合肥工业大学电磁场与电磁波孙玉发版答案

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1、第6章习题答案6-1在r 1、 r 4、0的媒质中,有一个均匀平面波,电场强度是E(z,t) Em sin( t kz )3假设f 150 MHz,波在任意点的平均功率流密度为0.265卩w/m2,试求:(1) 该电磁波的波数k?相速Vp?波长？波阻抗？(2) t 0, z 0的电场 E(0,0)?(3) 时间经过0.1 us之后电场E(0,0)值在什么地方？(4) 时间在t 0时刻之前0.1 us,电场E(0,0)值在什么地方？2 f 解：(1) kJ J r 2 (rad/m)cvp c/. r 1.5 108(m/s)寻 1(m)=120260 (Q)(2)： Sav1 E2m00.26

2、5 10 6Em1.00 10I 0 r2 (V/m)E(0,0)Em sin 8.66 10 3z vp t 15 m(4)在O点左边15 m处(3)往右移3(V/m )6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波,电场强度的复振幅是4 j 20 z10 eex10 屮 20z)ey试求:(1)电磁波的传播方向?(2)电磁波的相速vp ?波长(3) 磁场强度H ?(4) 沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少?解：1电磁波沿z方向传播.2自由空间电磁波的相速 Vp c 3 108m/s2 2k 200.1(m) k 20c20 c f 一 10c3 109Hz2(3) H -ez E 265 10

3、 7(e 2 ex e j ey)(A/m)*(4) Sav *Re(E H*) -ez 2.65 10 11ez(W/m2)E Ee jkzez的均匀平面电6-3证实在均匀线性无界无源的理想介质中,不可能存在 磁波.证 EjkEe jkz 0,即不满足Maxwell方程不可能存在E Ee jkzez的均匀平面电磁波.6-4在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为1V/m,试问该点的平均电磁功率密度是多少？该电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗？根据美国国 家标准,人暴露在微波下的限制量为10 _2W/m2不超过6分钟,我国的暂行标准规定每8小时连续照射,不超过 3.8X 10

4、2w/m2.解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波,它携带的平均电磁功率密度为avE213772.65 10 3W/m2可见,该微波炉的泄漏电场对人体的健康是平安的.6-5在自由空间中,有一波长为12cm的均匀平面波,当该波进入到某无损耗媒质时,其波长变为8cm,且此时E 31.41V/m , H0.125A/m.求平面波的频率以及无损耗媒质的r和r.解：由于0 r r r ,所以r r2(12/8)29/4匚rE 2又由于E120 . r,所以 r0.4443hv,rr120 Hr1,r2.256-6假设有一个点电荷在自由空间以远小于光速的速度v运动,同时一个均匀平面波也沿v

5、的方向传播.试求该电荷所受的磁场力与电场力的比值.解：设v沿z轴方向,均匀平面波电场为E,那么磁场为1 Hez E0电荷受到的电场力为Fe qE其中q为点电荷电量,受到的磁场力为Fm=qv B q ovez H EqVoE0c故电荷所受磁场力与电场力比值为Fm vFeC6-7 一个频率为f 3GHz , ey方向极化的均匀平面波在r2.5,损耗角正切值为102的非磁性媒质中,沿正 ex方向传播.(1 )求波的振幅衰减一半时,传播的距离；(2 )求媒质的波阻抗,波的相速和波长；(3)设在x 0处的E 50sin 6109t ey,写出H (x,t)的表示式.3解：(1) tan10 2,这是一个

6、低损耗媒质,平面波的传播特性,除了有微弱的损耗引起的衰减之外,和理想介质的相同.其衰减常数为2102210 2 23 109 逻 0.4972 3 108(3)由于e 11/2,所以|ln2 1.40m(2 )对低损耗媒质,./120 / , 2.5 238.4 Q相速v3 1081.90 108 m/s波长v/ f2.50.0632(m)6.32(cm)610925 99.33 1082H (x,t)50e 0.5xsin(6109t x -)e,0.21e 0.5xsin(6109t 99.3x -)ez (A/m)2.45GHz频率的微波加热食品, 在该频率上,牛排的等效6-8微波炉利用

