全等三角形动点问题

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1、全等三角形动点问题一)、知识回顾动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动.热身练习：1、如图，在等腰ACB中,AOBO5,AB=8,D为底边AB上一动点(不与点A,B重合)，DHAC,DF,BC,垂足分别为E,F,贝UD斗DF=.二)、例题辨析例1、如图，在等腰RtAABC,/ACB=90,AC=CBAC=8,F是AB边上的中点，点DE分别在AC

2、BC边上运动，且始c终保持AD=CE连接DEDREF.(1)、求证：ADFACEF.A.pB(2)、试证明DFE是等腰直角三角形.(3)、在此运动变化的过程中，四边形CDFE勺面积是否保持不变？试说明理由.(4)、求CDE面积的最大值.例2如图，ABC的边BC在直线？/上，ACLBC,且AOBC,EFP的边FP也在直线？；上，边EF与边AC重合，且EF=FP。？(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写由AB与AP所满足的数量关系和位置关系；？(2)将EFP沿直线？，向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连结ARBQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。练习：1

3、、如图，在等腰RtAABC,/C=90,AC=8F是AB边上的中点，点D、E分别在AGBC边上运动，且保持AD=CE连接DEDF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：4DFE是等腰直角三角形；DE长度的最小值为4;四边形CDFE的面积保持不变；CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是()A.B.C.D.2、(2011湖北随州，18,7分)在等腰三角形ABC中，/ABC=90,D为AC边上中点，过D点作DEIDF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长.例2：在AABC中，AB=AC,CG_LBA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为

4、F,一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B.(1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE_LBA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写由DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；(3)当三角尺在的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)例3、如图，在等边ABC中，AB=9cm点P从

5、点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q点从B点由发沿BA边向A点以5cm/s速度移动.P、Q两点同时由发，它们移动的时间为t秒钟.(1)你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示由来.(2)请问几秒钟后，PBQ为等边三角形？(3)若P、Q两点分别从CB两点同时由发，并且都按顺时针方向沿ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？三）、归纳总结动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。四）、拓展延伸例1、在RtAABC,AC=

6、BC/C=90,D为AB边的中点，/EDF=90,/EDF绕D点旋转，它的两边分别交ACCB（或它们的延长线）于E、F.1、当/EDF绕D点旋转到DE!AC于E时（如图1）,易证1SADEFSACEF-TSAABC22、当/EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，$DEB$CEB$AB汉有怎样的数量关系？请写由你的猜想，不需证明.例2、（2014?德州,第23题10分）问题背景：如图1:在四边形ABB,ABAD/BAD120。，/B=/ADC90.E,F分别是BCCDk的点.且/EAf=60.探究图中线段BEEF,FD之间

7、的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DGBE连结AG先证明AB自ADG再证明AE已AAGF可得由结论，他的结论应是EF=BEhDF;探索延伸：如图2,若在四边形ABC冲，AB=AD/B/D=180.E,F分别是BCCD的点，且/EA=/BAD上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30日A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70白B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达

8、E,F处，且两舰艇之间的夹角为70,试求此时两舰艇之间的距离.例3、如图1,一等腰直角三角尺GEF（/EGF=90,/GEF=/GFE=45,GE=GF的两条直角边与正方形ABCD勺两条边分别重合在一起.现正方形ABC啾持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点0（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转.（1）如图2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BMFN的长度，猜想FN,BM相等吗?并说明理由；（2）若三角尺GEFS转至改口图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由.例

9、4、在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换.活动一：如图1,在RtAABC,D为斜边AB上的一点，AD=ZBD=1,且四边形DECF是正方形，求阴影部分的面积.小明运用图形旋转的方法，将DBF绕点D逆时针旋转90,得到DGE（如图2所示），一眼就看由这题的答案，请你写由阴影部分的面积：.活动二：如图3,在四边形ABC计，AB=AD/BADhC=90,BC=5,CD=3过点A作AE，BC,垂足为点E,求AE的长.小明仍运用图形旋转的方法，将ABE绕点A逆时针旋转90,得到ADG（如图4所示），则四边形AEC盅怎样的特殊四边形？答：.AE的

