关于不定积分的分部积分法运算技巧

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1、2014 年 8 月廊坊师范学院学报( 自然科学版)Aug 2014第 14 卷第 4 期Journal of Langfang Teachers College( Natural Science Edition)Vol 14 No 4关于不定积分的分部积分法运算技巧上宏昌( 西安职业技术学院，陕西 西安 710077)【摘 要】 分部积分法是不定积分的一种重要的积分方法，其关键是要合理地选取 u 和 dv。根据多年的教学实 践，归纳总结出了 u 和 dv 的选取规律和技巧，指出了分部积分法的适用范围和应注意的问题，降低了分部积分法的 难度，旨在提高学生分部积分法的运算效率。【关键词】 高等数

2、学; 不定积分; 分部积分法; 技巧On the Indefinite Integral Subsection Integral Operation SkillsSHANG Hong-chang【Abstract】 The integration by parts is an important integral method of indefinite integral，the key is to select reasonable udv Based on years of teaching practice，the paper summarized the selection rules

3、 and skills of udv，points out the scope of integration by parts and the problems that should be paid attention to，reduces the difficulty of the subsection inte- gral method，in order to improve the students efficiency of operating integral method【Key words】 higher mathematics; indefinite integral; in

4、tegral method; skills中图分类号O172 2文献标识码A文章编号1674 3229( 2014) 04 0019 04在不定积分的运算方法中，分部积分法是一种 重要的积分方法，也是较有难度的一种积分方法。学 生在学习这种方法的过程中，由于不能正确把握 u 和 dv 的选择规律，导致对分部积分的运算感到茫 然，当然也就谈不上熟练掌握和应用技巧。因此，在 分部积分法的教学实践中，要让学生掌握 u 和 dv 的 选择规律，加深对分部积分公式的理解，通过针对性 的习题提高分部积分法的运算技巧和运算能力。1不定积分的分部积分公式由于不定积分与微分互为逆运算，而分部积分 法是与积的微分

5、法则相对应的积分方法，其公式的 推导过程如下: 设 u，v 都是可微函数，则 d( uv) =vdu + udv，两端同时求积分可得 d( uv) = vdu +udv，整理后即为分部积分公式udv = uv vdu。分部积分公式把积分udv 分成两部分: 一部分为 uv，另一部分为vdu，其目的是为了把难以求出的 积分udv 经过分部转化为容易求出的积分vdu 来 运算。因此，在进行分部积分运算时如何把f( x) dx 转化成udv 的积分形式就显得尤为重要，而 积分f( x) dx 转化成udv 的关键是从被积表达式 f( x) dx 中选择 u 和 dv，只有合理地选取 u 和 dv，才

6、能使udv 经分部转化成易积的vdu，从而达到求出f( x) dx 积 分结果的目的。2 分部积分法中 u 和 dv 的选择在分部积分法的教学实践中，要教会学生选取u 和 dv 的方法，总结选取规律。收稿日期 2014 06 01作者简介 上宏昌( 1971 ) ，男，西安职业技术学院副教授，研究方向: 高等数学。2014 年 8 月廊坊师范学院学报( 自然科学版)第 14 卷第 4 期2 1选择原则选择 dv 时，要通过凑微分使 v 容易求出，这是分把对数函数选作 u，即 u = lnx，则 dv = xdx解: 设 u = lnx，dv = xdx，则 du = 1 dx，由 dv =x部

7、积分的前提; 选取 u 和 dv 时，要使vdu 比udv 易 2 2 2 2 积，这是分部积分的目的。在选取 u 和 dv 时，只有满xdx = d x22，得 v = x2。 xlnxdx = x2lnx x21 dx x足这两条原则，才能使积分由难变易，才能通过分部= x x x 2x 2的方法求出积分结果。否则，非但求不出积分结果，2 lnx 2 dx =2 lnx 4 + C。还会使vdu 比udv 变得更难求出积分结果。2 2选择规律分部积分法的难点在于 u 和 dv 的选取，经过多年的教学实践，笔者总结出了 u 的选择顺序为“反三 角、对数、幂、三角、指数”型函数，也就是说，被积

8、表 达式中如果含有以上五类函数，按照“反对幂三指” 的顺序，谁排位靠前，就选择谁为 u，剩余部分选作 dv，然后套用分部积分公式即可求出积分结果。可见，只要从被积表达式 f( x) dx 中按照上述口诀选出 了 u，dv 则随之产生。这样，就把选取 u 和 dv 的两个 难题转化为选择 u 的单一问题，从而极大地降低了 分部积分法的难度。3分部积分法的适用范围例 2求xex dx。分析: 被积函数为幂函数和指数函数的乘积，故 把幂函数选作 u，即 u = x，则 dv = ex dx。解: 设 u = x，dv = ex dx，则 du = dx，由 dv = ex dx= dex ，得 v

