多功能夫琅禾费演示仪光学原理

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1、多功能夫琅禾费演示仪光学原理多功能夫琅禾费演示仪光学原该仪器将实现夫琅禾费衍射，展示衍射现象。夫琅禾费衍射是菲涅尔衍射的远场近似，弗朗禾费近似是用平面波来当作子波，夫琅禾费衍射积分公式为ik.ik22ik1)E(x,y)zelkzez(xy)E(xo,yo)eTXX0yy0)dx0dyo(1根据衍射屏函数的不同将夫琅禾费分为以下几类注：该仪器使用振幅为A的平行单色平面光源。一、夫琅禾费的单缝衍射的光强分布公式及特征单缝的屏函数为t(X0)1，Xio0,其他在(1-1)式中l(x0)t(X0)在接收面上的坐标x与衍射角有以下关系：sin,所以采用分号前与x0无关的复数用表示，并采用角坐标代替x,

2、即(x)()。合丁32(此处假设以单色平行光照射，振幅为A)然后将(1-1)式简化进行计算;ikxxo一E(x)t(%)ezdx0(12)即() id%iksinlikasin (e 2ikasine2).,1,.、（此处运用欧拉公式）sin(-kasin)一2-kasin2asinsin()caasin令Aca普一声，旦-ax其中表示夹缝的边缘与中心的光波在P点产生的相位差。所以2（）Aosn-所以I=E（）*（）A2sin-令101Ao门。表示。时，即在接收屏中心Po处的光强则有2I=Io厘（1-3）单缝衍射的主要特征：函数极大值的地方对应于衍射图象的亮条纹.函数值等于0的地方对应于暗条纹

3、1主极大一零级衍射条纹由1-3式知当0时，即sin0时.imsn1,I10=0相当于到达屏上Po点的各衍射子波之间相位相同，产生最大光强，P0点是衍射斑中心，也就是几何光学像点位置。2次极大一高级衍射斑次极大出现在；（叽）0的方位上，即tan解得d= 1.433.47 sin 1.43- a3.47 aI0 =4.7% I00.8% I。3暗纹的位置暗纹出现在不等于1=0,即满足= 13 nsin a土土2.46土2.46-土a1.7%I00而sin=0的方位上对应的土2土2-3-aa土n-a可以将暗纹满足的条件写成4亮斑的角宽度对于中央亮条纹，其半角宽度a sin n , n 1, 2, 3

4、,.sin 一 a等于其他各级亮条纹的角宽度矩形孔径的屏函数；M%、)1,(x00,其他j,y0b 一2),当用振,矩形孔径;E(x, y)ik(x2 y2) ikz 2z e ei z幅为A的单色平面波垂直照孔径，其夫琅禾费场分布为ik(xx()yy()At(x0,y)ezdxody。.22、ik(xy).ikz27aikxx0bikyy0Aee2-z2-F人;2aezdx023ezdy0iz22axzik(x2 y2)Aeikze 2z sin(=ab一i zby,IzA2a2b2(z)2所以,I= (x y)axby、一)sin)zzaxzbyz(1-4)E*(X,y)=l0(Q)2(5

5、)2 (1-5)。矩形孔衍射的主要特征一用射光强分布(1).对于沿x轴的光强分布，因Y=0,有2I。I。叫其特性光强分布与单缝时相同(2)对于沿Y轴的光强分布，因X=0有:2I。I。/其特性光强分布与单缝相同(3)在X,Y轴以外各点的光强度，可按1-8式进行计算，图1-1给出了一些特征点的光强相对值.显然XOY面内存在一些次极大点，但他们的光强极弱0.0070.00220.0470.00220.0170.04710.0470.00070.00220.0470.00220.00220.00070.0170.0007二中央亮斑矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮班处，其边缘在X,Y轴的位置是x=和y