7、磁控管输出的复介电常数r401 0.3j.求：1微波传入牛排的穿透深度,在牛排内8mm处的微波场强是外表处的百分之几?2 微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的,其等效复介电常数4.说明为何用微波加热时,牛排被烧熟而盘子并没有被毁.121.03(1j0.3 10解: (1)20.0208m 20.8mmEE.z/8/20.8e e68%2发泡聚苯乙烯的穿透深度2 3 10822.45 109 0.3 10 4.1.0331.28 10 (m)可见其穿透深度很大,意味着微波在其中传播的热损耗极小,所以不会被烧毁.6-9海水的 4S/m,10kHz的平面电磁波时,试求：r 81, r1,在其中分

8、别传播f 100MHz或?Vp?解：当f1100MHz 时,8.88当f210kHz 时,8.8 104故f210kHz时,媒质可以看成导体,可以采用近似公式而f11-2100MHz时媒质是半电介质,不能采用上面的近似公式.当 f1 100MHz 时)2 110.149 108(m/s)37.5(Nep/m)42.0(rad/m)p10.149(m)(2)当 f2110kHz 时p2120.397(Nep/m)0.397(rad/m)0 3975-1.58 10 (m/s)215.8(m)6-10证实电磁波在良导电媒质中传播时,场强每经过一个波长衰减54.54dB.证：在良导体中,故由于 E

9、E0e lE0e所以经过一个波长衰减20lg 旦 20lg(e 2 )54.57(dB)E06-11为了得到有效的电磁屏蔽,屏蔽层的厚度通常取所用屏蔽材料中电磁波的一个波长,即即d 2式中 是穿透深度.试计算1收音机内中频变压器的铝屏蔽罩的厚度.2电源变压器铁屏蔽罩的厚度.3假设中频变压器用铁而电源变压器用铝作屏蔽罩是否也可以？铝：3.72 107S/m , r 1 , r 1 ；铁：107S/m , r 1 , r 104 , f=465kHzo解:(1)铝屏蔽罩厚度为2465 103 4 2 10 7 3.72 忖了6.10 饷)0.76(mm)(2)铁屏蔽罩厚度为(3)d 2 250 4

10、10 7 104 1071.41 103(m)1.41(mm)23742465 10410101071.47 10 5(m)14.7( m)2250 410 73.72 10750Hz的电源变压器需屏蔽层厚73mm,7.33210 (m)73(mm)用铝屏蔽需屏蔽层厚14.7 m,故可以选用作屏蔽材料.太厚,不能用.用铁屏蔽中周变压器证实,相同截6-12在要求导线的高频电阻很小的场合通常使用多股纱包线代替单股线.面积的N股纱包线的高频电阻只有单股线的 证：设N股纱包中每小股线的半径为 r,单股线的半径为 R,贝U R2 Nr2,即R . N r单股线的高频电阻为其中为电导率,为趋肤深度.dVp

11、ddVpdN股纱包线的高频电阻为RnR12 rNRnR吊1R-irNrN6-13群速与相速的关系是VgVp式中是相移常数,证实下式也成立VgVp2证：由得d12 d()22 d2dVpdVp-VgVp(4)dVPd6-14判断以下各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式(1)EjE1*zexjE1ejkzey(2)HH1e jkxeyH2e jkxez( H1 H20)(3)EEe %jEe jkzey(4)Eejkz(EexAEej ey) ( A为常数,0,)(5)H(Eme jkye仝jEmej仏)(6) E(z,t)Em sin(tkz)exEmcos( t kz)ey(7) E(z

12、,t)Em sin(tkz)ex Em cos( t kz)ey44解：(1) z方向,直线极化.(2) + x方向,直线极化.(3) + z方向,右旋圆极化.(4) + z方向,椭圆极化.(5) + y方向,右旋圆极化.(6) + z方向,左旋圆极化.(7) + z方向,直线极化.6-15证实一个直线极化波可以分解为两个振幅相等旋转方向相反的圆极化波.证:设沿z方向传播的直线极化波的电场矢量方向与ex方向夹角为,贝V E = E1 (cos ex sin ey)e j zeje jeje jj z-EMexey)e J22j-(e ex je ey )e (e ex je e y)e 2 2

13、E右圆+ E左圆6-16证实任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数. 证：设沿z方向传播的圆极化波为E (z,t) Em cos( t kz)ex Emcos( t kz)ey那么坡印廷矢量瞬时值E E ezE ez2 2 2 2Em cost kzEm cos t kz2ezEmz6-17有两个频率相同传播方向也相同的圆极化波,试问：(1) 如果旋转方向相同振幅也相同,但初相位不同,其合成波是什么极化？(2) 如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同,其合成波是什么极化?(3) 如果在所述三个条件中只是振幅不相等,其合成波是什么极化波？解:( 1)设巳Eo(ex jey)ej 1e

