2021届高考数学第一轮复习押题专练(17)含答案

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1、1.了解平面向量根本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1平面向量根本定理如果e e1，e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a a，有且只有一对实数1，2，使a a1e e12e e2其中，不共线的向量e e1，e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，那么a ab b(x1x2，y1y2)，a ab b(x1x2，y1y2)，a a(x1，y1)，|a a|x

2、21y21(2)向量坐标的求法假设向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么AB(x2x1，y2y1)，|AB| x2x12y2y123平面向量共线的坐标表示设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，那么a ab bx1y2x2y10高频考点一高频考点一平面向量根本定理的应用平面向量根本定理的应用例 1、(1)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，假设ABAMAN，那么等于()A.15B.25C.35D.45(2)如图，在ABC中，AN13NC，P是BN上的一点，假设APmAB211AC，那么实数m的值为_答案

3、(1)D(2)311【感悟提升】(1)应用平面向量根本定理表示向量的实质是利用平行四边形法那么或三角形法那么进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量根本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决【变式探究】(1)在平行四边形ABCD中，ABe e1，ACe e2，NC14AC，BM12MC，那么MN_.(用e e1，e e2表示)(2)如图，ABa a，ACb b，BD3DC， 用a a，b b表示AD， 那么AD_.答案(1)23e e1512e e2(2)14a a34b b高频考点二高频考点二平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算

4、例 2、(1)a a(5，2)，b b(4，3)，假设a a2b b3c c0，那么c c等于()A.1，83B.133，83C.133，43D.133，43(2)点A(1,3)，B(4，1)，那么与向量A B同方向的单位向量坐标为_答案(1)D(2)35，45解析(1)由 3c ca a2b b(5,2)(8，6)(13，4)所以c c133，43 .(2)ABOBOA(4，1)(1,3)(3，4)，与A B同方向的单位向量为A B|A B|35，45 .【感悟提升】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法那么进行计算假设有向线段两端点的坐标， 那么应先求出向量的坐标， 解题过程中要注意方

5、程思想的运用及正确使用运算法那么【变式探究】(1)点A(1,5)和向量a a(2,3)，假设AB3a a，那么点B的坐标为()A(7,4)B(7,14)C(5,4)D(5,14)(2)在ABC中，点P在BC上，且BP2PC，点Q是AC的中点，假设PA(4,3)，PQ(1,5)，那么BC等于()A(2,7)B(6,21)C(2，7)D(6，21)答案(1)D(2)B解析(1)设点B的坐标为(x，y)，那么AB(x1，y5)由AB3a a，得x16，y59，解得x5，y14.(2)BC3PC3(2PQPA)6PQ3PA(6,30)(12,9)(6,21)高频考点三高频考点三向量共线的坐标表示向量共

6、线的坐标表示例 3、(1)平面向量a a(1,2)，b b(2，m)，且a ab b，那么 2a a3b b_.(2)梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，那么点D的坐标为_答案(1)(4，8)(2)(2,4)【变式探究】点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，那么AC与OB的交点P的坐标为_答案(3,3)解析方法一由O，P，B三点共线，可设OPOB(4，4)，那么APOPOA(44,4)又ACOCOA(2,6)，由AP与AC共线，得(44)64(2)0，解得34，所以OP34OB(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)方法二设点P(x，

7、y)，那么OP(x，y)，因为OB(4,4)，且OP与OB共线，所以x4y4，即xy.又AP(x4，y)，AC(2,6)，且AP与AC共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3,3)【感悟提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果两向量共线，求某些参数的取值时，利用“假设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，那么a ab b的充要条件是x1y2x2y1”解题比拟方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个向量a a共线的向量时，可设所求向量为a a(R R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a a即

8、可得到所求的向量(3)三点共线问题A，B，C三点共线等价于AB与AC共线【举一反三】设OA(2,4)，OB(a,2)，OC(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，假设A，B，C三点共线，那么1a1b的最小值为_答案32 22高频考点四、解析法高频考点四、解析法( (坐标法坐标法) )在向量中的应用在向量中的应用例 4、给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为23.如下图，点C在以O为圆心的AB上运动假设OCxOAyOB，其中x，yR R，求xy的最大值【感悟提升】此题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出xy的最大值 引入向量的坐标运算使得此题比拟

9、容易解决， 表达了解析法(坐标法)解决问题的优势， 凸显出了向量的代数特征， 为用代数的方法研究向量问题奠定了根底【方法技巧】1平面向量根本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法那么，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法那么是运算的关键2根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值1. 【2021 高考新课标 1， 文 2】 点(0,1),(3,2)AB， 向量( 4, 3)AC ， 那么向量BC ()A( 7, 4)B(7,4)C( 1,4)D(1,4)【答案】A【解析】ABOBOA =3,1 ，BC ACAB =(-7,-4)，应选 A.

10、1 2021重庆卷 向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，那么实数k()A92B0C3D.152【答案】C【解析】 2a3b2(k， 3)3(1， 4)(2k3， 6)， 又(2a3b)c， (2k3)2(6)0，解得k3.2 2021福建卷 在以下向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是()Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(2，3)，e2(2，3)【答案】B3 2021山东卷 向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图像过点12， 3和点23，2.

