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1、全等二角形中常见的辅助线（）适用学科数学适用年级初中二年级适用区域人教版课时时长（分钟）60知识点倍长中线法；截长补短法教学目标1 .掌握倍长中线法的运用条件2 .掌握截长补短法的运用条件教学重点对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用教学难点对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用教学过程一、复习预习全等三角形的判定定理：1、SSS三边对应相等的两个三角形全等2、SAS两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等3、AAS两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4、ASA两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等5、HL在直角三角形中，直角边与斜边对应相等的两个三角形全等二、知识讲解考点1遇到三
2、角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等,转”.构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋考点2截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目三、例题精析【例题11E3【题干】已知：如图3所示，AD为ABC的中线，求证：AB+AC2AD【答案】证明：延长AD至E,使DE=AD连接ECAD中线.DC=DBvDE=ADZCDEMBDADC=DB.CD摩zBDACE=AB在AAEC中CE+A8ARCE=ABAB+ACAEvDE=AD.AE=2AD.
3、AB+ACAE.AB+AC2AD【解析】分析：要证AB+AC2AD由图形想至U:AB+BDAD,AC+CDA所以有：AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD但它的左边比要证结论多BD+CD故不能直接证出此题，而由2AD1到要构造2AD即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。【例题21【题干】已知：如图1所示，AD为4ABC的中线，且/1=Z2,Z3=Z4o求证：BE+CFEF【答案】证明：在DA截取DN=DB连接NENF,贝UDN=DC在口DNBtDN=DBZ1=Z2DE=DE.DE军zDNE(SA9.BE=NE同理可得：CF=NF在zEFN中，EN+FNEF.BE+CFEF【解析】
4、分析：要证BE+CFEF,可利用三角形三边关系定理证明，须把BE,CF,EF移到同一个三角形中，而由已知/1=/2,/3=/4,可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把ENFNEF移到同个三角形中。四、课堂运用【基础】1、AABGf,AB=5AC=3则中线AD!勺取值范围（A.KAEX4B. 3VAX13C. 5VAX13D. 9VAEX13【答案】A【解析】解：延长AEEM得DM=AB然三角形AB而等于三角形CDM所以AB=CM又CM-ACvAMvCM+AC所以2V2*AD8所以1vAD42、已知在ABGKAB=AQDftAB,E在ACfi勺延长线上，DBCfF,且DF=E
5、lf求证：BD=CEB FGE【答案】过DWF/A（CcBCfF,.DF/AC（已知）,.二/DFCWFCE/DFBNACB（平行线的性质）,;AB=AC（已知）,/B=/ACB（等边对等角）,/B=/DFB（等量代换），BD=DF（等角对等边），.BD=CE（已知），DF=CE（等量代换），./DFCWFCE/DGFMCGE（已证），.DF冬AECG（AAS,.DG=GE对应边相等）【解析】过Df乍DFIIARBCfF,利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证GD筲CB3即可.【巩固】1、已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EFD
6、【答案】解：延长AD至G,使得AD=DG连接BG,GC.ABC中,AD是BC边上的中线BD=DC.AD=DG一四边形ABG平行四边形 .AC=BG,AC/BG .AF曰AGBE .AF/FE=GB/BE.AC=BE,AC=BGBE=BG.AF=FE【解析】延长AEEG使得ad=DG连接BG,GC根据全等证明AF=EFAD平分/ BAE.2、如图，/XABC,BD=DC=ACE是DC的中点，求证:【答案】延长AE至UM使EM=AE连结DM易证ADEMWACEAZC=ZMDE,DM=AC又BD=DC=ACaDM=BQ/ADCCAD又/ADBWC+/CADZADM/MDEADCaZADM/ADB.A
7、DMAADBZBADWMAD即AD平分/BAE【解析】因为BD=DC=AC所以AC=1/2BC因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC/ACEWBCA所以BCAACE所以/ABCWCAE因为DC=AQ所以/ADCMDAC/ADCMABC廿BAD所以/ABC廿BADWDAE廿CAE所以/BADWDAE即AD平分/BAE【拔高】ABC的角01、如图，已知在ABCft,BAC60,C40,P,Q分别在BCCA,并且AP,BQ分别是BAC,平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPC【答案】证明：做PMIIBQ与QC相交与MZAPB=180ZBAP-ZABP=1803080=70且/APM=180
8、ZAPB-ZMPC=18070ZQBC=180./APBWAPM又;AP是BAC的角平分线，ZBAPWMAPAP是公共边.AB阵AMP角边角） .AB=AMBP=MP在ZMCP/MPC=40 .MP=MC-7040=70AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在QBCvZQBC=QCB=40BQ二QCBQ+AQ=AQ+QC=ACBQ+AQ=AB+BP【解析】做辅助线PMIIBQ与QC相交与Ml首先算清各角的度数，然后证明全等，即可证明结论2、如图，AC/BDEA,EB分另1J平分/CAB/DBACD过点E,求证;AB=AC+BD【答案】在AB上取点N,使得AN=ACZCAEWEAN,AE=AE,.CAAEAN./ANEWACE又AC/BDZACE-BDE=180而/ANEMENB=180/ENBWBDB/NBEWEBNBE=BE.EBAEBDBD=BN.AB=AN+BN=AC+BD【解析】根据截长补短的方法以及三角形全等即可得到结论课程小结1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目
全等三角形做辅助线-倍长中线、截长补短教案
