全等三角形中的动点问题(教师版)(共24页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上全等三角形中的动点问题全等三角形的判断与定义1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做，“全等”用符号“”表示，读作“全等于”。当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。2.判定：(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全

2、等(AAS或“角角边”)(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。3.性质：(1)全等三角形的对应角相等。(2)全等三角形的对应边相等。(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。(5)全等三角形的对应边上的中线相等。(6)全等相等。(7)全等三角形周长相等。(8)全等三角形的对应角的相等。1、如图，在ABC中，BAD=DAC，DFAB，DMAC，AF=10

3、cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为(1)求证：在运动过程中，不管取何值，都有SAED=2SDGC；(2)当取何值时，DFE与DMG全等；(3)在(2)的前提下，若，求SBFD（1）证明：BAD=DAC，DFAB，DMAC，DF=DM，SAED=AEDF，SDGC=CGDM，=，点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，AE=2tcm，CG=tcm，=2，即=2，在运动过程中，不管取何值，都有SAED=2SDGC（2）解：设时间为t

4、时，DFE与DMG全等，则EF=MG，当M在线段CG的延长线上时，点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，即10-2t=4-t，解得：t=6，当t=6时，MG=-2，所以舍去；当M在线段CG上时，点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），即10-2t=t-4，解得：t=，综上所述当t=时，DFE与DMG全等（3）t=，AE=2t=（cm），DF=DM，SABD：SACD=

5、AB：AC=BD：CD=119：126，AC=14cm，AB=（cm），BF=AB-AF=-10=（cm），SADE：SBDF=AE：BF=：，SAED=28cm2，SBDF=（cm2）解析：（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以AED和DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有SAED=2SDGC（2）若DFE与DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案2、如图，在RtABC中，C=90，AB=10cm，AC=8

6、cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动(1)几秒后，CPQ的面积为RtABC的面积的？(2)填空：点经过_秒，点P在线段AB的垂直平分线上点Q经过_秒，点Q在BAC的平分线上（1）设经过x秒，首先求得线段BC的长，然后分x6和6x8两种情况列方程求解即可；（2）点P在线段AB的垂直平分线上，即可得到PA=PB，从而求得时间；点Q在BAC的平分线上，则Q点到AC和AB的距离相等解；（1）设经过x秒在RtABC中，根据题意得；当x6时，（8-x）x=86解得：当6

7、x8时，（8-x）6=37解得：x=7答：经过7秒或秒（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，PA=PB，设经过x秒后点P在线段AB的垂直平分线上，x2=（8-x）2+62解得：x=，经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上如图，作QDAB于点D，点Q在BAC的平分线上，QD=QC，设经过x秒，则CQ=x，则QD=（6-x），x=（6-x），解得：x=，点Q经过秒，点Q在BAC的平分线上3、如图，ABC是直角三角形，A=90，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动

8、点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是()A.8cm2 B.16cm2C.24cm2 D.32cm2解：根据题意沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，AP=2t，AQ=t，SAPQ=t2，0t4，三角形APQ的最大面积是16故选B4、如图，直线ACBD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成PAC，APB，PBD三个角(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角)(1)当动点P落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD；(2)当动点P落

9、在第部分时，APB=PAC+PBD是否成立？(直接回答成立或不成立)(3)当动点P落在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点EACBD，PEA=PBDAPB=PAE+PEA，APB=PAC+PBD；解法二：如图2过点P作FPAC，PAC=APFACBD，FPBDFPB=PBDAPB=APF+FPB=PAC+PBD；解法三：如图3，ACBD，CAB+ABD=180，PAC+PAB+PBA+PBD=180又APB+PBA+PAB=180，APB=PAC+PBD（2）不成立（3）（a

10、）当动点P在射线BA的右侧时，结论是PBD=PAC+APB（b）当动点P在射线BA上，结论是PBD=PAC+APB或PAC=PBD+APB或APB=0，PAC=PBD（任写一个即可）（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是PAC=APB+PBD选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于MACBD，PMC=PBD又PMC=PAM+APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），PBD=PAC+APB选择（b）证明：如图5点P在射线BA上，APB=0度ACBD，PBD=PACPBD=PAC+APB或PAC=PBD+APB或APB=0，PAC=PBD选择（c）证明：如图6，连接PA，

11、连接PB交AC于FACBD，PFA=PBDPAC=APF+PFA，PAC=APB+PBD解析：（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由ACBD，可知PEA=PBD由APB=PAE+PEA，可知APB=PAC+PBD；（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论6、如图1，在四边形ABCD中，ADBC，ABC=DCB，AB=DC，AE=DF(1)试说明BF=CE的理由；(2)当E、F相向运动，形成如图2时，BF和CE还相等吗？请说明你的结论和理由证明：（1）ADBC，BAD+ABC=180，CDA+DCB=180，ABC=DCB，BAD=CDA，AE

