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1、用向量方法解决平行问题NO.1NO.1课堂强化课堂强化第第三三章章课前预习课前预习巧设计巧设计名师课堂名师课堂一点通一点通创新演练创新演练大冲关大冲关考点一考点一考点二考点二3.23.2NO.2NO.2课下检测课下检测考点三考点三解题高手解题高手第第一一课课时时用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题第一课时用向量方法解决平行问题第一课时用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题读教材读教材填要点填要点1直线的方向向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线直线的方向向量是指和这条直线 的向量的向量2平面的法向量平面的法向量直线直线l，取直线
2、，取直线l的的 ，则，则a叫做平面叫做平面的法向的法向量量平行或共线平行或共线方向向量方向向量a用向量方法解决平行问题3空间中平行关系的向量表示空间中平行关系的向量表示线线平行线线平行设直线设直线l l，m m的方向向量分别为的方向向量分别为a a( (a a1 1，b b1 1，c c1 1) )，b b( (a a2 2，b b2 2，c c2 2) )，则，则l lm m 线面平行线面平行设平面设平面外的直线外的直线l l的方向向量为的方向向量为a a( (a a1 1，b b1 1，c c1 1) )，平 面平 面 的 法 向 量 为的 法 向 量 为u u ( (a a2 2，b b
3、2 2，c c2 2) ) ， 则， 则l l 面面平行面面平行设设，的法向量分别为的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则，则 .a ab ba au uu uv v用向量方法解决平行问题小问题小问题大思维大思维1直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？关系是怎样的？提示：提示：直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的，直线的直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的，直线的不同方向向量是共线向量，
4、平面的不同法向量是共线向量不同方向向量是共线向量，平面的不同法向量是共线向量2若直线若直线l的方向向量为的方向向量为u，平面，平面的一个法向量为的一个法向量为v，且，且uv，那么，那么l与与平行吗？平行吗？提示：提示：不一定，也可能不一定，也可能l在在内内.用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题研一题研一题 例例1根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线直线l1，l2的方向向量分别是的方向向量分别是a(1，3，1)，b(8，2，2)； (2)平面平面，的法向量分别是的法向量分别是u(1，3，0)，v(3，9，0)；
5、 (3)直线直线l的方向向量，平面的方向向量，平面的法向量分别是的法向量分别是a(1，4，3)，u(2，0，3)； (4)直线直线l的方向向量，平面的方向向量，平面的法向量分别是的法向量分别是a(3，2，1)，u(1，2，1) 用向量方法解决平行问题自主解答自主解答(1)a(1，3，1)，b(8，2，2)，ab8620，ab，即，即l1l2.(2)u(1，3，0)，v(3，9，0)，v3u，vu，即，即.用向量方法解决平行问题(3)a(1，4，3)，u(2，0，3)，au0且且aku(kR)，a与与u既不共线也不垂直，即既不共线也不垂直，即l与与相交但不垂直相交但不垂直(4)a(3，2，1)，
6、u(1，2，1)，au3410，au，即，即l或或l.用向量方法解决平行问题悟一法悟一法 1两直线的方向向量共线两直线的方向向量共线(垂直垂直)时，两直线平行时，两直线平行(垂直垂直) 2直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行或线面平行 3两个平面的法向量共线时，两平面平行两个平面的法向量共线时，两平面平行用向量方法解决平行问题通一类通一类1根据下列条件，判断相应的线线、线面、面面的位置关系根据下列条件，判断相应的线线、线面
7、、面面的位置关系 (1)直线直线l1，l2的方向向量分别是的方向向量分别是a(1，0，1)，b(3， 0，3)； (2)直线直线l的方向向量为的方向向量为a(1，2，1)，平面，平面的法向量是的法向量是u(2，1，0)； (3)两平面两平面，的法向量分别为的法向量分别为u(1，1，3)，v(1， 2，0)用向量方法解决平行问题解：解：(1)b3(1，0，1)3a，l1l2.(2)au2200，au，l或或l.(3)uv1230，又又ukv，u与与v既不共线也不垂直，既不共线也不垂直，两平面相交但不垂直两平面相交但不垂直.用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题研一题研一题用向量方法解决平行
8、问题利用待定系数法求平面法向量的解题步骤：利用待定系数法求平面法向量的解题步骤：悟一法悟一法用向量方法解决平行问题通一类通一类用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题例例3已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，E、F分分别是别是BB1、DD1的中点，求证：的中点，求证：(1)FC1平面平面ADE；(2)平面平面ADE平面平面B1C1F. 研一题研一题 用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题悟一法悟一法 1用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平
9、面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内的法向量垂直且直线不在平面内 2利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行的法向量平行用向量方法解决平行问题通一类通一类3在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，DA2，DC3，DD14，M、N、E、F分别为棱分别为
10、棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点的中点求证：平面求证：平面AMN平面平面EFBD.证明：法一：证明：法一：建立如图所示的空间直角建立如图所示的空间直角坐标系，则坐标系，则A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N(2， ，4)，E(0， ，4)，F(1，3，4)3232用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题 已知在长方体已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、M分别是分别是BC、AE的中点，的中点，ADAA1a，AB2a.试问在线段试问在线段CD1上是否上是否存在一点存在一点N使使 平面平面ADD1A1，若存在确定，若存在确定N的位置，的位置，若不存在说明理由若不存在说明理由 巧思巧思可假设可假设N存在，根据存在，根据N在在CD1上设出上设出N的坐标，的坐标，从而可求得向量从而可求得向量 的坐标，由的坐标，由MN平面平面ADD1A1得得 垂直于该垂直于该平面的法向量，建立等式，判断是否有解平面的法向量，建立等式，判断是否有解MN 用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题用向量方法解决平行问题点此进入点此进入用向量方法解决平行问题点此进入点此进入
用向量方法解决平行问题