14、 jkzE2 Eo(ex jey)ej 2ejkz贝U E 巳 E2Eo(ex jey)(ej1 ej 2)e jkz故合成波仍是圆极化波,且旋转方向不变,但振幅变了.(2 )设E1E(exjey)ej1e jkzE2E(exjey)ej 1e jkz那么EE E22Eexej1e jkz故合成波是线极化波.(3 )设E1E10(exjey)ej1ejkzE2E20(exjey)ej1e jkz那么EE1E2(E10EG jey)ej1ejkz故合成波是圆极化波,且旋转方向不变,但振幅变了.6-18 一个圆极化的均匀平面波,电场E Eoe jkz(ex jey)垂直入射到z 0处的理想导体平面

15、.试求：(1) 反射波电场、磁场表达式；(2) 合成波电场、磁场表达式；(3) 合成波沿z方向传播的平均功率流密度.解：(1)根据边界条件(Ei Er)|z 00故反射电场为ErHrE(ex丄(6)jey)eJ zEre (jex ey)(2)EEiEr2jE0sinz (exjey)H1 ezEi-(-ez)E 2Er0COS z( Jex ey)(3)1Sav ?Re(E H )Re 2jEsin( z)(ejey) 2EoCOS z(jex ey)6-19当均匀平面波由空气向理想介质( 功率输入此介质,试求介质的相对介电常数0 )垂直入射时,有 84%的入射解：由于R所以Rr0.16,故

16、 R5.440.42又由于R 184%21 0.4r 1 0.46-20当平面波从第一种理想介质向第二种理想介质垂直入射时,假设媒质波阻抗1,证实分界面处为电场波腹点；假设 21,那么分界面处为电场波节点.证：在分界面处的总电场为E Ei0 Er0 Ei0 (1 R), R Er/Ei , R的幅角即为分界面处入射电场与反射电场的相位差,假设相位差为零,那么形成电场波腹点,假设相位差180,那么形成电场波节点.R 1,对于理想介质,R为-1,1之间的实数.2 1假设21,贝U R 0 , R的幅角为零,表示分界面处入射电场与反射电场同相,形成电场波腹点；假设21,那么R 0 , R的幅角为18

17、0,表示分界面处入射电场与反射电场反相,形成电场波节点.6-21均匀平面波从空气垂直入射于一非磁性介质墙上.在此墙前方测得的电场振幅分布如下图,求：1 介质墙的r ； 2电磁波频率f.解: (1)R211r211, r1R51Rr 0.5,r9(2)由于两相邻波节点距离为半波长,所以22 4mf310875(MHz)46-22假设在r为0.75 口 m,试求： 镀膜玻璃时,反射功率与入射功率之比.解：124的玻璃外表镀上一层透明的介质以消除红外线的反射,红外线的波长 1该介质膜的介电常数及厚度；2当波长为0.42 口 m的紫外线照射该r2r1 r3 2 ,尸 0.13(imr2 4,2(2)e

18、f3j 2 tan2d2j 3 tan2defef31312 j 13 tan 2dr3r32j4 r3 tan 工13 0.99j0.1,即反射功率与入射功率之比为0.1.6-23证实在无源区中向k方向传播的均匀平面波满足的麦克斯韦方程可简化为以下方程k HEk E Hk E 0k H0证：在无源区中向k方向传播的均匀平面波可表示为EEejk rHHejk r由于HH0e jkrejkr H0jejkr k rjejkrk H0jkH代入无源区麦克斯韦第1方程：HjE可得kHE同理可得kEH又由于EE0e jkrejk rE 0jejkr k rjejkrk E0jkE代入无源区麦克斯韦第4

19、方程：E0可得kE0同理可得kH0HEo6-24平面波的电场强度E 2 j3ex 4ey 3ez ej1.8y 2.4z V/m 试确定其传播方向和极化状态,是否横电磁波？解：1 k1.8ey 2.4ez传播方向位于yz平面内,与y轴夹角2 4180 arcta n 126.91.832 由于电场分量存在相位差arcta n,故为右旋椭圆极化.23由于E k=0,所以是横电磁波.6-25证实两种介质10 的交界面对斜入射的均匀平面波的反射、折射系数可写成sin( it)2sin tcos isin( i t)sin( i t )式中i是入射角,t是折射角.证：1由于所以(2)3由于所以(4)t