12、=DF，AE+AD=DF+AD，即AF=DE，在ABF和DCE中，ABtDCE（SAS），BF=CE；（2）相等在ABC和DCB中，ABCDCB（SAS），BF=CE解析：（1）根据两直线平行，同旁内角互明证明BAD=CDA，根据AE边DF证明AF=DE，再根据边角边定理证明ABF和DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明BF=CE（2）利用边角边定即证明ABC和DCB全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明7、如图，已知ABC中，BC=AC=8厘米，C=90，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M

13、是AB的中点(1)在点P和点Q运动过程中，APM与CQM是否保持全等，请说明理由；(2)在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；(3)线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明解：（1）在点P和点Q运动过程中，APM与CQM是否保持全等理由如下：在ABC中，BC=AC=8厘米，C=90，点M是AB的中点，A=MCQ=45，AM=CM，在APM与CQM中，APM与CQM（SAS）；（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米2，理由如下：由（1）知，APM与CQM，SAPM=SCQM

14、，S四边形PMQC=SAMC=SABC=ACBC=88=32（厘米2），即在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米2；（3）AP2+BQ2=PQ2证明如下：由（1）知，APM与CQM，AP=CQ，又AC=BC，PC=BQ，AP2+BQ2=CQ2+CP2=PQ2即AP2+BQ2=PQ2解析：（1）通过SAS证得APM与CQM；（2）由（1）中的全等三角形的面积相等可以推知：S四边形PMQC=SAMC=SABC；（3）AP2+BQ2=PQ2利用（1）中的全等三角形的对应边相等推知AP=CQ，则PC=BQ，所以在直角PCQ中，利用勾股定理推得AP2+BQ2=PQ28、如图

15、，已知ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？(2)若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？解：（1）t=1秒，BP=CQ=31=3厘米，AB=10厘米，点D为AB的中点，BD=5厘米又PC=

16、BC-BP，BC=8厘米，PC=8-3=5厘米，PC=BD又AB=AC，B=C，在BPD和CQP中，BPDCQP（SAS）vPvQ，BPCQ，又BPDCPQ，B=C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，点P，点Q运动的时间秒，厘米/秒；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+210，解得点P共运动了3=80厘米80=56+24=228+24，点P、点Q在AB边上相遇，经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇解析：（1）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度时间公式，先求得点P运动

17、的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长9、如图，已知ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？分析：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，B

18、P=CQ，ABC=ACB，即据SAS可证得BPDCQP（2）可设点Q的运动速度为x（x3）cm/s，经过tsBPD与CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可解答：解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，ABC中，AB=AC，ABC=ACB，且BD=PC，BP=CQ，BPDCQP（SAS）（2）设点Q的运动速度为x（x3）cm/s，经过tsBPD与CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，AB=AC，B=C，根据全等三角形的

19、判定定理SAS可知，有两种情况：当BD=PC，BP=CQ时，当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；当BD=PC且BP=CQ时，8-3t=5且3t=xt，解得x=3，x3，舍去此情况；BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8-3t，解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使BPD与CQP全等点评：本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件10、在ABC中，AB=AC，

20、(1)如图，若BAC=45，AD和CE是高，它们相交于点H求证：AH=2BD；(2)如图，若AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点M为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动如果在运动过程中存在某一时刻使得BPM与CQP全等，那么点Q的运动速度为多少？点P、Q运动的时间t为多少？解：（1）证明：在ABC中，BAC=45，CEAB，AE=CE，EAH=ECB，在AEH和CEB中，AEHCEB（ASA），AH=BC，BC=BD+CD，且BD=CD，BC=2BD，AH=2BD（2）AB=AC，B=C，BPM与CQP全等有两种情况：BPMC

21、PQ或BPMCQP当BPMCPQ时，BP=PC=4，CQ=BM=5，点P，点Q运动的时间秒，厘米/秒当BPMCQP时，BP=CQ，VQ=VP=3厘米/秒此时PC=BM=5，t=秒综上所述，点Q的运动速度为厘米/秒，此时t=秒或点Q的运动速度为3厘米/秒，此时t=1秒解析：（1）证得BCEHAE，证得AH=BC，证得AH=2BD；（2）根据全等三角形应满足的的件探求边之间的关系，再根据路程=速度时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度B11、如图所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，如图，然后将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将BD、CE分别延长至M、

22、N，使DM=BD，EN=CE，得到图，请解答下列问题：(1)若AB=AC，请探究下列数量关系：在图中，BD与CE的数量关系是_；在图中，猜想AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=kAC(k1)，按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明分析：（1）根据题意和旋转的性质可知AECADB，所以BD=CE；根据题意可知CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到BADCAE，在ABM和ACN中，DM=BD，EN=CE，可证ABMACN，所以AM=AN，即MAN=BAC（2）直接类比（1）中

