向量空间(熊维玲版)

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1、第三章向量空间 3.1 n维向量及其运算N维向量的概念1 定义1定义1n个有次序的数a1,a2,L,an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分a1a2量，第i个数ai称为第i个分量.记为aa1,a2,L,an，出可以写成一列的形式a，前者称为行nM向量，而后者称为列向量.行向量可看作是一个n1矩阵，故又称行矩阵；而列向量可看作一个n1矩阵，故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算，从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便，我们约定：用小写黑体字母a,b,等表示列向量，用a,bT,T,T表示行向量.也可用（w,a2,an）T来表示

2、一个列向量。即（a1,a2,an）T是一种很觉的表述。在不特别声明时我们说到的向量均为列向量，行向量视为列向量的转置.例如：二维向量可以表示平面上一个点的坐标。三维向量可以表示空间里的一个点的坐标。四维以上的向量，四维以上的向量，没有具体的几何意义。但在研究中是常见的向量。2几个特殊的向量及与向量相关的概念1 ）分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量O。b1b2当且仅当aibi 的时候，abnb ，方程组的解通常也直接表示成：2）分量全为零的向量，称为零向量。记为a1a23）相等向量：二个向量a与bMan4）方程组的矩阵表示式中的向量：Axa1b1a2b25）向量的加法：

3、abanbnkb1kb26）向量的数乘：kbkbn7）负向量a（1）a。8）向量的减法。aba（1）b精选资料，欢迎下载n维向量的线性运算1、定义2设有向量(a1,a2,L,an),(b1,b2,L,bn),则向量与向量的线性运算定义如下:A(a1b1,a2b2,L,anbn)k2、运算律A(ka1,ka2,L,kan)(1)(2)(3)(4)例1设v1v1v2o(1,(1,)1,1,00)T,v2(0,1,(5)(6)(7)(8)1)T,v31k(lk(kl(3,4,l)(kl)kk0)T(0,1,3v12v2v33(1,(3(0,n维向量空间：数域1,0)T1201,2)T1)T(12(0

4、,1,3,310,1)T21,(3,4,0)T04,3v1v2及3v12v2v3.1)T(1,0,1)T0)T0210)T上的一个n维向量空间。记为：P上的n维向量的全体以及定义在它们上面的线性运算，构成数域pn1、向量组的定义3.2n维向量组及其线性组合精选资料，欢迎下载定义1由若干个同维数的列（行）向量构成的集合是一个向量组例1 m n矩阵A的m个n 行向量可构成一个行向量组矩阵A 的行向量组1T , 2T ,mT，反过来，任给一组n 维行向量TT1, 2,T ，可以构成一得矩阵m ，可以构成一得矩阵可以构成一得矩阵T1M ，因此它们构成一一对应Tm称为A的行向量组。类似地）m n矩阵A的

5、n个m维列向量构成的列向量组 （aha2,an ）也与A构成一一对应，故我们也用大写字母表示向量组为A ： a1,a2, an.称为a的列向量组。1001例 2 n 维向量e1,e2,L1 M2 M0000组成的一个向量组，称之为n 维基本单位坐标向量组M1（默认是列向量组，也可以根据需要用行向量组）2、向量组的线性组合定义2给定向量组A：ai,a2,L,am,对于任何一组实数ki,k2,L,km,称向量k1a1k2a2Lkmam为向量组A的一个线性组合，ki,k2,L,km称为这个线性组合的系数.定义3给定向量组A：ai,a2,L,am和向量b,若存在一组实数i,2,L,m,使得biai2a

6、2Lmam则称向量b是向量组A的一个线性组合，或称向量b可由向量组A线性表示.aia2汪任一个n维向重a都可由n维单位向重组e1,e2,L,en线性表示Maaieia2e2Lanen向量b可由向量组A：a1，a2,L,an线性表示方程组aixia2x2Lanxnb有解Amnxb有解R（A）R（A,b）（二个矩阵中阶梯形中非零行的行数一样,概念以后再说明）零向量都可以由任何一个向量组线性表示。12222113一,2,3,，问向量是否能由向量组325445411,2,3线性表不?2解：因为:3115可见，R,所以向量不能由向量组3线性表示4，问向量2是否能由向量组1,2,3线性表不，并试求出其表达