20、an( i t) tan( i t)sin(2sin t cos ii t )cos( i2cosi cos t2 cos ii cos t12sin isin tsin tcos i sin jCOS t sin tcos i sin icos t=-sin( i J sin( i t)Icos i2cos tR/ =i cos i2 cos t_ sin icos i sin tcos t sin icos i sin tcos tsin2 isin2 tsin2 isin2 tsin( iJcos( iJsin( it)cos( it)=tan( iJtan( it)T 1 Rsin(

21、i t) sin( i t)2sin t cos isin( i t)T1 Rsinsin丄1isin( i t)cos( i J sin( i t)cos( i t)sin t ?sin( i J ( i t) sin j sin( j t)cos( i t)沁？ssin j sin( j t)cos( i t)2sin tcossin( i t)cos( i t)6-26当平面波向理想介质边界斜入射时,试证布儒斯特角与相应的折射角之和为/2.证：布儒斯特角折射角sinBtBB所以布儒斯特角与折射角互余,即6-27当频率f 0.3GHz的均匀平面波由媒质 界面时,试求 临界角c ?当垂直极化

22、波以r 4,r 1斜入射到与自由空间的交vp(1)(2)i 60o入射时,在自由空间中的折射波传播方向如何？相速(3)当圆极化波以60入射时,反射波是什么极化的?解: 1.1 c arcs in 142由于 ic发生全反射所以折射波沿分界面传播,形成外表波.3108-、3 1 081.73 1 08 m/ssin ic发生全反射,反射系数的模030Vp M(3) 由于 i1 ,但反射系数的幅角R/.将圆极化波分解成相位差/2的等幅垂直极化波与平行极化波,反射后振幅不变,但相位差发生了改变,所以反射波是椭圆极化波.6-28 一个线极化平面波由自由空间投射到 电场与入射面的夹角是 45.试问：1

23、当入射角i ?时反射波只有垂直极化波.2这时反射波的平均功率流密度是入射波的百分之几? 解：1布儒斯特角r 1的介质分界面,如果入射波的故当i BB arcta nn arcta n r63.463.4平行极化波全折射,反射波只有垂直极化波.(2) R = cos cos i2. 22nsi ni1n2 . 2 | i B 1 n2 |n 2nsi ni1n0.6垂直极化波的入射功率流密度只有总入射功率流密度的r(证：(1)2cosi 1 cos t2 1 0.62 18%26-29证实当垂直极化波由空气斜入射到一块绝缘的磁性物质上 时,其布儒斯特角应满足以下关系tan2而对于平行极化波那么满

24、足关系tan2 cos i1 cos t1(2)1 cos b2cos t(3)当i B时,2C0S B1COS t(1)由折射定律可求出2cosk1sin B1 sink2sin t(2)1 ?sin B22cos B代入方程(1)1 . 2 sin br r-(1r.2 sin1 . 2 sin br r2sinr ( r r )r212costan2r2r 1r ( r r )1cosR/=i 2cos t1 cos i 2 cos t2 3式联立sinr r sin tcos B0.420与垂直极化相比拟,r与r互换tan2 b6-30设z 0区域中理想介质参数为r1 4、 n 1 ；

25、 z 0区域中理想介质参数为r2 9、 r2 1.假设入射波的电场强度为E e j6 3x z ex ey. 3ez试求：1平面波的频率；2反射角和折射角；3反射波和折射波.解：1入射面为xz面,入射波可分解为垂直极化波和平行极化波两局部之和,即e 2 z)eyj6(JxEi|ez)(ex雀) kj(xsin izcos i)6 - 3x z 得k112fk1287 MHzf 22 . 1 1(2)sin i2i60or由 sin ik2sin tk1-可得21sin tt 35.3o,k2 18.3cos i , 2 / 1 sin2(3)cos.2sin0.580(2 /1)cosi2 /

26、 12 sin i(2 /1)cosi 、2 / 1.2 sin i22 / 1cos i(2 /1) cosi .2 / 12 sin iRiTicos i . 2/1 sin2 i0.6380.0425Et|xej18(x 一2、 飞3Z)2 cos i因此,反射波的电场强度为Er Er Er| ,其中Er 0.420e j6C3x z)eyEr|0.0425e j6( z)( exez . 3)折射波的电场强度为 Et Et Et| ,其中x 2Et 0.580e 8飞ey88.79 109.1 10 311fx2：2Tj18r3z)1.276、ex 、ez e 3 3 3X36-31当

