异面直线的判断与所成的角

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1、异面直线的判断与所成的角.选择题（共10小题）1 异面直线是指（）A. 空间中两条不相交的直线B. 平面的一条直线与平面外的一条直线C. 分别位于两个不同平面的两条直线D.不同在任何一个平面的两条直线已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC, CD上2.C.异面D.垂直T,则直线FH与直线EG （）G、H、3.在下列图形中，MN是异面直线的图形有（M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、i B 甘NaA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 在长方体ABCD- AiBiGDi的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是（）A.

2、 2 B. 4 C. 6 D. 85. 体ABCD- A1B1C1D1中，与对角线 AiB成45勺棱有（）条.A. 4 B. 8 C. 12 D. 26. 如图所示，在三棱锥P- ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）A . 2对B. 3对C. 4对D . 6对7 将体的纸盒展开如图，直线 AB CD在原体的位置关系是（C.4PA.平行 B.垂直C.相交成60。角D.异面且成60。角 8.如果两条异面直线称为一对”那么在体的十二条棱中共有异面直线（A. 12 对 B. 24 对 C. 36 对 D. 48 对PQ与RS是异9如图，点P、Q、R、S分别在体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则

3、直线面直线的一个图是（）D.D.AB丄EF;AB与CM成6010. 一个体纸盒展开后如图所示，在原体纸盒中有下列结论：MN / CD,其中正确的是（二.填空题（共5小题）11.如图所示，在棱长为2的体ABCD- A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CG，AD的中点，那么异面直线 OE和FDi所成角的余弦值等于012在正四棱锥P-ABCD中，PA=2直线PA与平面ABCD所成角为60 E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为 .13 .在棱长为1的体ABCD- ABCD中，异面直线AD与AB所成角的大小是 .14如图是体的展开图，其中直线 AB与CD在原体中所成角的

4、大小是 .15.空间四边形ABCD中，对角线AC=10, BD=6, M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7, 则异面直线AC与BD所成的角为.异面直线的判断与所成的角参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1 异面直线是指（）A. 空间中两条不相交的直线B. 平面的一条直线与平面外的一条直线C. 分别位于两个不同平面的两条直线D. 不同在任何一个平面的两条直线【分析】依据异面直线的定义，逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进 行排除.【解答】解：A不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行.B不正确，因为平面的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交.C不正确，因为分别

5、位于两个不同平面的两条直线可能平行，也可能相交.D正确，这就是异面直线的定义.故选D.【点评】本题考查异面直线的定义，用举反例的方法判断一个命题是假命题，是一种简单有 效的方法.2.已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC, CD上C.异面 D.垂直T，则直线FH与直线EG （）厂，【分析】由已知EF为三角形ABD的中位线，从而EF/ BD且EF二BD,由厂上二二“得在四边形EFHG中, EF/ HG，即卩E，F，G，H四点共面，且EF HG,由此能得出结论.【解答】解：四边形ABCD是空间四边形，E、F分别是AB、AD的中点， EF为三角形ABD的中位

6、线 EF/ BD且 EFBD2p11又 CG亏BGC冇DC， CH3ACDB 且 HG/ BD, HG丄BD3在四边形 EFHG中, EF/ HG即E, F, G, H四点共面，且EFm HG,四边形EFGH是梯形，直线FH与直线EG相交，故选B.【点评】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，是基础题，根据已知条件，判断出EF/ HG且EFm HG,是解答本题的关键.3在下列图形中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、MN是异面直线的图形有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】利用G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，线面的关系可判

7、断 GH、MN是异面直线的图形.【解答】解：由题意：G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，对于图1: G, M是中点，上下面平行，故得 GH MN平行；对于图2:过N点作GH的平行线，可得 GH与MN相交.GH与MN不平行；且 GH与MN 不在同一平面，故得直线 GH、MN是异面直线；对于3: GH与MN不在同一平面，GH与MN不平行，延长必相交.故得直线 GH、MN不是 异面直线；对于4:取GH的中点为E,可得GENM是平行四边形.故得 GH MN平行；图2,图3中直线GH、MN是异面直线；故选：B.【点评】本题考查了两条直线在空间图形中的位置的判断.利用了正三棱柱的特征和中点的

8、性质属于基础题.4在长方体ABCDD- AiBiGDi的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【分析】作出图形，列举出与面对角线 AC垂直且异面的棱.【解答】解：如图，在长方体ABCD- AiBiCiDi的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱有：BBi和DDi，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2.故选：A.【点评】本题考查满足条件的棱的条数的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查数 形结合思想，是基础题.5. 体ABCD- AiBiCiDi中，与对角线 AiB成45勺棱有（）条.A. 4 B. 8 C. i2 D. 2【分析】根据

9、线线角的定义在体中逐一寻找判断即可.【解答】解：如图所示:在形 ABBAi 中，AAi、AB BBi、AiBi 与 AiB均成 45角，根据线线角的定义知，DDi、CG、DC、DiCi都与AiB成45角所以满足条件的棱有8条，故选：B.【点评】本题考查空间中异面直线所成角的定义及其求法，属基础题.6. 如图所示，在三棱锥P- ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 6对【分析】画出三棱锥，找出它的棱所在直线的异面直线即可.【解答】解：如图所示，三棱锥P-ABC中，棱PA与BC是异面直线，棱PB与AC是异面直 线，棱PC与AB是异面直线；共3对.故选：B.

