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1、V正弦定理和余弦定理要点梳理1.正弦定理sin Absin B = 2/? sin C其中R是三角形外接圆半径.由正弦定理可以变形为：(1) a : b : c=sin A : sin B ： sin C；(2) a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C；(3) sinA=畫，sinB=磊，sinC=占等形式，以解决不同三角形问题.2. 三角形面积公式1abe iSa ABC=2absin C=/bcsin A=icsin B=)斤=a+b+c)r(r是三角形内切圆半径)，并可由此计算R、r.3. 余弦定理：a2=b2+c22bccos A, b2=a2+c22accos
2、 B, c2=a2+b22abcos C.余弦定理可以变形为：b2 +c2 -a2a2 +c2 -b2a2 + b2 -c2cos A=, cos B= -, cos C=Z-；.2bc2ac2ab4. 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其他边或角；(2)已知两边及一边对角，求其他边或角.状况中成果也许有一解、二解、无解，应注意区别.余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角问题；已知三边问题.基本自测1. 在厶 ABC 中，若 b=l, c=b , :.A = 60。或A = 120.当 A=60cW, C=180-45o-60o=75fbsi
3、n C V6+a/2sin B 2；当 A=120时,C= 180-45-120 = 15, cbsin C a/6/2=sin B =2探究提高(1)已知两角一边可求第三角，解这样三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角，解三角形时，运用正弦定理求另一边对角时要注意讨论该角，这是解题难点，应引起注意.变式训练1已知a, b, c分别是ZUBC三个内角A, B. (7所对边，若 = b b=9 A+C=2B,则人=解析:A + C = 2Bf ：.B = j.由正弦定理知sin A二竺泸詁.题型二 运用余弦定理求解三角形cos R b例2在AABC中，a、b、c分别是角A
4、、B. C对边，且亦尼=一石二(1) 求角B大小；(2) 若方=伍，a+c=4,求AABC面积.a2 + c2 - b2解(1)由余弦定理知:cosB =2ac严得:2a+ca2 + b2 c2cos R将上式代入課a2 + c2 b2 2abMea2 + b2 c? 2a+ ca2 + c2 - b2 - ac j整顿得：以+以，二皿 AcosB =血一二二亍为三角形内角，B二.将 b=y13, a+c=4, J=|n 代入 t=a +ca2accos B,得 (a+c)2ac2accos B, 13=16探究提高(D依照所给等式构造特点运用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题核心.(2)
5、纯熟运用余弦定理及其推论，同步还要注意整体思想、方程思想在解题过程中运用.变式训练2已知A、B、(7为ZUBC三个内角，其所对边分别为a、b、c,且2COS岭+COS A=0.求角A值；(2)若a=2羽，b+c=4,求ZUBC面积.A解 (1)由 2cos +cos A=0 .得 1 + cosA +cos A = 0 f 即 cos A 二孑222ttV04/2(sin2 A - sin2 C) = (a - )sin B ,即(2/2sinA)2 -(2/2sinC)2 = (-/?)2/2 sin B , A 由 正弦定 理得：a2 -c2 = (a-b)h,即lab 2+b2 c2 =
6、 ab ,由余弦定理得：cosC= =-= , C e (0,C =探究提高 在已知关系式中，若既具有边又具有角.普通思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合 正、余弦定理即可求角.变式训练3在AABC中，内角A, B, C所对边长分别是a, b, c.(1) 若c=2, C=p且AABC面积为伍 求a, 0值；(2) 若 sin C+sin(B-A)=sin24,试判断AABC 形状.解(l)-：c = 2tC = jt/.由余弦定理 c2 = a2 + b2 - 2abcos Ca2 + b2 ab = 4又 AABC 面积为 #詁sin C 詡 5二4.联立方程组a2+ b2 ab 二
7、 4 ,由 sin C + sin(B A)二 sin 24 # 得 sin(A +B) + sin(B A) = 2sin Acos A ,即 2sin Bcos A = 2sin A cos Acos A(sin A sin B) = 0 #A cos A 二 0 或 sin A sin B = 0 #当 cosA = 0 时，*：0An , AA=j / AABC 为 角三角形;当sin Asin B二0时，得sin B = sin A #由正弦定理得a=b ,即zMBC为等腰三角形A AABC为等腰三角形或直角三角形思想办法感悟提高办法与技巧1正、余弦定理和三角形面积公式是本节课重点，
8、运用三角形内角和、边、角之间关系，三角函数变形 公式去判断三角形形状，求解三角形,以及运用它们解决某些实际问题.2 应纯熟掌握和运用内角和定理：A+B + C二冗，今+敦手二井互补和互余状况，结合诱导公式可以减 少角种数3正、余弦定理公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A = sin2B + sin2C - 2sin B sin C-cos A,可以逬行化简或证明4 依照所给条件拟定三角形形状，重要有两种途径：（1）化边为角：（2）化角为边，并惯用正弦（余弦）定理 实彳亍边、角转换失误与防范在运用正弦定理解已知三角形两边和其中一边对角求另一边对角，逬而求岀其她边和角时，有时也许浮
9、现解、两解或无解，因此要进行分类讨论.过关精练一、选取题1. 在AABC 中，A =60。，a=4y/3, b=Ayi,则等于（）A. 45。或135。B. 135 C. 45 D.以上答案都不对2. ZUBC中，若/+沪+声=力2（02+沪），则角f度数是（）A. 60 B. 45或 135。C. 120 D. 303. 在AABC中，枕=2O,Smc=5J3,AABC外接圆半径为石，则=（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 224. 在MBC中，已知b =运,c = l,B = 45,则等于（）A.、区_込B.C. a/2 + 1 D. 3-V22 25.在 A4BC41 ab = 2,
10、|AC| = 3,BA 走=3,则 Z4等于（）A. 120B. 60C. 30D. 1506.在44BC中，a:b:c = 3:5:7 9则这个三角形最大角为（）A. 30 B. 90 C. 120 D. 607.在ZkABC 中,已知三边之比d：b:c = 2：3:4,则sinA-2sinB =() sin2CA. 1 B. 2 C. -2 D丄2& AABC中，边a hc对角分别为 A.C,且 A=2B, a = -b, cosB=()2A. L B. 1 C. ? D. 22334二、填空题9.在厶ABC中，已知2sinAcosB=slnC,那么 ABC形状是三角形10. 在锐角MBC中，心b9 c分别为角A, B, (7所对边，且压=2csin则角C=11. 在AABC 中，边 a, b, c 对角分别为 As B、C,且sin2 A + siir C-sin A-sinC = sin2 B o 则角三、解答题12. （12分）已知AABC三个内角A, B, C所对边分别为a, b, c, A是锐角，且萌方=MsinB. 求A； （2）若a=7, 磁面积为103求尸+值.13.( 12 分)在厶 ABC 中，角 A, B , C 对边为 ab.c 9 向量加=(2cos ,-sin(A +B),2n = (cos , 2 sin(A + B)in丄n 求角C2
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