10、长是.活动三：如图5,在四边形ABC力，ABAD,CD!AD,将BC按逆时针方向绕点B旋转90得到线段BE,连接AE.若AB=2,DC=4求ABE的面积.例5、已知，在AABC中，/ACB为锐角，D是射线BC上一动点（D与C不重合），以AD为一边向右侧作等边AADE（C与E不重合），连接CE.若MBC为等边三角形，当点D在线段BC上时（如图1所示），则直线BD与直线CE所夹锐角为度；若BC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时（如图2所示），你在中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；若MBC不是等边三角形，HbCaAC（如图3所示）.试探究当点D在线段BC上时，你在中得到的结论是否仍然成立

11、？若成立，请说明理由；若不成立，请指由当NACB满足什么条件时，能使中的结论成立，并说明理由.问题（1）中结论不成立，当/ACB=60时，能使直线BD与直线CE所夹锐角为60,证明：当C氏AC时，在CB上截取一点G,使得CG=CA连接AG（如图所示），,/ACB=60,.GA2等边三角形，AC=AG/AGCNGAC=60,.ADE是等边三角形，AE=AD/DAE=60,0，/DAE-/CAD=/GAC-/CAD,ar从而/CAE叱GAD，ACEAGD(SA0,，/ACE叱AGD=60,，/ECF=180-(/ACB吆ACE=60,此时直线BC与直线CE所夹锐角为60,当CD=AC寸，点C与点E

12、重合，不符合题意.当CDAC时，延长EC到H,在CB上截取一点G,使得CG=CA连接AG(如图所示).同(1)可证ACEAGD/ACE叱AGD=180-/AGC=120,/HCF叱DCE=120-/ACB=60,此时直线BC与直线CE所夹锐角为60.点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论当CDAC时得由答案是解题关键.？例6、在等边MBC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为AABC外一点，旦NMDN=60,NBDC=120。，BD=CD,探究：当点M,N分别爱直线AB,AC上移动时，BM,BN,MN之间的数量关系及MMN的周长Q与等边丛BC的周长L的关系.

13、如图，当点M,N在边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系式；it匕时Q=如图，当点M,N在边AB,AC上，且DM#DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写由你的猜想并加以证明；如图，当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时，若AN=x,贝fQ=（用x,L表示）五）、课后作业1、如图，在等边AABC的顶点AC处各有一只蜗牛，它们同时由发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗?（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q,

14、其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中NCQE的大小条件不变，求证：CQE=60（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确2、如图（1）ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时由发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP,BD交于点Q,两点运动过程中AP=BD5g立吗？请证明你的结论；（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D,P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中/BQP的大小保持不变

15、.请你利用图（2）的情形，求证：/BQP=60;（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3）,则动点D,P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写由证明过程.（图1）（图2）（图3）3 .如图，点A,E,F,C在一条直线上，AE=CF.过点E,F分另I作DEIAC,BFAC,连接B,D交AC于点G,若AB=CD（1）试说明BD平分EF.（2）若将DEC勺边EC沿AC方向移动到如图所示位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？试说明理由.4 .如图（1）,RihlBC中,ACB=CDLABy垂足为D。AF平分4杷，交CD于点E,交CB于点Fo（1）求证:CE二CF。（2）将图（1）中的谢沿乂3向右平移到逊团的位置,使点落在8c边上，其它条件不变，如图（2）所示。试猜想：BE，与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论。5 .如图，在等边MBC中，点D在直线BC上，连接AD,作诉二,直线DN交射线AB于点E,过点C作CF/MB交直线DN于点F。（1）当点D在线段BC上，/昭B为锐角时,如图，求证：伊例二鼠（提示：过点F作到舛C交射线ab于点研）（2分）(2)当点D在线段BC的延长线上。吼为锐角时，如图；当点D在线段CB的延长线上，为钝角时，如图，请分别写生线段CF,BE,CD之间的数量关系，不需要证明。(3分)