积。变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. B. C. D. 2343 36A五、构造直角三角形五、构造直角三角形1、求棱长为a的正四面体外接球的体积2、求棱长为a的正四面体内切球的体积OAB CD图1：正四面体：正四面体ABCD的棱长为的棱长为a，求，求其内切球半径其内切球半径r与外接球半径与外接球半径R.【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 (h 为正四面体的高)，且外接球的半径 ，从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。4h43hOBERt

9、(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”(3)正四面体内切球半径是高的 ，外接球半径是高的 .(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)31内切表多RSV4143：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？：若正四面体变成正三棱锥，方法：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？是否有变化？1 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等球心到多面体各顶点的距离均相等2 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合、正多面体的内切球和外接球的球心重合3 3、正棱锥的内切

10、球和外接球球心都在高线上，但、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合不重合4 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5 5、体积分割是求内切球半径的通用做法、体积分割是求内切球半径的通用做法1例例2、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 。求棱锥。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。的全面积和它的内切球的表面积。62过侧棱过侧棱AB与球心与球心O作截面作截面( 如图如图 )在正三棱锥中，在正三棱锥中，BE 是正是正BCD的高，的高，O1 是正是正BCD的中心，且的中心，且AE 为斜高为斜高62BC 21 EO3AE

11、且且 26243362213S 全全9 26 3解法解法1：O1ABEO CD作作 OF AE 于于 FF设内切球半径为设内切球半径为 r，则，则 OA = 1 r Rt AFO Rt AO1E 312rr 26 r 6258S球球 1624331V2BCDA 26r 6258S球球OAB CD设球的半径为设球的半径为 r，则，则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD32 全全Sr31 r3223 解法解法2：例例2、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 。求棱锥的。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。全面积和它的内切球

12、的表面积。62内切球内切球全全多面体多面体rS31V 注意：割补法，注意：割补法，探究探究(2)(2)：如图是一个简单组合体的三视图，：如图是一个简单组合体的三视图，想象它表示的组合体的结构特征，尝试画出它想象它表示的组合体的结构特征，尝试画出它的示意图。的示意图。 正视图正视图侧视图侧视图俯俯视视图图思考3:怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？ABCMzBCASyoxBCAS例例2一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且两底面重合，圆柱的底面直径为圆锥，并且两底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为，高为4cm，圆

13、锥的高为，圆锥的高为3cm，画出此几何体的直观图，画出此几何体的直观图.xyOOxyZ练习练习4:已知一四边形已知一四边形ABCD的水平放的水平放 置的直观图是一个边长为置的直观图是一个边长为2的正方形，的正方形，请画出这个图形的真实图形。请画出这个图形的真实图形。 六、寻求轴截面圆半径法六、寻求轴截面圆半径法 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为 .2 C D A B S O 1 图3解 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为O，如图3所示.由球的截面的性质，可得又 ，球心O必在 所在的直线上. 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆

14、，外接圆的半径就是外接球的半径.在 中，由 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故1OABCDOO平面11SOASCASC12., 2,2222ACRtACASCACSCSAACSCSA为斜边的是以得34球VABCDSO平面12球的表面积与体积球的表面积与体积 【思路点拨】根据球截面性质找出球半径与截面圆半径和球心到截面距离的关系，求出球半径 【思路点拨】(1)利用特征三角形求斜高即可； (2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离相等求球的半径PAO1DEO 例例3 求棱长为求棱长为 a 的正四面体的正四面体 P ABC 的外接球的表面积的外接球的表面积过侧棱过侧棱 PA PA 和球心和球心 O O

15、作截面作截面则则截球得大圆，截正四面体得截球得大圆，截正四面体得PADPAD，如图所示，如图所示, ,G连连 AO AO 延长交延长交 PD PD 于于 G G则则 OG PD，且，且 OO1 = OG Rt PGO Rt PO1D aRaaR633623 aR46 a23a63a362a23S 表表解法解法1：O1ABEO 13233sin 36cos 在在 Rt AO1E 中中 sincos12tan23 在在 Rt OO1E 中中26OO1 6258S球球例例 、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。面积和球的表面积。62