9、= ex 。 xex dx = xex ex dx = ( x 1) ex + C。例 3求arcsinxdx。分析: 积分arcsinxdx 是个现成的udv 形式，故 选 u = arcsinx，dv = dx。解: 设 u = arcsinx，dv = dx，则 du =1dx，槡1 x2v = x， arcsinxdx = xarcsinx xdx =槡1 x2不定积分的方法有直接积分法、换元积分法、分部积分法等常用方法，在进行积分运算时到底该选xarcsinx + 1 2 1 d( 1 x2 )= xarcsinx +2择哪种积分方法，往往是学生犯难的事情，如果能确 定积分方法，计算

10、过程就容易了许多。正如医生开方槡1 x2 + C。槡1 x容易而诊断病情困难一样，只要确诊了病情就能对 症下药。因此，积分运算重要的是甄别积分方法，而 不是运算过程。积分运算要根据被积函数的特点来 选择积分方法。如果被积函数是两个不同类型的函 数乘积的形式并且不能用直接积分法和换元积分法 进行运算，就要用分部积分法。这里所说的函数类型 指常数、幂、指数、对数、三角、反三角型函数。学生只 有根据被积函数的特点学会判别分部积分的方法， 才算掌握了分部积分运算，才能提高分部积分的运 算能力。4分部积分法的应用举例例 1求xlnxdx。分析: 被积函数为幂函数和对数函数的乘积，故20可见，只要在被积表

11、达式中按照“反对幂三指”的顺序选取 u，把剩余部分看作 dv，就解决了分部积 分法中 u 和 dv 的选取难题，再套用公式就会使得分 部积分的运算容易许多。当然，如果对分部积分的运 算比较熟练之后，u 和 dv 的选取过程可以不写出来，而是将其默记在心里，使得分部积分运算的解题过 程更加简单化，此时分部积分法的解题步骤可分为 “凑微、分部、积分”三步。例 4求xcosxdx。分析: 被积函数为幂函数和三角函数的乘积，故 把幂函数选作 u，即 u = x，由 dv = cosxdx = dsinx， 得 v = sinx，此时将 u，dv，du，v 默记在心，直接套用 公式。解: xcosxdx

12、 凑微xdsinx 分 部 xsinx sinxdx第 14 卷第 4 期上宏昌: 关于不定积分的分部积分法运算技巧2014 年 8 月积分 xsinx + cosx + C。有些不定积分可以连续多次使用分部积分法， 而且个别积分通过多次分部后又回归到原积分上 去，这时要经过整理，用代数计算的方法求出积分结果，此时千万不要漏掉积分常量 C。例 5求x2 ex dx。分析: 被积函数为幂函数和指数函数的乘积，故 把幂函数选作 u，即 u = x2 ，则 dv = ex dx = dex 。解: x2 ex dx 凑微x2 dex 分部 x2 ex ex dx2 = x2 ex 2xex dx再凑

13、微 x2 ex 2xdex 再分部 x2 ex 2xex + 2ex dx积分( x2 2x + 2) ex + C。例 6求cosxex dx。分析: 被积函数为三角函数和指数函数的乘积，在教学实践中，学生根据上面的口诀和方法很 容易就能选取 u 和 dv，但有时候由 dv 求 v 又有困难， 如在arcsinxlnxdx 中，显然应该选 u = arcsinx，dv =lnxdx，而由 dv = lnxdx 怎样求出 v 这就涉及到凑微分运算，学生往往是很难直接凑出微分的。这里有一 个小技巧: 把由 dv = lnxdx 求 v 可以看作另一个新积 分lnxdx，对这个新积分用分部积分法就

14、能轻松求 得，lnxdx = xlnx x + C，故可凑出微分 dv = lnxdx= d( xlnx x) ，达到求出 v = xlnx x 的目的。例 7arcsinxlnxdx。解: arcsinxlnxdx = arcsinxd( xlnx x)= arcsinx( xlnx x) ( xlnx x) darcsinx = x( lnx 1) arcsinx ( lnx 1) x dx = x( lnx 2故把三角函数选作 u，即 u = cosx，则 dv = ex dx =dex 。解: cosxex dx 凑 微 cosxdex 分 部 cosxex 1) arcsinx +

15、( lnx 1) d槡1 x槡1 x2= x( lnx ex dcosx = cosxex + sinxex dx1) arcsinx + ( lnx 1)槡1 x2 槡1 x2 d( lnx 再凑微 cosxex + sinxdex 再分部( cosx + sinx) ex1)=( lnx1) ( xarcsinx+槡1 x2槡1 x2 ) ex cosxdx( 注意: 两次凑微时，选作 u 的函数类型 要一致，即都选三角函数为 u) 。整理得，cosxex dx = 1 ( cosx + sinx) ex + C( 切xdx。 槡1 x 2 而x如下:dx 可用换元积分法求出结果，过程2令

