半角模型专题专练

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1、半角模型例题F,且/ EAF= 45已知，正方形ABCDK/EAF两边分别交线段BGDC于点E、结论1:BE+DF=EF结论2：SAABIE+SADF=S（AAEF结论3:AHAD结论4:zCEF的周长=2倍的正方形边长=2AB结论5:当BE=DF时，CEFI勺面积最小结论6:bM+dN=mN结论7:三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论8:EAFA是4CEF的外角平分线结论9:四点共圆结论10:ANEft人乂笈等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论11:MN=EF（可由相似得到）结论12:SAAEF=2SAAMN（可由相似的性质得至U）结论5的证明：设正方形ABCD勺边长为1则Saef=1

2、S1$8Word文档=1x)(1y)xy(1=-xy所以当x=y时，AEF的面积最小结论6的证明：将AADN顺时针旋转90使AD与AB重合 .DN=BN易证AM降AAMN .MN=MN在RtzXBMN中，由勾股定理可得：BM+BN2=MN2即bM+dN=mN结论7的所有相似三角形:AMNADFNAAMNBMEAAMNBANAAMNADMAAAMNAAFE结论8的证明：因为AMNAAFE/3=/2因为AMNABAN/3=/4；/2=/4因为AB/CDZ1=/4/1=/2结论9的证明：因为/EAN=/EBN=45A、B、E、N四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证GE、NF四点共圆A、MF、

3、D四点共圆GE、MF四点共圆已知：正方形EAF45,AE、*必会结论图形研究正方形半角模型ABCD,E、F分别在边BC、CD上，且AF分别交BD于H、G,连EF.AF平分DFE.一、全等关系(1)求证：DFBEEF;DG+BH=HG;AE平分BEF,二、相似关系(2)求证：CE也DG；CF&BH；EFJ2HG.cc_BEDF1(3)求证：AB2BGDH;AG2BGHG;-.CECF2三、垂直关系BECWord文档Word文档(4)求证：AGEG;AHFH;tanHCFABBE(5)、和差关系求证：BGDGV2BE;ADDF”DH;|BEDF|.2|BHDG|.例1、在正方形ABCD,已知/MA

4、NH450,若MN分别在边CBDC的延长线上移动， .试探究线段MNBM、DNfc间的数量关系. .求证：AB=AH.例2、在四边形ABCD,/B+/D=180,AB=AD若E、F分另在边BGCD上，且满足EF=BE+DF.求证：/EA已/BAD例3、在ABC中，AB=AC/BAC=ZDAE=120,若BD=5CE=8求DE的长。例4、请阅读下列材料：已知：如图1在RtABC中，BAC90,ABAC,点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE45.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连结ED,使问题得到解决.请你参考小明的思路探

5、究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.例5、探究：(1)如图1,在正方形ABCLfr,E、F分别是BGCD上的点，且/EA已45,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：;(2)如图2,若把问中的条件变为“在四边形ABCm，AB=AR/B+/D=180,E、F分别是边BGCD上的点，且/EAFJ/BAD,则(1)问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，2若不成立，请说明理由；(

6、3)在(2)问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BCCD长线上时，如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化， 请给出结论并予以证明.练习巩固1:如图，在四边形ABCLfr,/B=/D=90,AB=AD,若E、F分另在边BGCD上的点，且/EA已/BAD.求证：EF=BE+DF.练习巩固2:如图，在五边形ABCD中，AB=BC=CDD=DE=EA,/CAD=/BAE 求/ BAE的度数练习巩固3:已知：正方形ABCD中，MAN45o,绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CBDC(或它们的延长线)于点MN.(1)如图1,当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BMD

7、NMN.当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明.AB练习巩固4(1)如图，在四边形ABCm，AB=AR/B=/D=90,E、F分别是边BCCD上的点，且/EA已/BAD求证：EFBEFD；(2)如图在四边形ABCm，AB=ARZB+/D=180,E、F分别是边BCCD上的点，且/EA已/BAD(1)中的结论是否仍然成立?不用证明.(3)如图，在四边形ABCm，AB=AD,ZB+/ADO180,E、F分别是边BGCD

8、延长线上的点，且/EA已/BAD(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.(4)如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCDSEF折叠(点E、F分别在边ABCD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处,MNfCD交于点P,连接EP.(1)如图，若M为AD边的中点，4人的勺周长=cm；求证：EP=AE+DP;(2)随着落点M在AD4上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，PDM勺周长是否发生变化？请说明理由.(5).如图17,正方形ABCDE、F分别为BCCD4上一点.(1)若/EAF=45o.求证：EF=BE+DF.(2)若4AEF绕A点旋转，

9、保持/EAF=45o,问，CEF的周长是否随AEF位置的变化而变化？(3)已知正方形ABCD勺边长为1,如果，CEF的周长为2.求/EAF的度数.练习巩固5、如图，已知在正方形ABCDKMAN=45,连接BD与AMAN分别交于E、F两点求证：(1)MN=MB+DN(2)点A到MN勺距离等于正方形的边长；(3) VCMN勺周长等于正方形ABCD4长的2倍;SWABCD2AB(4) ；SvcmnMN(5) 若MAB=20,求AMN(6) 若MAB0pp45,求AMN;(7) E产EdDF2;(8) VAENWVAFM等腰三角形；S(9) -AEFSVAMN练习巩固6、在等边ABC的两边AB,AC所

10、在直线上分别有两点M,N,D为ABC外一点，且MDN60,BDC120,BDCD,探究：当点M,N分别爱直线AB,AC上移动时，BM,BN,MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.Word文档(1)如图，当点M,图图N在边AB,AC上，且DMDN时,BM,NC,MN之间的数量关系式此时L(2)如图，当点M,N在边AB , AC上，且DMDN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明;(3)如图，当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时，若ANx,则Q(用x,L表示)练习巩固7、如图所示，ABC是边长为1的等边三角形，BDCg顶角为120。的等腰三角形，以D为顶点作一个60白VMDN点MN分别在AB,AC上，求AMN勺周长练习巩固8、如图，在正方形ABCm，BE=3EF=5,DF=4,求/BA曰/DCF%多少度。巩固练习9、如图1,RtAABCRtzXEDF/ACB=/F=90,/A=/E=30。EDFgg着边AB的中点D旋转，DEDF分别交线段AC于点MK.如图2、图3,当/CDF0或60时，AMkCKM，“”或“”).猜想：如图1,当0ZCDR60时，AWCKMK证明你所得到的结论.如果MK2CK2AM2,请直接写出/CDF勺度数和JMK的值.AM