11、(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图像向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图像，假设yg(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为 1，求yg(x)的单调递增区间【解析】(1)由题意知，f(x)msin 2xncos 2x.因为yf(x)的图像过点12， 3和点23，2，4 2021陕西卷 设 02，向量a(sin 2，cos)，b(cos，1)，假设ab，那么 tan_【答案】12【解析】因为向量ab，所以 sin 2coscos0，又 cos0，所以 2sincos，故 tan12.5 2021陕西卷 在直角坐标系xOy中，点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点

12、P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)假设PAPBPC0，求|OP|；(2)设OPmABnAC(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值6 2021安徽卷 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点 A，B 满足|OA|OB|OAOB2，那么点集P|OPOAOB，|1，R所表示的区域的面积是()A22B23C42D43【答案】D【解析】由|OA|OB|OAOB2，可得点 A，B 在圆 x2y24 上且AOB60，在平面直角坐标系中，设 A(2，0)，B(1， 3)，设 P(x，y)，那么(x，y)(2，0)(1， 3)，由此得 x2，y 3，解得y3，12x123y，由于|

13、1，所以12x123y13y1，即| 3xy|2y|23.3xy0，y0，3xy23或3xy0，y0，3x3y23或3xy0，y0， 3x3y23或3xy0，y0， 3xy23.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影局部所示， 所以所求区域的面积是 43.7 2021湖南卷a，b是单位向量，ab0，假设向量c满足|cab|1，那么|c|的取值范围是()A 21， 21B 21， 22CD1，22【答案】A8 2021北京卷 向量a，b，c在正方形网格中的位置如下图，假设cab(，R)，那么_图 13【答案】4【解析】 以向量a和b的交点为原点， 水平方向和竖直方向分别为 x 轴和

14、 y 轴建立直角坐标系， 那么a(1， 1)，b(6， 2)，c(1， 3)， 那么16，32，解得2，12，所以4.9 2021辽宁卷点 A(1，3)，B(4，1)，那么与向量 AB 同方向的单位向量为()A.35，45B.45，35C.35，45D.45，35【答案】A【解析】AB(3，4)，与AB方向相同的单位向量为AB|AB|35，45 ，应选 A.10 2021天津卷 在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点，假设ACBE1，那么 AB 的长为_【答案】1211 2021新课标全国卷 正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，那么AEBD_【答

15、案】2【解析】如图，建立直角坐标系，那么AE(1，2)，BD(2，2)， AEBD2.12 2021重庆卷 如图 19 所示， 椭圆的中心为原点 O， 长轴在 x 轴上， 离心率 e22，过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P，P，过 P，P作圆心为 Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q 外，假设 PQPQ，求圆 Q 的标准方程图 1913 2021重庆卷 在平面上，AB1AB2，|OB1|OB2|1，APAB1AB2.假设|OP|12，那么|OA|的取值范围是()A.0，52B.52，7

16、2C.52， 2D.72， 2【答案】D1.如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出以下向量组：AD与AB； DA与BC； CA与DC； OD与OB.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()ABCD答案B解析中AD，AB不共线；中CA，DC不共线2平面向量a a(1,1)，b b(1，1)，那么向量12a a32b b等于()A(2，1)B(2,1)C(1,0)D(1,2)答案D解析12a a(12，12)，32b b(32，32)，故12a a32b b(1,2)3a a(1,1)，b b(1，1)，c c(1,2)，那么c c等于()A12a a32b bB.12a a32b b

17、C32a a12b bD32a a12b b答案B4向量a a(1,2)，b b(1,0)，c c(3,4)假设为实数，(a ab b)c c，那么等于()A.14B.12C1D2答案B解析a ab b(1，2)，c c(3,4)，且(a ab b)c c，1324，12，应选 B.5|OA|1，|OB| 3，OAOB0，点C在AOB内，且OC与OA的夹角为 30，设OCmOAnOB(m，nR R)，那么mn的值为()A2B.52C3D4答案C解析OAOB0，OAOB，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，OA(1,0)，OB(0， 3)，OCmOAnOB(m， 3n)tan303nm33，

18、m3n，即mn3，应选 C.6A(7,1)，B(1,4)，直线y12ax与线段AB交于点C，且AC2CB，那么实数a_.答案2解析设C(x，y)，那么AC(x7，y1)，CB(1x,4y)，AC2CB，错误错误!解得x3，y3.C(3,3)又C在直线y12ax上，312a3，a2.7点A(1,2)，B(2,8)，AC13AB，DA13BA，那么CD的坐标为_答案(2，4)8向量OA(3，4)，OB(0，3)，OC(5m，3m)，假设点A，B，C能构成三角形，那么实数m满足的条件是_答案m54解析由题意得AB(3,1)，AC(2m,1m)，假设A，B，C能构成三角形，那么AB，AC不共线，那么3(1m)1(2m)，解得m54.9A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)假设A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)假设AC2AB，求点C的坐标解(1)由得AB(2，2)，AC(a1，b1)，A，B，C三点共线，ABAC.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)AC2AB，(a1，b1)2(2，2)a14，b14，解得a5，b3.点C的坐标为(5，3)10点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OMt1OAt2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11 时，不管t2为何实数，A，B，M三点共线