23、结果可知AM=kAN，MAN=BAC解答：解：（1）BD=CE；AM=AN，MAN=BAC，DAE=BAC，CAE=BAD，在BAD和CAE中CAEBAD（SAS），ACE=ABD，DM=BD，EN=CE，BM=CN，在ABM和ACN中，ABMACN（SAS），AM=AN，BAM=CAN，即MAN=BAC；（2）AM=kAN，MAN=BAC点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件本题还要会根据所求的结论运用类比

24、的方法求得同类题目12、已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D(-m，-m)为AC上的点(m0)(1)试分别求出A，B，C三点的坐标；(2)设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？请说明理由；(3)若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且PQA=60，当Q在第四象限内运动时，下列说法：(i)APQ+PBQ的度数和不变；(ii)BAP+BQP的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断正确的说法，并求这个不变的值解：

25、（1）OA=OB=OC，AOC=BOC=90，OAC=OCA=OBC=OCB=45，ACB=90，又ABC的面积为9，OA=OC=OB=3，A（-3，0），B（3，0），C（0，-3）；（2）当t=3秒时，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等理由如下：连接OD，作DMx轴于点M，作DNy轴于点N，D（-m，-m），DM=DN=OM=ON=m，DOM=DON=45，而ACO=45，DC=DO，PCD=BOD=135，又CP=OC=OB，PCDBOD （SAS），DP=DB，PDC=BDO，BDP=ODC=90，即DPDB（3）解：（i）正确在QA上截取QS=QP，连接PSPQA=60，QSP是等

26、边三角形，PS=PQ，SPQ=60，PO是AB的垂直平分线，PA=PB 而PA=AB，PA=PB=AB，APB=60，APS=BPQ，APSBPQ，PAS=PBQ，APQ+PBQ=APQ+PAS=120解析：（1）利用OA=OB=OC，AOC=BOC=90 得出ACB=90，再利用ABC的面积为9，得出OA=OC=OB=3 即可得出各点的坐标；（2）作DMx轴于点M，作DNy轴于点N，假设出D点的坐标，进而得出PCDBOD，进而得到BDP=ODC=90，即DPDB；（3）在QA上截取QS=QP，连接PS，利用PQA=60，得出QSP是等边三角形，进而得出APSBPQ，从而得出APQ+PBQ=A

27、PQ+PAS得出答案13、如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PEBC于点E，PFCD于点F(1)求证：BP=DP；(2)如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论分析：（1）由正方形的性质可证ABPADP，即BP=DP；（2）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DPDCBP，此时BP=DP不成立；（3）由旋转的性质

28、和正方形的性质可证BECDFC，即BE=DF解答：（1）证明：证法一：在ABP与ADP中，AB=ADBAC=DAC，AP=AP，ABPADP，BP=DP（2分）证法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP（2分）（2）解：不是总成立（3分）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DPDCBP，此时BP=DP不成立，（5分）说明：未用举反例的方法说理的不得分（3）解：连接BE、DF，则BE与DF始终相等，在图1中，由正方形ABCD可证：AC平分BCD，PEBC，PFCD，PE=PF，BCD=90，四边形PECF为正方形（7分）CE=CF，DCF=BCE，BC=CD，BECDFC，BE=DF（8分

29、）点评：本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定，以及正方形的性质14、如图，在ABC中，AB=AC=5，B=C，BC=8，点D从B点出发沿线段BC向C运动(D不与B、C重合)，点E从点C出发沿线段CA向A运动(E不与A、C重合)，它们以相同的速度同时运动，连结AD、DE若要使ABDDCE，请给出确定D、E两点位置的方法(如指明CD长度等)，并说明理由；此时ADE与C大小关系怎样？为什么？解：DC=5，理由是：BC=8，CD=AB=5，BD=8-5=3，即CE=BD=3，在ABD和DCE中，ABDDCE，即当CD=5时，ABDDCEADE=C，理由是：ABDDCE，BDA=DEC，C=180-D

30、EC-EDC=180-ADB-EDC，ADE=180-BDA-EDC，ADE=C解析：CD=5时，根据SAS推出ABDDCE即可根据全等三角形性质得出BDA=DEC，根据三角形内角和定理求出C=180-ADB-EDC，求出ADE=180-BDA-EDC，即可得出答案15、如图：ABC中，AB=AC=5(即有B=C)，BC=8，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，点E在线段AC上运动(E不与A、C重合)，连结AD、DE(1)点D从B向C运动时，BDA逐渐变_(填“大”或“小”)；(2)若要使ABDDCE，请给出确定D、E两点位置的方法(如指明某些线段的长度等)，并说明理由；此时ADE与C大