7、式。解：因为12（行阶梯形）可见，R求表达式的方法:二3,所以向量可以由向量组3线性表示。4（行阶梯形）11001行010100110000可求出:3，该表达式唯一.。证明向量b 能由向量组并求出表木式11111210,a2,a3,b2213432301a1，a2,a3线性表示,例5设a1解Q(A,b)(a1,a2,a3,b)R(A)R(A,b)b能由向量组a1,a2,a3线性表示,表达式是：3c2*方程Ax b 的 通 解 为 x2c 1( c R )(3c2同(2c1)a2ca3(其中，c可任意取值)*待讲完线性方程组才可以理解此解。m 表示，只需要判断由矩阵*小结：对于判断一个向量是否可

8、以由另一个向量组1,2,1 表示。若不一样，则无法表示。具体该怎么表示，待讲线性方程组的解的表示时就知道该如何表示了。若不一样，则无法表示。与矩阵 ( 1 , 2 ,m ) 的行阶梯形中的非零行数是否一样。若一样，则可具体该怎么表示，待讲线性方程组的解的表示时就知道该如何表示了。【本节小结】1、向量的概念2、向量组及其线性组合向量b可由向量组A：a1，a2,L,an线性表示方程组axia?X2LanXnb有解AmnXb有解R(A)R(A,b)3.4矩阵的秩(要求做笔记，先讲矩阵的秩的概念和性质，再讲向量组的线性相关性。k阶子式定义1在mn矩B$人中，任取k行与k列(km,kn),位于这些行列交

9、叉处的这k2个元素,按原位置次序构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式.1例如矩阵32510 2 12 1103 0 116 4 0 742,取1,3,4行及2,4,5列得其一个3阶子式9注mn矩阵A共有Cmmck个k阶子式.二、秩的定义定义2设在矩阵A中有不为0的r阶子式D,而所有的r1阶子式(若存在的话)均为0,则称D为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A).并规定R(O)0.注矩阵A的秩就是A所有非零子式的最高阶数，只要A不是零阵，就有R(A)0;若A为mn矩阵，则0R(A)minm,n；若有一个r阶子式不为0,则R(A)r;若所有的r1阶子式都等于0,则R(A)r

10、;R(AT)R(A)；若n阶方阵的行列式A0,则A的最高阶非零子式就是A,所以R(A)n,故称A为满秩矩阵；若A0,则称A为降秩矩阵.210320：31250004300000例1求矩阵A与B的秩，其中122A235,B471A有2阶子式120,且A只有一个3阶子式，即A02324 0 ,由于B的第4行元素均为0,故B的4阶子式均为0R(A)2.213B有3阶子式032004R(B)3.注当矩阵的行、列数都较高时，用定义求秩是困难的，定义主要具有理论价值；B的秩较好求是因为它是一个行阶梯形阵，显然行阶梯形阵的最高阶非零子式就是其非零行的第一个非零数所在的行与列所构成的子式，即阶梯形阵的秩就等于

11、其非零的行数！自然的想法是：能否将矩阵化为行阶梯形阵来求其秩？即问题是等价矩阵的秩是否相等？三、矩阵的秩的求法定理1若AB,则R(A)R(B).证明设R(A)r,且A的某个r阶子式Dr0.因为AB,故A可经初等变换变为B,又R(AT)R(A),所以可仅就行变换的情形给出证明：(1)先证经一次初等行变换后，R(B)R(A)r口_当AB或时，则B中与Dr相对应的子式Dr必满足DrDr或DrDr,或DrkDr,从而有Dr0,因此R(B)r；Gkrj当AB时，分两种情形讨论：Dr 0,所以 R(B) r ；若Dr不含第i行，或同时含第i行和第j行，则Dr若Dr中含第i行但不含第j行,M则有Dr若 3r