6、=.、一一、.22中央凫斑的面积为S=1,ab该式说明，中央亮斑面积与矩形孔面积成反比。、*.八22,2.、一并由I。然知，中央凫斑越大，相应P0点光强越小。三夫琅禾费圆孔衍射。由于圆孔结构的几何对称性，采用极坐标系处理设：圆孔半径为a,圆孔中心a位于光轴上，则圆孔上任意一点Q的位置坐标1,1与相应的直角坐标系为X01cos1y01sin1设：观察屏上任意一点P的位置坐标，与相应的直角坐标系的关系cossin因此，P点的光场复振幅按照(1-1)式，在经过坐标变换后为ik2a2.、.AAikzik1cos(1)/上八、E(，)二ee2ze1d1d1(1-8)iz00其中I是衍射方向与光轴的夹角，

7、这里利用了sin的近似关系根据零阶贝塞尔函数的积分表达式Jo(x)20可将(1-8)式变换为2ika(,)6kzeH2J0(k1)1d1(1-9)iz0这里已利用了J0(k1)为偶函数的性质。再由贝塞尔函数的性质xJ0(x)dxxJ1(x)式中Ji(x)为一阶贝塞尔函数，可得Aikik22ka(,)(eze)*-r(k1)J(k)d(k1)iz(k)0ik2q_2Aikz、2aaa2z)Ji(kaizeekaa2)2*22(1-10)其中I0三是光轴上P0点的光强；Sa2是圆孔的Az面积ka是圆孔边缘与中心点在统一方向上光线间的相位差夫琅禾费圆孔衍射图样及光强分布特征（1）衍射图样）由 ka及

8、（1-10）式可知,夫琅禾费圆孔衍射的光强度分布仅与衍射 角度有关，而与方位角无关(2)衍射图样的极值特性由贝塞尔函数的级数定义，可将（1-10)变为22422J1（ ）1，. 2!222!3!22=0时，即对应光轴上的P。点，有I是衍射光强的主极大值。当 值满足J1（）I0,它0时，1=0 ,这些值决定了衍射暗环的位置 两个暗环之间存在一个衍射极大值。d JK ） J2（ ） 0在相邻的 其位置满足其中J2（）为二阶贝塞尔函数，下表列出了几个中央的几个亮环和暗环的值即相对光强的大小。圆孔衍射的光强分布条纹序数2J1（）/2光能分布中央亮纹0183.78%第一暗纹1.220=3.83200第一

9、亮纹1.635=5.1360.01757.22%第二暗纹2.233=7.01600第二亮纹2.679=8.4170.004152.77%第三暗纹3.238=10.17400第三亮纹3.699=11.6200.00161.46%(3)爱里斑中央亮纹叫爱里斑。爱里斑的半径。由第一光强极小值处的值决定，即ioka1.22z因止匕01.22z0.61z2aa爱里斑的角半径0.61-oa四，夫琅禾费多缝衍射设有N个缝，每个缝的宽度均为a,缝间不透光的部分为b,光栅周期d=a+b称为光栅常数，考虑在接收屏上某一点的光强，相邻两缝至点P的光程差和相位差分别为dsin第一个缝在点产生的光振动复振幅为i凡红第二

10、个缝在点产生的光振动复振幅为2A0叱ei第N个缝在点产生的光振动复振幅为sininiEnAoe现将N个缝在p点产生的N个振动叠加起来，其合成振幅为 sinEAo=A sin iAoesini1 e sin i n iAoeiNsin1eo-i1eiNiNiN一2一2一2e2e2e2=Aospiii_222eeeNsinini_sin2-=Aoesin一2令一则P点光强为2其中asinsind sin2sin Nsin夫琅禾费多缝衍射的主要特征1,至极大的位置和光强当dsinm,m=0)1)2)3.2有snlN!n2即IN2I0sin2,极小(零点)的位置当dsinm1,m=0)1)2)3-.)