16、 x = sint，t ，0) ， ( 0， ，则 cost =22记: 此处不要漏掉积分常量 C) ，在求 cosxex dx 时， 22槡1 x2 槡1 xdx = costdsint = cos tdt如果 尝 试 着 选 指 数 函 数 作 为 u，则 cosxex dx =xsintsintex dsinx = ex sinx sinxdex = ex sinx sinxex dx = cot2 tdcost = ( 1 csc2 t) dcost = cost ex sinx + ex dcosx = ex ( sinx + cosx) cosxdex = 1 1 cos2 tdc

17、ost=cost 1 (2 1 1 cost+ex ( sinx + cosx) cosxex dx，整理 得，cosxex dx = 1 ) dcost = cost +1 + cost 12 ln( 1 cost) 12 ln( 1 + 1 ( cosx + sinx) ex + C。2cost) + C =1 x2 + 1 ln 1 槡21 x 2槡+ C。2可见，当被积极函数是指数函数与三角函数作 积时，可以选三角函数为 u，也可选指数函数为 u。1 + 槡1 + x arcsinxlnxdx=( lnx 1) ( xarcsinx +212014 年 8 月廊坊师范学院学报( 自然科

18、学版)第 14 卷第 4 期槡1 x2 ) 槡1 x2 1 ln 1 槡1 x + C。方面要求出微分 du，另一方面要通过 dv 求 v，即凑微221 +槡1 + x2分，这是学生学习分部积分的难点，如前所述，这个凑微的过程可以用一个新的积分运算完成。计算arcsinxlnxdx 时，如果尝试着把对数函数选 作 为 u， 则 由 例 3 易 得， arcsinxlnxdx =5 3积分运算的书写格式在进行分部积分运算时，学生往往会把注意力 放在 u 和 dv 的选取、凑微分、套用公式上，不经意间lnxd( xarcsinx+槡1 x2 )=( xarcsinx+就有可能漏写积分号“”、微分号

19、“dx”或积分常量槡1 x2 ) lnx ( xarcsinx +槡1 x2 ) dlnx=2“C”，这些细节在教学过程中要经常提醒学生注意。5 4灵活选择积分方法x( xarcsinx + 槡1 x2 ) lnx ( arcsinx + 槡1 x) dx有些分部积分运算并不只是单纯地使用分部积= ( xarcsinx +槡1 x2 ) lnx ( arcsinxdx 2分法，可能还会和直接积分法或换元积分法结合使用。因此，在分部积分运算的不同阶段，要根据被积 函数的特点灵活选择积分方法，不能局限在分部积槡1 x2xdx = ( xarcsinx +槡1 x2) ( lnx 1) 分法中而执拗

20、地分部到底，如例 3、例 7 就先用分部槡1 x2 1 ln 1 21 +槡1 x + C。槡1 + x2积分法，再使用换元积分法。5 5检验积分结果有些不定积分，当被积极函数是对数函数与反三角函数作积时，可以选反三角函数为 u，也可选对 数函数为 u。所以，分部积分运算在选择 u 时可以按 照“反对幂 三指”的顺序，也 可以按 照“对 反幂指 三”的顺序，但幂函数始终处在中间的位置，学生可 以灵活掌握某一顺序。5 分部积分法应注意的问题5 1 合理选择 u 和 dv虽然分部积分法的关键是选择 u 和 dv，但只要 从被积表达式中选出了 u，dv 就一目了然。因此，在 选择 u 和 dv 时应

21、重点考虑 u，当然 u 可以按照“反对 幂三指”、“反对幂指三”、“对反幂指三”或“对反幂 三指”的任一顺序来选取，学生应熟练掌握其中之 一，在同一个积分运算中，如果要连续使用分部积分 法，最好按同一顺序来选取 u。5 2 凑微分在确定了 u 和 dv 以后，应用分部积分公式时一由于对不定积分采用的积分方法和积分公式不 同，可能导致积分结果在表达形式上不唯一，因此， 一定要对积分结果进行检验。检验时除了检查积分 过程和书写格式外，最重要的是判断积分结果的导 数是否等于被积函数。总之，在学习不定积分的分部积分法时，如果能 弄清分部积分法的使用范围，按照口诀选取 u 和 dv， 再套用分部积分公式，练习时把握好每一个环节，就一定能提高分部积分法的运算能力和技巧。参考文献1华东师范大学数学系 数学分析( 第 3 版) M 北京: 高 等教育出版社，20022 陈笑缘，于信 高等数学M 北京: 中国财经经济出版 社，20083 罗琼 不定积分的分部积分法教学浅谈J 商丘职业技 术学院学报，2012，11( 5) : 15 1822