12、0,则 Dr Dr 0ri k。MR(B)DrrjDr kE?rM0,则由就是A的不含第i行的r阶子式，由知 R(B) r ,综合以上知，经一次初等行变换后(2)再证经一次初等行变换后变为A,由(1)的证明知R(B)R(B) R(B) R(A)；R(A).R(A)：因为初等行变换均可逆，即B经一次初等行变换后亦可综合以上知经有限次初等行变化后,R(A) R(B).注由定理1知，初等变换不改变矩阵的秩.故可先用初等行变换将 A化为行梯形阵,阶梯形阵的非零行的行数就是矩阵A的秩.精选资料，欢迎下载1211161212r3 3r2r4 4r214 r3由于A的行阶梯形有3个非零行，所以0R(A)03

13、.由上知，A的最高阶非零子式是 3阶的，故只需找A的一个不为零的三阶子式.又A的行阶梯形有个最高阶非零子式:,与它相对应的是1、2和4三列，只需在这三列构成的矩阵，求R(A),并试找出A的一个最高阶非零子式r32r1r43r1中找个三阶的非零子式.因为3阶子式:30 240 20 0 30160,所以它就是A的最高阶非零子式.1(A,b)的秩.(A,b)R(A) 2,R(B)注 上面只作了初等行变换，故它们对应的方程组是同解方程组，而B的行阶梯形所对应的方程组含有矛盾方程 0题个关键是R(A)事实上R(A) R(B)1(矩阵第3行所对应的方程)，所以B对应的非齐次线性方程组 Ax b无解，问2

14、 R(B) 3造成的.R(A) R(B)在B的行最简形阵中的最后一个非零行对应出现矛盾方程 方程组无解.0 =1这个具体问题不禁让我们猜想：一个线性方程组有没有解应与它系数矩阵与增广矩阵的秩的关系有 关？这个问题将在下一节讨论 .四、秩的性质性质1若A为m n矩阵，则0 R( A) minm,n；性质 2 R(AT) R(A)；性质 3 若 AB ,则 R(A) R(B)；性质4若P,Q可逆，则R( PAQ) R( A)；性质 5 maxR(A), R(B) R(A, B) R(A) R(B)；性质 6 R(A B) R(A) R(B)；性质 7 R(AB) min R(A), R(B)；性质

15、8若庆祖口 。，则R(A) R(B) n .*余下的内容留讲第三节的时候再讲。3.3向量组的线性相关性、向量组线性相关的概念定义1给定向量组 A:a1，a2,L,am ,若存在不全为零的数 k1,k2,L ,km,使则称向量组A是线性相关的.否则称它为线性无关.k1 1k2 2Lkm m 0精选资料，欢迎下载k1 1 k2 2 Lkm m 0精选资料，欢迎下载向量组ai,L ,am线性无关任意一个包含有零向量在内的向量组必线性相关如果一个向量组仅含有一个向量性无关 .a ，则当 a 0 ，则该向量组线性相关；当a0 ，则该向量组线如果一个向量组仅含有二个向量a,b ，则这两个向量a,b 线性相

16、关的充要条件是其对应分量成. 即存在一个非零系数k, 使得 a对于一个向量组，不是线性相关,kb 。就是线性无关;两向量构成的向量组线性相关的几何意义是两个向量共线;.三个向量线性相关的几何意义是三个 n 维单位坐标向量组e1 ,e2 ,en 是线性无关的。例 1 证明 n 维单位坐标向量组e10, e2 M1,L ,enM0 是线性无关.M证明：设k1e1k2e2 Lknen0 ，则由k1e1k2e2knenk1 k2 M知，k1Lkn0 ，kn1Ln0时，才有1122Lnn0；故n维单位向量组e1,e2,L,en是线性无关.三、向量组线性相关的有关性质及线性相关性的判断方法(一)有关性质性

