一阶常微分方程模型

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1、Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作数学建模数学建模（Mathematical Modeling）Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教

2、研组 2009年 制作Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作人口增长率人口增长率 r 是常数或单位时间内人口增长量与当是常数或单位时间内人口增长量与当时的人口数量成正比。时的人口数量成正比。常用假设：常用假设： 大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数。大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数。Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作Mathematical ModelingMathematic

3、al Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作00( )( ) ,0( )dN trN trdtN tN 其中其中 N0 为为 t=t0 时的人口数。时的人口数。Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作表表1：美国的实际人口与指数增长模型计算人口比较：美国的实际人口与指数增长模型计算人口比较年份年份实际人口实际人口预测值预测值误差（误差（%）1790390180053018107207301.4182096010004.21830129013706.2184017

4、1018709.418502320256010.318603140350010.818703860478023.80()00( )3905303900.307r t trN tN eNer t 以以10年为单位。年为单位。Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作n与与1919世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合n适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代n可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测n不符合不符合19世纪后多数

5、地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律n不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程产生这些缺陷的主要原因n人口增长率人口增长率 r 不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)改进nLogistic 模型模型Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大r 是是 N(t) 的减函数的

6、减函数Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作( )(1),0mN trrN00( )( )(1)( )( )mdN tN trN tdtNN tN Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作00( )( )(1)( )( )mdN tN trN tdtNN tN 0()( )1(1)mr t tmNN tNeN Mathematical ModelingMathematical Modeling西

7、南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作dN/dtt0NmNm/2NmtN(t)0N0Nm/2Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作某人的摄入热量是每天某人的摄入热量是每天25002500大卡（大卡（CalorieCalorie，卡路，卡路里，热量单位），其中里，热量单位），其中12001200大卡用于基本的新陈代大卡用于基本的新陈代谢。在健身训练中，他所消耗的大约是每天每千克谢。在健身训练中，他所消耗的大约是每天每千克体重为体重为1616大卡，设以脂肪形式贮藏的热量大卡，设以脂

8、肪形式贮藏的热量100%100%地地有效，而有效，而1 1千克脂肪含热量千克脂肪含热量1000010000大卡。求此人的体大卡。求此人的体重随时间变化的规律。重随时间变化的规律。提示提示：n每天体重的变化每天体重的变化 = 每天净吸收量每天净吸收量 - 每天健身训练的消耗每天健身训练的消耗013001610000(0)dWWdtWW Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作 许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只能间接的得到这些量及其导数之间的关

9、系，从而使得微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举几个实例来说明。嫌疑犯问题 受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上8：20赶到现场，测得尸体体温为 ，一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为C。6 .32C。4 .31Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作室温在几小时内始终保持 ，此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的

10、问题：是张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外 ？C。1 .21( )8 20(0)32.6, (1)31.437( )37dT ttTC TCTCT tCT。解:设表示时刻 尸体的温度，并记晚 ： 为，则假设受害者死亡时体温是正常的，即。要确定受害者死亡的时间，也就是求的时刻 。如果此时张某在办公室，则他可被排除在嫌疑犯之外，否则不能被排除在嫌疑犯之外。Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作 人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体温

11、度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差，即0.110(21.1)( )21.1(1)21.132.6.11.5115(1)21.1 11.531.4,ln0.110.103( )21.1 11.5ktktdTk tdtkT tCeTCCTekT te其中 为常数，这是一阶可分离变量的微分方程。此微分方程的通解为因为所以又因为所以于是Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作。能被排除在嫌疑犯之外，因此张某不：在下午即被害人死亡时间大约分小时分小时分小时所以分小时小时，所以时，有当。23523557220857295. 2375 .111 .2137110. 0dtTteCTMathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作