31、小关系怎样？为什么？（1）根据BD边逐渐增长可得BAD逐渐增大，又因为B的大小固定不变，结合三角形内角和定理B+BAD+ADB=180可得ADB逐渐减小（2）根据三角形全等的性质可得DC=AB，DB=CE，进而得到答案；根据全等三角形的性质可得1=2，再根据1+B+ADB=180，2+ADE+BDA=180，可得ADE=B，进而得到ADE=C解：（1）点D从B向C运动时，BD边逐渐变长，BAD逐渐增大，B的大小固定不变，B+BAD+ADB=180，ADB逐渐减小；（2）ABDDCE，DC=AB=5，CE=DB，BC=8，CE=DB=8-5=3；ADE=C；理由：ABDDCE，1=2，1+B+A

32、DB=180，2+ADE+BDA=180，ADE=B，B=C，ADE=C17、如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分BAC，交BD于点F(1)求证：EF+AC=AB；(2)点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动(不与点B重合)，同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动如图2，A1F1平分BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)在(2)的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长分析

33、：（1）过F作FMAB于点M，首先证明AMFAEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB（2）连接F1C1，过点F1作F1PA1B于点P，F1QBC于点Q，证明RtA1E1F1RtA1PF1，RtQF1C1RtE1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化简为E1F1+A1C1=AB（3）设PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E1F1+A1C1=AB，得出BD=解答：（1）证明：如图1，过点F作FMAB于点M，在正方形ABCD中，ACBD于点EAE=AC，ABD=CBD=45，AF平分BAC，EF=MF，又AF=AF，RtAMFRt

34、AEF，AE=AM，MFB=ABF=45，MF=MB，MB=EF，EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB（2）E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1PA1B于点P，F1QBC于点Q，A1F1平分BA1C1点/sub，E1F1=PF1；同理QF1=PF1，E1F1=PF1=QF1，又A1F1=A1F1，RtA1E1F1RtA1PF1，A1E1=A1P，同理RtQF1C1RtE1F1C1，C1Q=C1E1，由题意：A1A=C1C，A1B+BC1=AB+A1A+BC-C1C=AB+BC=2AB，PB=PF1=QF1=QB，A1

35、B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，E1F1+A1C1=AB（3）解：设PB=x，则QB=xmA1E1=3，QC1=C1E1=2，RtA1BC1中，A1B2+BC12g/sup=A1C12，即（3+x）2+（2+x）2=52，x1=1，x2=-6（舍去），PB=1，E1F1=1，又A1C1=5，由（2）的结论：E1F1+A1C1=AB，AB=，BD=点评：本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定以及正方形的性质等有关知识18、如图，在等腰RtABC中，B=90，AB=BC=8cm动点P从点A出发

36、沿线段AB向点B运动，动点Q从点C出发沿射线BC运动，连接PQ，交AC于点D作PEAC于点E，若在点P，Q运动的过程中，始终保持AP=CQ，则线段DE的长度为_作PFBC交AC于点D，就可以得出APE是等腰直角三角形，由其性质就可以得出AE=EF，由PFDQCD就可以得出DC=DF，进而就可以得出DF+FE=CD+AE就可以得出结论解：作PFBC交AC于点D，APF=B=90，AFP=ACBFPD=Q，PFD=QCDB=90，AB=BC=8cm，A=ACB=45，A=ACB=45，PA=AFPEAC，AE=EFAP=CQ，PF=CQ在RtABC中，由勾股定理就可以得出AC=8在PFD和QCD中

37、，PFDQCD（ASA）DF=DC，DF+EF=DC+AE，DE=AC，DE=4cm故答案为：419、如图，在RtABC中，C=90，AC=8cm，BC=6cm，M在AC上且AM=6cm，过点A(与BC在AC同侧)作射线ANAC，若动点P从点A出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为1厘米/秒，设点P运动时间为t秒 (1)经过几秒时，RtAMP是等腰三角形？(2)又经过几秒时，PMAB？(3)连接BM，在(2)的条件下，求四边形AMBP的面积（1）解：设经过x秒时，RtAMP是等腰三角形，PAM=90，只能AM=AP，AM=6cm，AP=6cm，即x=6（秒），答：经过6秒时，RtAMP是等腰三角形；（2）解：设经过t秒时，PMAB，PMAB，ANAC，C=90PAM=4=C=90，3+2=90，1+2=90，1=3，ACBPAM，=，=，x=8，8-6=2，答：又经过2秒时，PMAB；（3）解：在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，同理可求PM=10，PMAB，四边形AMBP的面积S=ABPM=1010=50，答：四边形AMBP的面积是50解析：（1）得出腰时AM=AP，即可得出答案；（2）证PAMACB，得出比例式，代入求出AP，即可得出答案；（3）由勾股定理求出PM、AB，关键三角形的面积公式求出即可专心-专注-专业