17、质1,am,b线性相关,则向量b可由向量组A线若向量组A：a1，a2,L,am线性无关，而向量组B：a1,a2,L性表示，且表示方式是惟一的.证明 记 A(a1,a2,L ,am)R(B) R(A)R(A) R(B)m ；又由向量组m ， 方程组 AxB (a,L ,am,b).由于若向量组 A线性无关，故 R(A) m,故B 线性相关知R(B) m 1 . 于是 m R( B) m 1 ，所以b有唯一解.这表明向量b可由向量组 A线性表示，且表示方式是惟一的.注：也可像书上用定义证明。说明向量b前的系数不能为零就可以了。性质2若向量组A：a1，a2,L,am线性相关，则向量组B：a1，a2,

18、L,am,am1也线性相关；反之，若向量组B:a1,a2,L,am,am1也线性无关，则向量组A:a1,a2,L,am也线性无关.反言之，线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关.注性质2的结论可以简述为：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关.证明记A(a1，a2,L,am)B(a1,L,am,am1),则R(B)R(A)1.由于若向量组A线性相关，故R(A)m,于是R(B)R(A)1m1,从而向量组B线性相关.例2设向量组81,82,83线性相关，而向量组a2,a3,a4线性无关，证明(1) a1能由82,a3线性表示；(2) 84不能由81,82,83线性表示.证明(1)Q向量组

19、82,83,84线性无关；向量组82,83线性无关又Q向量组81,82,83线性相关；81能由82,83线性表示(2)设84能由81,82,83线性表示，由(1)知，81能由82,83线性表示，故设84能由82,83线性表示，这与条件82,83,84线性无关相矛盾.故84不能由81,82,83线性表示.性质381181281m若n维向量组A:81821,82822,L,8m2m线性无关，则ns维向量组MMM8n18n28nm81181281m82182282mMMMB:b18n1,b28n2,L,bm8nm也线性无关.b11b12b1mMMMbs1bs2bsm注性质3可简述为：无关组添加分量后

20、仍无关；反言之，相关组减少分量后仍相关无关组添加分量后仍无关；反言之，相关组减少分量后仍相关.证明记A(a1，a2，L,am),B(b1,b2,L,bm),则R(A)R(B)m.由于向量组A线性无关，故R(A)m，于是R(B)m，从而向量组B线性无关.性质4当mn时，m个n维向量线性相关.注性质4可简述为：向量个数大于维数时必线性相关.证明记m个n维向量a1，a2,L,am构成矩阵Amn(a1，a2,L,am),则R(A)nm,故向量组a1，a2，L,am线性相关.(二)判断有关向量组线性相关的方法定理1向量组A：a1,a2,L,am(m1)线性相关A中至少有一个向量可由其余向量线性表示.证明

21、设向量组A：a1,a2,L,am线性相关，则有不全为零的数k1,k2,L,%使不妨设k10 ,则1k2k1k3k1kmk1m,即a1可由a2,L ,am线性表示;反之，设向量组 A中有一个向量可由其余1 am 0 .因为m1个向量线性表示，不妨设为am,则存在实数1,2,L,m1使am1,2,L,m1,1这m个数不全为零，所以向量组A线性相关.定理2向量组A:a1,a2,L,am线性相关有不全为零的数k1,k2,L,km使k11k22Lkmm0齐次线性方程组1x12X2LmXm0有非零解R(A)m,其中A(a1,a2,L,am)推论1向量组A：a1,a2，L,am线性无关齐次线性方程组1X12

22、X2LmXm0只有零解R(A)m,其中A(a1,a2,L,am)推论2 m个m维向量组a1,a2,L , am线性相关A 0 ,其中 A (a1,a2，L ,am)；反之：m 个精选资料，欢迎下载m维向量组a1,a2,L,am线性无关A0022,34，讨论向量组a1,a2,a3的线性相关性57解：记A1, 2, 3向量组向量组a1,a2,a3线性相关.例4设向量组a1,a2,a3线性无关,4a(a2,b2a2a3,b3a3al,讨论向量组。由2,4 的线性相关性.解法设存在 x1, x2, x3 使 x1b1x2d x3b30 ,即 x1( 1x2( 23)x3( 31 )0,亦(x1x3)1