11、m=1,2,N-1时，2有sin(N)=0sin可见，在相邻两个主极大之间有N-1个极小(暗线)，有N-2个次级大。3.次级大2次级大的位置可以通过对亚3求导，近似sin得sinN21例如在m=0和m=1主极大之间，次级大出现的位一352N3N2,2,共N-2个，在n2时，衍射强度LLo22I-JSN2I0丁0.045Imaxsin3即靠近零级主极大的次级大强度，只有零级主极大的0.045倍，此外次级大的宽度随着N的增大而减小。当N很大时，它将与强度零点混成一片。成为衍射图样的背景。4 .主极大的半角宽度第m级主极大峰值的角位置满足sinmd第m级主极大旁第一个（ 满足）极小的角位置应sins

12、insin Ndd得22cos sin cos 22 NdNdNd cos5 .缺级现象由于多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，所以存在缺级现象。对于某一级干涉主极大的位置，如果恰有叽0,即相应的衍射角同时满足dsinmm=0)1)2)3.a sinn= 1)2) 3, ,.则该级主极大将消失，多缝衍射强度变为零，成为缺级。*（特殊图形的公式推导有待确认）五.特殊图形的衍射光强1d=0.25mm,a=0.04mma为缝宽，d为两缝间距则将此组合看作由一个单缝和双缝发生干涉，X轴方向看作无穷远。2单缝的光强IlI0应其中0z22双缝的光强I2IS其中厘4sinzz单缝与双缝发生干涉其光程差dz其光强

13、表达式IIlI22.I1I2cos，其中2一，sinsinsin2sinsin22=10+10+210cos-sinsin2.a 0.04mm,d10.50mm,d2 0.25mm则将此组合看作由两个双缝发生干涉, 看作无穷远。X轴方向第一个双缝光强I1sinsin 2 isin 1其中ayzd1y1 z第二个双缝光强I2sinsin 2 2sin其中ayzd2y2 T二个双缝发生干涉,其光程差d1 d22z其光强分布为II1 I 22 ? I1 I 2 cos，其中2sin222+ 2I0sinsin21sinsin210+10sin1sin2sin21sin22一-cossin1sin25

14、a10.08mm,d10.25mma20.04mm,d20.25mmX轴上看则将此组合看作两个双缝发生干涉在作无穷远第一个双缝光强分布I1sin ii2sin2 1 其中sin 1a1yd1y11zz第二个双缝光强分布Iisin222g其中sin2a2yd2y22z2z2 2sin 2 2sin 2二个双缝发生干涉，其光程差a10.04mm,d10.125mma20.04mm,d20.125mm则将此组合看作一个三双缝和一个双缝发生干涉，在X轴上看作无穷远对于三缝光I1对于双缝光强2sin1sin3I01isin2sin21I2I02-22其中12sin22sin2其中a2yd2yz2z三缝与

15、二缝进行干涉光程差，dy2z则光强分布公式为II1I22.I1I2cos，其中22sin 3 1sin 1sin1=I01isin3sin2sin1sin2cos5.正方形矩阵可将此图形衍射看作，在X轴方向11缝衍射与Y轴方向11缝衍射的叠加。因两个多缝垂直因此无干涉现象。在X轴方向的11个缝a=0.02mm,d=0.109mm22其光强分布IxI0也则U其中1sin1aydy11zz在Y轴方向的11个缝a=0.02mm,d=0.109mm22其光强分布IyI03到U其中2卫2小2sin2z2z所 以I Ix Iy Io后 光22sin11 2sin 2叠力口22sin111sin2-I0si

16、n126.菱形矩阵可将此图形衍射看作，三个11缝衍射后再进行干涉。建立如图坐标系，其中为11缝衍射的中央主极大位置，则接收屏上任意一点（x,y）到三个中主极大的距离为t，ti.所以一y3x_y3xysin1,sin2,sin3一2z2z2z22L1的11缝衍射光强分布I1I0”J其中1sin1a(yJ3x)d(yJ3x)1 -，1-，2 z2z22L2的11缝衍射光强分布I1I0J-其中21sin2a(yV3x)d(yJ3x),2,2,2z2zsin 3103sin11 3sin 3ay2 z,由相干光条件知L1L2L3只在两两角L3的11缝衍射光强分布I1平分线上干涉，在角平分线上干涉加强，由于光强随着距中央主极大的距离增大而降低因此只在较近主极大位置出现亮斑，可忽略不计222222II.111I而112IH.113II0I0I0 sin 12 sin 231 sin 3IIiI22.I1I2222sin1sin21sin2IiI2I01Ii-1I。21sin122sin2sin22I0T-2sin2