27、一个f300 MHz的均匀平面波在电子密度1014 1/米3并有恒定磁场B.5 10 3ez特斯拉的等离子体内传播,试求(1) 该等离子体的张量介电常数 ?(2) 如果这个均匀平面波是往 z方向传播的右旋圆极化波,其相速 Vp(3) 如果这个波是往z方向传播的左旋圆极化波,其相速 vp ?1j 20解:( 1)j2 10003219、2142Ne(1.610)10Pm 09.1 10318.854 10 123.177 1017-B0191.61035 10-r1 2 P 2 0.866g2P g2g2P22)0.910.0530.866j0.0530j0.0530.8660.9120.20.

28、372(rad)21.3o22(2)Vp3 1080.866 0.0533.33 108 (m/s)(3)Vp3 103.13 108 (m/s)0.866 0.053j _ z j 21z2 (e 2jze 2)ex- I2jz=2E me 2 cos(z)exsin(z)ey6-32在一种对于同一频率的左、右旋圆极化波有不同传播速度的媒质中,两个等幅圆 极化波同时向z方向传播,一个右旋圆极化E1 Eme j 1z(exjey)另一个是左旋圆极化j 2ZE 2E me(ex jey)式中21,试求(1) z 0处合成电场的方向和极化形式.(2) z l处合成电成的方向和极化形式.解：(1)E

29、 = E1+ E2= 2 E mex合成场指向ex方向,是线极化波.(2)E= E1+ E2二 Em(e j1z e j 2z)ex j(e j 2z e j 1z)eyj 1zj_ 1zj(e 2 e 2)ey电场两分量相位差等于零 合成场是线极化波sin( tanz)2cos(2故当z ,0.8660.053时合成电场与X轴夹角为亍16-33设在z 0的半空间是电子密度为N 1014 1/米3的等离子体,并有恒定磁场B. 5 10 3ez特斯拉,在Z 0半空间为真空.有一频率为300MHz的正圆极化波沿正 z方 向垂直入射到等离子体上,问在等离子体内传输波的场量为入射波的百分之几？解：对于

30、正圆极化波,等离子体等效为相对介电常数为12的介质,其中1、2与6-31题相同,故2 2 1 1,1 2 1 22.0.8660.053将产生极化面连续偏转的6-34我们知道,当线极化平面波沿恒定磁化磁场方向传播时,法拉第旋转效应.假设r 1及饱和磁化铁氧体的张量磁导率是0.8j0.5 0rj0.50.80001平面波在自由空间的相位常数是 试问1该铁氧体中任一点的 H2 rad/m,其磁场强度在z 0处是H2在z 0.2m处H与X轴的夹角3 该平面波在铁氧体中的传播速度Vp 解：1 H可分解成正负圆极化波向前传播H(exjey)He jzH(exjey)He jz式中0r0r ( 12)2.

31、 0.30 . r0.r(12)21.3+z2 / (co+zSx2He +sinzej22H 0e j5.3z cos(1.86z)ex sin(1.86z)ey(2)2 (1.30.3)(3)VpoC2c.1.3一 1.18c 一0.33GHz、磁场强度是H6-35 一个频率f传播方向磁化的无界无源均匀铁氧体中传播,磁导率是j0.31.2z(exjey)的平面电磁波,在沿波的1.2相对介电常数rj0.30r 16.试求(1)电磁波在该铁氧体中的相速Vp ?波长(2)波阻抗？电场强度E解：(1)由于H是一个左旋圆极化波Vp16.1.2 0.36.12 107 (m/s)(2)其中Vp2.04

32、 102(m)2.04(cm)1 20 31.2 0.3115.4( Q)16ez115.4H0ej308z /(jexey)2 222.04 10308(rad/m)6-36无界均匀铁氧体由恒定磁场BoBoez饱和磁化,磁导率是0.8rj0.50j0.50.80相对介电常数 r(1)磁场是16.试问yez的平面波在其中传播的相速VpH H 0eE Ee jyez的平面波在其中传播的相速 Vp 解：传播方向垂直磁化方向,是横向波(2)电场是(1)由于H沿y方向传播,只有ez分量 所以是寻常波,故相速为Vpc2212rVp c/ , r 0.75 108(m/s)(2)由于平面波向y方向传播,且Ez 0,所以是非寻常波,故相速为C221.07 108(m/s)I 0.82 0.5216 0.81