23、(x1x2)2(x2x3)30.Q1,2,3线性无关x1x30x1x20(1)x2x30o101Q11020011方程组(1)只有零解XX2X30,*解法二记A(aa2,a3),B(b1,dh),K101Q(bbh)(4e23)110011BAKA(Kx)0QA的列向量线性无关Kx0又QK20x0向量组b1,b2,b3线性无关.*解法三记A(a1,a2,a3),B供电也)，K101Q(bihh)(a1,a2,a3)110011BAKQK20R(A)R(B)Q向量组a1，a2,a3线性无关R(A)3R(B)3向量组b1,b2,b3线性无关.三、向量组的等价1、定义4设有两个n维向量组A：a1,a

24、2,L,am,B:向量组b,b2,b3线性无关.101X1110,xx2,设Bx0011x3b1,b2,L,b,若向量组B中每个向量都可由向量组A线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示；若向量组向量组等价.也记为：AB。A与向量组B可以互相线性表示，则称这两个。注向量组的等价是一种等价关系，即向量组的等价具有:自反性、对称性、传递性.2、向量组等价的条件定理3B的列向量组可由A的列向量组线性表示存在矢I阵K,使BAK.若向量组证明由于一个向量b可由向量组 A线性表示可等价地表示成方程bk1a1k2a2Lkmam ，那么bjB可由组A线性表示，则对组 B的任意向量bj有k1 j 1k2 j

25、2 L kmj m (1 , 2,L ,m)k1 jk2jM , j 1,2,L ,skmjk11k12k1sk21b1, b2,L ,bsa1,a2,L ,amMkm1k22k2sB AK .注 称矩阵 K m s （kij ） 为这个线性表示的系数矩阵或表示矩阵M km2Mkms推论1 B的行向量组可由 A的行向量组线性表示存在矩阵K ,使B KA.证明 B的行向量组可由 A的行向量组线性表示矩阵BT 的列向量组可由AT 的列向量组线性表示存在矩阵L ，使BTATL （ 由定理1）存在矩阵K LT， B KA .cAB推论2（1）如果 ，则A的列向量组与 B的列向量组等价;rAB（2） 如

26、果，则的行向量组与B 的行向量组等价推论3向量组B: bl，b2，L，bl可由向量组A: a1，a2，L，am线性表示 存在矩阵K,使B AK矩阵方程 AX B 有解R（A）R（A,B）推论4向量组A： a1，a2，L，am与向量组B: bi，b2，L等价 R(A) R(B) R(A, B)例 5 设 a1132110,a2,b1, b211113113110 ,b32 ，证明向重组21且2与向重组b1,b2, b3等价.20注： 其他例子待讲到线性方程组和解和矩阵的秩的时候再讲。(A, B)R(A)R(A,B)R(B)R(A)R(B)R(A, B) 2向量组a1，a2与向量组bi,b2,b3

27、等价.目前只介绍向量组的线性表示及其相关概念。定理4假设1，2，m与1，2，s是二个向量组。如果（1）向量组12可以由向量组12线性表示。1，2，m1，2，s（2）ms。则向量组1,2,m必线性相关。推论1：如果向量组1，2，m可以由向量组1，2，s线性表示，且向量组1，2，m线性无关，则必有：mS。推论2：任意一个向量个数大于n的n维向量组必线性相关。推论3：二个等价且线性无关的向量组，其所含的向量个数必相等。四、向量组的最大无关组以及向量组的秩（一）向量组的最大无关组1 、定义设有向量组A,若在A中能选出r个向量a1，L，a，满足向量组A0：a1，L，ar线性无关；A中任意r1个向量（若有

28、r1个向量的话）都线性相关.则称向量组Ao是向量组A的一个最大线性无关组，简称最大无关组，最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记为Ra.注I只有一个零向量的向量组没有最大无关组，规定它有秩为0；精选资料，欢迎下载n向量组的最大无关组一般不是惟1.例如向量组 11 ,21022，34，1,2 和 257都是它的最大无关组;m最大无关组的另一等价定义：设有向量组A,若在A中能选出r个向量a1,L,a.，满足向量组A）：a1,L,ar线性无关；A中任何向量都可由A线性表示.则称向量组A0是向量组A的一个最大无关组W任何一个线性无关的向量组，其最大无关组就是它自身。V任何一个向量组的最大无关组都

