导数知识点总结及应用

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1、导数及其应用知识点总结f(X2)- f(X1)x2 _为、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数f(x)在区间x1, x2上的平均变化率为:2. 导数的定义：设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义，Xo=(a,b)，若 x无限趋近于0时，比值厘二f (x0 x) f (xo)无限趋近于一个常数a,则称函数f (x)在x =xo处可导，并称该常数A为函数f (x)在.xix x =Xo处的导数，记作f(X。)。函数f(x)在X =xo处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3. 求函数导数的基本步骤：(1 )求函数的增量勺= f(x。x) - f(x。)； ( 2 )求平均变化率:f

2、 (x。. ：x) f(Xo)；( 3)取极限，当、x无限趋近与0时，f (Xox) - f (x)无限趋近与一个常数a,则XXf(X。)= A .4. 导数的几何意义：函数f(X)在X处的导数就是曲线 y二f(X)在点(Xo, f(Xo)处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：(1) 求出y = f(x)在Xo处的导数，即为曲线y = f(x)在点(心十(怡)处的切线的斜率；(2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y yo =f(Xo)(x Xo)。当点P(Xo, yo)不在y = f (x)上时，求经过点P的y = f(x)的切线方程，可设切点坐

3、标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线y = f(x)在点(xo,f(xo)处的切线平行与y轴,这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为X=Xo。5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移 S是时间t的函数S(t)，则V =S(t)表示瞬时速度，a = v (t)表示瞬时加速度。、导数的运算常见函数的导数：1#(2) C0(C为常数)；(4) (x2) =2x ；(6)(Z)f=-与；x x(8) (xa)二 a( a 为常数)；2(9) (ax) =axlna(a .0,a/);(11) (ex) =ex;(13) (sin x)二cosx ;(10)

4、(logaX) Jlogae 1 (a .0,a = 1)； xxln a(12) (lnx) = g ;(14) (cosx) = _sin x。31. 函数的和、差、积、商的导数:(1) f(x) _g(x)f (x)_g(x);(2) Cf (x) =Cf (x) (C 为常数)；(3) f(x)g(x)r =f (x)g(x) f(x)g (x);(4) f(x)f (x)g(x) 一 f (x)g (x) )g(x) -g2(x)(g(x)= 0)。#2. 简单复合函数的导数:若 y = f (u), u =ax b，贝V yx = yu q，即比=% a。三、导数的应用1. 求函数

5、的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数y二f(x)在区间(a,b)内可导，(1) 如果恒f (x) .0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数；(2) 如果恒f (x) ：0，则函数y =f(x)在区间(a,b)上为减函数；(3) 如果恒f (x) =0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数y = f (x)的定义域；求导数 (x)；解不等式f(x) .0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式f(x)：0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函

6、数y = f (x)在区间(a,b)内可导，(1) 如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数，则f(x)_0(其中使f (x) =0的x值不构成区间)；(2) 如果函数y二f(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)空0(其中使f(x) =0的x值不构成区间)；(3) 如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为常数函数，则f (x)0恒成立。2. 求函数的极值：设函数y = f(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x) f (x0)(或f(x) :： f(X0),则称f(X0)是函数f(x)的极小值(或极大值)。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是

7、：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f (x) ； (3)求方程f (x)=0的全部实根，X1 ：X2 ：:Xn ,顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：X变化时，f(X)和f (X)值的变化情况：X(TxJX1(为,X2)Xn(Xn , Sf (x)正负0正负0正负f(x)单调性单调性单调性(4)检查f (x)的符号并由表格判断极值。3. 求函数的最大值与最小值：如果函数f(x)在定义域I内存在X。,使得对任意的XI，总有f(x)乞f(X0)，则称f(X。)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数f(x)在区间a,b上的最大值和最

8、小值的步骤：(1 )求f (x)在区间(a,b)上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a), f(b)比较，得到f(x)在区间a,b上的最大值与最小值。4. 解决不等式的有关问题：(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。f (x)(x A)的值域是a,b时，不等式f (x) :：:0恒成立的充要条件是f (x)max ： 0，即b ： 0 ；不等式f ( x) 0恒成立的充要条件是f ( x)min 0，即a 0。f(x)(xA)的值域是(a,b)时，不等式f (x) :：: 0恒成立的充要条件是 b乞0 ；不等式f(x) 0恒成立的 充要条件是a _0。(2)证明不等式f(x

9、) 0可转化为证明f(X)max 0,所臥跚 /(x)的罡义域为R,了分求导，得/r(x)=严(d +4r + 4)-#3+4)(ax + 4x+4)2令f(X) = Cl,得耳=0,花=2-+“十*9分a当X2o,所咲函数/w在(2)单调递増*综上所迷，当赵W0时，国数mo的望调减区间是QV),当“0时，圈数/W的单调减区间是),单调曙区间为g*)j分(11)(1)当 B时可知” /W在“上单週逮爲所a/a)的尉卜值为解得亠“”舍去.2e2)当寸由可知，和妙1时，酗金)在上单调遢増，所twt/w的最小僧为4) V 解得“2.0时,令(Q = Q,贝h-lna因为 /(A) =)；函数，所以在(-x内/f(x)0,在(Indto)内W所収在(-叫血口内_A.n是増函数,衽(In 4 -H吶/W是减函数，所以/的最犬值为f(ind)alna-a因为存在也使得所以加口-必0,所以处当此0时广恒成立，函数/W在R上单调递猱 而/fl) = l- 0,即存在心使得fg込 所以& 0.a综上所述”疗的取值范围是(Yeew)13分8(1)(kx b)二 k(k, b 为常数)；(3) (x)y ；(5) (xW ；(x)=1；2x9