10、【点评】本题考查了空间中的异面直线的判定问题，解题时应结合图形进行解答，是基础题.7. 将体的纸盒展开如图，直线 AB CD在原体的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交成60。角 D.异面且成60。角【分析】以AB所在平面为底面，将右侧形折起为右边的平面，因为DE/ AB,所以/ CDE即为直线AB, CD所成的角，在 CDE中求解即可.【解答】解：如图，直线AB，CD异面.因为DE/ AB,所以/ CDE即为直线AB, CD所成的角，因为 CDE为等边三角形，故/ CDE=60故选D.【点评】本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面 直线的判断及异面直线所成

11、的角，考查空间想象能力和运算能力.8. 如果两条异面直线称为一对”那么在体的十二条棱中共有异面直线（）A. 12 对 B. 24 对 C. 36 对 D. 48 对【分析】画出体，查出一条棱的异面直线的对数为 4,用体的棱数乘以2即可得到结果.【解答】解：如图，7AB在体 ABCD- AiBiCiDi 中，与棱 AB异面的有 CO，DDi，B1C1，A1D1 共 4 对, 体ABCD- A1B1C1D1有12条棱，排除两棱的重复计算，异面直线共有12X 2=24对.故选：B.【点评】本题考查异面直线的判定，体现了组合思想方法，是基础题.9. 如图，点P、Q、R、S分别在体的四条棱上，并且是所在

12、棱的中点，则直线 PQ与RS是异 面直线的一个图是（）【分析】利用一面直线的定义和体的性质，逐一分析各个选项中的2条直线的位置关系，把满足条件的选项找出来.【解答】解：A中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项 A不满足条件.B中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项 B也不满足条件.D中，由于PR平行且等于丄SQ,故四边形SRPQ为梯形，故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项 D不满足条件.C中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故选项 C满足条件. 故选C【点评】本题主要考查异面直线的定义，体的性质，判断 2条直线的位置关系，属于基础题.10. 一个体纸盒

13、展开后如图所示，在原体纸盒中有下列结论：AB丄EF;AB与CM成60MN / CD,其中正确的是（ABC. D.【分析】将其还原成体，如图所示，依据图形、体的几何性质进行判断各线的位置关系.【解答】解：将体纸盒展开图还原成体，如图知， AB丄EF, EF与MN是异面直线，AB/ CM，MN丄CD,只有正确,故应选D【点评】考查体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如 平行、垂直、异面.二填空题（共5小题）11. 如图所示，在棱长为2的体ABC AiBiCiDi中，0是底面ABCD的中心，E、F分别是CG ,AD的中点，那么异面直线 0E和FD所成角的余弦值等于_匚【

14、分析】取BC的中点G.连接GG,贝U GG/ FDi,再取GC的中点H,连接HE、OH,则/OEH为异面直线所成的角，在 OEH中，利用余弦定理可得结论.【解答】解：取BC的中点G.连接GG,贝U GG / FDi,再取GC的中点H,连接HE、OH,则 E是 CC 的中点，二 GC / EH/ OEH为异面直线所成的角.在厶OEH 中，OE三；，HE= . , OH=.2 2222由余弦定理，可得cos/ OEH- F20E-EH=.-5故答案为：5【点评】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角.12在正四棱锥P-ABCD中，PA=2直线PA与平面ABC

15、D所成角为60 E为PC的中点，则 异面直线PA与BE所成角的大小为 45.【分析】连接AC, BD交于点0,连接0E, 0P,先证明/ PAO即为PA与面ABCD所成的角， 即可得出结论.【解答】解：连接AC, BD交于点0,连接0E, 0P因为E为PC中点，所以0E/ PA所以/ 0EB即为异面直线PA与BE所成的角.因为四棱锥P- ABCD为正四棱锥，所以P0丄平面ABCD,所以A0为PA在面ABCD的射影，所以/ PA0即为PA与面ABCD所成的角，即/ PA0=60, 因为 PA=2 所以 0A=0B=1 0E=1. PBC 中，PB=PC=2 BC=：:,- 2 (4+2) =4+

16、4BE,： BE=：:,0E+0B2=b,所以在直角三角形E0B中/0EB=45,即面直线PA与BE所成的角为45故答案为为45【点评】本题考查异面直线所成角，考查线面垂直，比较基础.13 .在棱长为1的体ABCD- ABCD中，异面直线AD与AB所成角的大小是 三-_.【分析】根据题意，连接BC得出/AB是异面直线AD与AB所成的角，利用等边三角形 求出它的大小.【解答】解：体ABCD- ABCD中，连接AD AB、BC如图所示；四边形A B是平行四边形， AD B,/ AB（是异面直线AD与AB所成的角，连接人。，则厶AB是边长为.二等边三角形， / AB G，即异面直线AD与AB所成角是

17、一故答案为：丄.3【点评】本题考查了空间中两条异面直线所成角的作法与计算问题，是基础题.14如图是体的展开图，其中直线 AB与CD在原体中所成角的大小是60【分析】如图：由于AB/ MC且AB=MC,故直线AB与CD成的角等于CD与CM成的角， 根据由 CMD为等边三角形，可得/ MCD=60即为所求.【解答】解：原体如图所示：由于AB / MC且AB=MC,故直线AB与CD成的角等于CD与CM 成的角.由厶CMD为等边三角形，/ MCD=60，故直线AB与CD在原体中所成角的大小是60.故答案为：60【点评】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，体现了数形结合的数学思想和转化 的数学思想

18、.15.空间四边形ABCD中，对角线AC=10, BD=6, M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7, 则异面直线AC与BD所成的角为 60.【分析】首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出 异面直线的夹角.【解答】解：取BC的中点G,连接GM，GNM、N分别是AB CD的中点，对角线 AC=10, BD=6, 所以：GM丄=5, GN=-:.i -在厶 GMN 中，EF=7 GM=5, GN=3222利用余弦定理得:uz/MGN二川+GN -丽 |丄 ccinrim I 2G1TGN2即：cos.m丄所以：/ MGN=12O所以：异面直线AC与BD所成的角为60 故答案为：60【点评】本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，余弦定理的应用，属于基础题型.