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1、彭长军-uuun方向上的射影长d=PQuuu u cos 就是点P到平面的距离.下面举几例予以说明例 1. A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)ngAB 0 及 nWG 0,得22x2y z0y x3,取 x=3,得 n (3,2,2x2y 5z02z-x34949 1717 例2.四边形ABCD是边长为4的正方形,E、uun rDAgi2),于是点D到平面ABC的距离为d=一LnF分别是 AB和AD的中点,GC丄平面 ABCD,且利用平面的法向量求点到平面的距离甘肃省如图1设n是平面的一个法向量,P是uuu外一点,Q是内任意一点,那么向量PQ在法向量是空
2、间不共面的四点,求点D到平面ABC的距离.解：设n (x,y,z)是平面ABC的一个法向量,那么由第4页(共2页)GC=2 ,求点B到平面EFG的距离.解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz,那么G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0) , a GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2), BE =(2,0,0).设平面EFG的一个法向量为n (x,y,z),那么由ngGE 0 及 ngSFo,得 2x+4y 2z 04x 2y 2z 0x=yz 3y,取 y=l,得 n(1,1,3),于是点B到平面EFG的距离为d=uuu r.BEgn2=、1
3、12 1111例3在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C1D1中,求点C1到平面A 1BD的距离.y圉4x z0,得x yz=-xy=-x取x=-1,得n =(-1,1, 1),于是点C1到平面a1bd的距离为ujun rC1Dgn22亦d= r = i=n3解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz,那么A1(1,0,1),B(1,1,0),C 1 (0, 1,1).设平面A1BD的一个法向量为n (x,y,z),那么由nQA10及ngDBO-xyz ,贝U A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,0,得例4. (06年福建高考题)如图4,四面体 ABCD中,0、E分别是BD、BC
4、的中点,CA=CB=CD=BD=2 ,AB=AD= 2,求点E到平面ACD的距离.解：由题设易知 AO 丄 BD , OC 丄 BD , OA=1 , OC= . 3 ,二 OA 2 +OC 2 =AC 2 ,/ AOC=90 ,即OA 丄 OC.以O为原点,OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标系、3,0),D(-1,0,0) , E,乜,0), AD =(-1,0,-1), AC =(0,.3,-1), ED =(-,0).2 2 2 2设平面ACD的一个法向量为n (x, y,z),那么由ngAD 0及ngACx=-z3 ,取y=5zz八 3,得 n =(- 13,1,- 3),于是点uuu rEDgn42d=r r1-=厅-7E到平面ACD的距离为
利用向量法求点到平面的距离
