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1、河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷4页，23小题，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数在复平面内对应的点位于A.第
2、一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集，则A.B.C.D.3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图： 2015年高考数据统计2018年高考数据统计则下列结论正确的是A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少B.与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C.与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A.11B.12C.13D.145.
3、已知是定义在上的奇函数，若时，则时，A.B.C.D.6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A.B.C.D.7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A.B.C.D.8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体A.有四个两两全等的面B.有两对相互全等的面C.只有一对相互全等的面D.所有面均不全等9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与
4、中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A.B.C.D.10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A.B.C.D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知实数，满足约束条件
5、，则的最小值为_.14.已知数列，若数列的前项和，则的值为_.15.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有_个.16已知函数的图像关于直线对称，当时，的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考试都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17.（12分）如图，在中，是边上的一点，.（1）求的长；（2）若，求的值.18.（12分）在中，分别为，的中点，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.（1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的
6、正弦值。如图1如图219.（12分）某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数在内，且其频率满足（其中，）.（1）求的值；（2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.20.(12分）已知抛物线的焦点为，是上一点，且.（1
7、）求的方程；（2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点，证明：直线过定点.21.(12分）已知函数.（1）当时，求证：；（2）讨论函数的零点的个数。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，求的值.23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若
8、函数的值域为，求实数的取值范围.参考答案及解析河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题1.D【解析】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.2.C【解析】由，得，解得.所以或.故选C.3.D【解析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；
9、对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.4.C【解析】由及公差为2.得.所以，故.故选C.5.B【解析】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.6.A【解析】直线的斜率为，所以，又，所以，故选A.7.C【解析】.故选C.8.B【解析】几何体的直观图为四棱锥.如图.因为，.所以.因为平面，所以.同理，.因为，所以.又与不全等.故选B.9.A【解析】在中，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.10.C【解析】画出函数的图像如图所示，由图可知，所以.故选C.11.A【解析】如图，作于点.于点.因为与圆相切，所以，.又点在双曲
10、线上.所以.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为。故选A.12.B【解析】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一定是过点且与平行的直线.过点作交于点，交于点，则，连结，.则平行四边形即为截面.则五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点重合时符合题意.故.故选B.二、填空题13.【解析】可行域如图所示，当直线经过点时，取得最小值.解方程组可得点，所以.故填.14.16【解析】据题意，得，所以当时，.两式相减，得.所以当时，故.15.120【解析】.故填120.16.4【解析】据题意知，
11、函数的图像关于直线对称，曲线关于直线对称，所以，.所以，.因为，所以.所以.又与在区间上都为减函数，所以.三、解答题17.解：（1）由已知，得1分又，在中，由余弦定理，得，4分整理，得.解得.6分（2）由（1）知，所以在中，由正弦定理.得，8分解得.9分因为，所以，从而，即是锐角，11分所以.12分18.（1）证明：在题图1中，因为，且为的中点。由平面几何知识，得.1分又因为为的中点，所以2分在题图2中，且，所以平面，所以平面.4分又因为平面，所以平面平面.5分（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，.所以平面.6分又因为平面，所以.7分以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图
12、所示的空间直角坐标系.8分在题图1中，设，则，.则，.所以，.9分设为平面的法向量，则，即令，则.所以.11分设与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.12分9.解：（1）由题意知：，所以的取值为10，11，12，13，14，1分代入，可得，3分解得.4分（2）由（1），得，频率分布直方图如图：6分这40名新生的高考数学分数的平均数为. 8分（3）由题意可知，且“高考数学分数不低于130分”的概率为，所以10分所以.12分10.（1）解：根据题意知，1分因为，所以. 2分联立解的，. 4分所以的方程为.5分（2） 证明：方法一，设，.由题意，可设直线的方程为，代入，得.（3） 由
13、根与系数的关系.得，.6分由轴及点在直线上，得，则由，三点共线，得，8分整理，得.将代入上式并整理，得. 10分由点的任意性，得，所以.即直线恒过定点. 12分方法二，设，则，.6分由，三点共线，得，即，即.8分当时，点坐标为，与重合，不合题意；当时，整理，得.因为，所以直线的方程为. 10分结合.得，所以直线恒过定点. 12分21.（1）证明：当时，则.1分由.得.当时，；当时，所以函数在区间内是减函数。在区间内是增函数，3分所以是的极小值点，也是最小值点.且，故当时.恒成立.5分（2）解：据题意，得.当时，恒成立.则函数在上是减函数。又，所以函数有且只有一个零点. 6分当时.由，得.当时，
14、；当时，所以在区间内是减函数，在区间内是增函数。所以是函数的极小值点，也是最小值点，即.7分令，则，当时，；当时，；当时，所以函数在区间内是增函数，在区间内是减函数，从而是函数的极大值点.也是最大值点，所以，即（当且仅当时取等号）9分当，即时，函数只有一个零点10分当，即，且时，分和两种情况讨论：（i）当时，因为，所以在区间内有一个零点；又，因此有两个零点.（ii）当时，；由（1），得.即，亦即.令.则得，即，所以，所以在区间内有一个等点.又，因此函数有两个零点.由（i）和（ii），得当或时，函数有两个零点.综上，当或时，函数只有一个零点；当.且时，函数有两个零点。12分22.解：（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即，3分直线的普通方程为. 5分（2） 将直线的参数方程代入并化简、整理，得.5分因为直线与曲线交于，两点。所以，解得.6分由根与系数的关系，得，. 7分因为点的直角坐标为，在直线上。所以，9分解得，此时满足.且，故.10分23.解：（1）由已知不等式，得.1分考虑到，不等式又可化为或3分解得或.所以不等式的解集为.5分（2）设，则.因为当且仅当时取等号，所以. 7分因为函数的值域为，所以有解，即.因为，所以，即.所以实数的取值范围是.10分
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