抽象函数的对称性与周期性

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1、抽象函数的对称性与周期性抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性性质1 若函数yf(x)关于直线xa轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax) （2）f(2ax)f(x) （3）f(2ax)f(x)性质2 若函数yf(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax) （2）f(2ax)f(x) （3）f(2ax)f(x)易知，yf(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a0时的特例。二、复合函数的奇偶性定义1 若对于定义域内的任一变量x，均有fg(x)fg(x)，则复数函数yfg(x)为偶函数。定义2 若对于定义域内的任一变量x，均有

2、fg(x)fg(x)，则复合函数yfg(x)为奇函数。说明：（1）复数函数fg(x)为偶函数，则fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)，复合函数yfg(x)为奇函数，则fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)。（2）两个特例：yf(xa)为偶函数，则f(xa)f(xa)；yf(xa)为奇函数，则f(xa)f(ax)（3）yf(xa)为偶（或奇）函数，等价于单层函数yf(x)关于直线xa轴对称（或关于点（a，0）中心对称）三、复合函数的对称性性质3 复合函数yf(ax)与yf(bx)关于直线x（ba）/2轴对称性质4 复合函数yf(ax)与yf(bx)关于点（ba）/2，0）中心对

3、称证明 性质3： 令（m，n）为yf(ax)上任一点，则nf(am)令bxma，xbma 则（bma，n）为yf(bx)上相应的一点又点（m，n）与点（bma，n）关于直线x轴对称yf(ax)与yf(bx)关于直线x（ba）/2轴对称性质4 令（m，n）为yf(ax)上任一点，则nf(am)则（bma，n）为yf(bx)上相应一点点（m，n）与点（bma，n）关于点（(mbma)/2，0）即（(b-a)/2，0）中心对称yf(ax)与yf(bx)关于点（ba）/2，0）中心对称推论1 复合函数yf(ax)与yf(ax)关于y轴轴对称推论2 复合函数yf(ax)与yf(ax)关于原点中心对称四、

4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数yf(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数yf(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)五、函数的对称性与周期性性质4 若函数yf(x)同时关于直线xa与xb轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质5 若函数yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质6 若函数yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线xb轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T4|ab|下证性质6f(x)关于点

5、（a，0）中心对称，f(2ax)f(x)f(x)关于直线xb轴对称，f(2bx)f(x) f(2ax)f(2bx)令t2ax 则x2at f(t)f(2b2a)tf(t4b4a)f(x)为周期函数且T4|ab|例题与应用例1 函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间（ ）（2002年3X高考预测试题（四月卷）A关于直线x5对称 B关于直线x1对称C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数yf(x4)与yf(6x)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）例2 设f(x)是定义在R上的偶函数，

6、其图象关于x1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）证明：f(x)关于x0和x1轴对称 f(x)为周期函数且T2例3 设f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时f(x)x，则f(7.5)等于（）（1996年理工类第15题）A0.5 B0.5 C1.5 D1.5解：f(x)f(x2)f(x4)f(x4)f(x)为周期为4的周期函数f(7.5)f(0.5)f(0.5)0.5，故选B。例4 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则f(x)是（ ）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数解：f(x)关于x10轴对称，关于（20，0）中心对称，f(x)为周期函数，且T40，f(x)也关于点（0，0）中心对称，即f(x)为奇函数，故选C。