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1、题型二：平面向量的共线问题LLULLLT1、若 A（2,3），B（x, 4）, C（3, y）,且 AB=2AC,则 x=，y=ULLLUUlUU2、 已知向量 a、b，且AB=a+2b , BC = -5a+6b ,CD=7a-2b,则一定共线的三点是（）A . A、B、DB . A、B、CC. B、C、DD . A、C、D3、 如果8、 e2是平面a内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（） 砂+ Q2（入吐R）可以表示平面 a内的所有向量； 对于平面a中的任一向量a,使a=?01+Q的入有无数多对；k,使 尼e1+ 爲e2=k(力e1+ e2)； 若向量 呢什卩耳与尼e1+爲e2
2、共线，则有且只有一个实数 若实数入使心+心=0，则启尸0.A .B .C.D .仅4、若向量 a=(1,1),b= (1,-1) ,c=(-2,4),则 c=()A . -a+3bB. 3a-bC. a-3bD. -3a+b5、已知 A(2,-2),B(4,3), 向量p的坐标为(2k-1,7)且p / AB,贝U k的值为()991919A. 10B.10C.10D.106、已知a是以点A（3,1）为起点，且与向量b（3,4）平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.7、给出下列命题：若|苛=I bl，则a = b ；若A，B，C，D是不共线的财 llitr r r r四点，则AB DC是四边形
3、ABCD为平行四边形的充要条件；若a = b，b=c，r r r fr,rr ,rr ,r ,r r r r则a = c ；a = b的充要条件是| a|=| b|且a b ；若a b，b c,则a/ c，其中正确的序号是r r8、平面向量a , b共线的充要条件是（）r rr rA. a , b方向相同B . a , b两向量中至少有一个为零向量r rrC.R, baD.存在不全为零的实数1, 2 , ia9、如图在三角形 ABC中,AM： AB=1： 3,AN : AC=1： 4,BN与CM相交于点AB a , AC b，试用 a、b 表示 AP10、已知a, b是不共线的向量，AB=入a
4、+ b, AC= a+卩b（入，卩 R），那么A, B, C三点共线的充要条件是（）.A.入+卩=2 B .入一卩=1 C .入卩=一 1 D .入卩=1111、在？ABC中，已知D是AB边上一点，若 AD =2 DB，CD=CA CB ,则= 32(D)-32(A)31(B) 3(C) -112、设a、b是不共线的两个非零向量,uuuuuuruuur(1)若0A 2a b,0B 3a b,0C=a-3b,求证:A、 若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.B、C三点共线;13、如图点G是三角形ABO勺重心,PQ是过G的分别交OA 0B于P、Q的一条线段，且0PmOA， OQ n OB,(
5、 m、n R)。丄 1求证m n6、解:方法一：设向量a的终点坐标是(x,y)，则a(x 3, y1)则题意可知4(x 3)(x3)23(y 1)0(y+1)2 1，解得:12x石，1y百或18审129$，故填5方法二:(3 4)( 3,4)(34)平行的单位向量是 5，故可得3 45,5从而向量a的终点坐标是(x,y)a (3,1)，便可得结果.归纳小结：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念；e車与a平行的单位向量|a|.7、解析：不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.UUU UUUuuuu
6、uuuu uuu正确. AB DC，.JAB I |DC | 且 AB/DC，又 a，B，C，D 是不共线的 四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则,ULU uur 川 uuuuuu UJITAB/DC 且 |AB|DC|，因此，AB DC .r c- rbc的长度相rr正确. a = ba , b的长度相等且方向相同；又等且方向相同， a，c的长度相等且方向相同，故a = c .rr不正确.当a/ b且方向相反时，即使| a|=| ,也不能得到a =rb H ra且5/ b不是a = b的充要条件，而是必要不充分条件.不正确.考虑b=0这种特殊情况.综上所述
7、，正确命题的序号是.归纳小结：本例主要复习向量的基本概念，向量的基本概念较多，因而容易遗忘， 为此，复习时一方面要构建良好的知识结构， 另一方面要善于与物理中、生活中 的模型进行类比和联系，帮助理解，加深记忆.r r8、解析：若a，b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数1, 2,使r o r b20，则由两向量共线知，存在ro rb ran7 r a符合题意，故选D.归纳小结：概念定理性的问题往往是看似简单， 实则处处陷阱，所以应加强对基 础概念、定理的深入理解，明确问题关键之处，体会本质.9、分析：本题是以向量为载体的平面几何题，所以我们很容易联想到点 M P、(1 1 )a b
8、33匚uuu12、解:(1)证明:T AB(3a+b)-(2a-b)=a+2b.uuu而 BC =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2uuuAB,uuu uuu AB与BC共线,且有公共端点A B C三点共线(2) t 8a+kb 与 ka+2b 共线,B,存在实数 入 使得 8a+kb=X (ka+2b)(8-入 k)a+(k-2 入)b=0,Ta与b是不共线的两个非零向量，8 Xk = 0， k 2入=0， k= 2 X = 4.13、分析：本题是一道典型的平面几何证明，如果用平几方法则过程很复杂，如 果我们将题目中的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得多。因为注意到? 8=
9、2 入 2?入= 2,P、G Q三点在一条直线上，所以我们可以考虑 PQ与PG共线，于是可以用共 线定理得方程组求解。证明：设OA aoBb，则OPmaOQnb.OD1 (OA OB)21(ab).og2 -OD313(ab)PGOG OP1(ab)ma (13m)a1b3即PQ又P、Q G三点在同一直线上，则PG与PQ共线存在一个实数OQ OP nb ma使得PG PQ1 -1 -.(1 m)a 护1 - 1n bma( m m)a ( n)b 0，即：3丿3丿C三点在一条直线上，可用共线定理的充分必要条件求解。解TAM： AB=1： 3,AN:AC=： 4,AM 1 AB 1 aAN 1 AC Lb 3344T MP、C三点共线，可设MP1 AP AM MP -aMC于是3MC( R)APMC AC AM b 1 a3时 Sr忖呎m m 01 1 3 a与b不共线,n 03消去得m n
平面向量题型二：平面向量的共线问题