29、与向量组本身等价。VI向量组的任意二个最大无关组之间都是等价的，并且他们所含的向量个数相同，都等于向量组的秩。例6全彳n维向量所构成的向量组记作Rn，求Rn的一个最大无关组及Rn的秩.解因为n维单位向量组e，,e2,L,en是线性无关，又Rn中含n1个向量的任何向量组都线性相关,故n维单位向量组e，,e2,L,en就是Rn的一个最大无关组，从而R（Rn）n.X12x2x32x40例2设齐次线性方程组2X13x2x40X1x25x37x40的全体解向量所构成的向量组为S，称这个向量组为该方程组的解空间。求S的一个最大无关组及 S的秩原方程组的同解方程为X23X32x34x43x4x1X23X32

30、x34x43x4令自由未知数X3C1, X4C2得方程的通解为精选资料，欢迎下载X1X2X3x gc2 c1,c2 R .X4X134X223,X31,0X401，则方程组的全体解向量可记为由于方程组的每个解向量可由,线性表示，又容易验证,线性无关.故,为S的最大无关组,且它的秩为2.（二）矩阵的秩与向量组的秩的关系定理5矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩*证明A,a2,L,am),R(A)r,并设A的r阶子式Dr0,则D所在的r个列向量线性无关；又由于A中所有的r1阶子式均为零，所以A的任意r1个列向量线性相关，从而Dr所在的r个列就是A的列向量组的一个最大无关组，即A的列

31、向量组的秩等于r.同理可证，矩阵A的行向量组的秩也等于r.注I由定理4知，如果A(ai,a2,L,am),则R(a1,a2,L,am)R(A).n由定理4的证明可看出：A的最高阶非零子式所在的列就是A列向量组的最大无关组，所在的行就是A行向量组的一个最大无关组.因此可借鉴求最高阶非零子式的方法求最大无关组(三)向量组的最大无关组的求、向量组的秩的求法以及用最大无关组来表示向量组的其余向量的方法。1、将向量组的每个向量为一列作出矩阵A(a1,a2,L,am)；2 、对A施行初等行变换将之化为行阶梯形矩阵B;3 、R(a，a2,L,am)r=R(B)=8的非零行行数；4 、从B中找出一个非零的r阶

32、子式Dr,A中与Dr所对应的子式为Dr,则Dr为A的一个最高阶非2121,3024的秩R 124的一个最大无关组21518,41 ,求413234零子式，所在的列对应的向量构成向量组的一个极大无关组12例3设有向量组1311(1) 向量组1,2,(2) 向量组1,2,(3) 把不属于最大无关组的市12212151解：记A= 13181，对A施行行初等变换，化为A的行初10411232等矩阵:关组的列向量用最大无关组线性表示所以易求出：A 0例 4 设矩阵AR(A)Aa31)2)3)3 ，且可取非零行首元所在的列向量组4 =3a11,2,3,就是A的一个最大无关组。,求矩阵A的列向量组的一个最大

33、无关组，并把不属于最大无且可取非零行首元所在的列向量组ai, a2,a4为最大无关组a2,a54a1 3a2 3a3四、向量组的线性表示与向量组的秩之间的关系定理6若向量组B能由向量组A线性表示，则RBRA.证设B的一个最大无关组为B0:b1,L,br,A的一个最大无关组为A0:a1,L,as，下面证明rs.,Bo可由B线性表示，B可由A线性表示，A可由A线性表示Bo能由Ao线性表示Bo能由A线性表示R(bi,L,br)R(ai,L,as),即rs.注若向量组A也能由向量组B线性表示，则rs,再次验证了“等价向量组的秩相等.”的结论。【本节小结】1、向量组线性相关的概念如果存在不全为零的数k1

34、,k2,L,km，使kl1k22Lkmm0则称向量组A是线性相关的.否则称它为线性无关.2、向量组线性相关的条件定理1向量组A：ai,a2,L,am(m1)线性相关A中至少有一个向量可由其余向量线性表示.定理2向量组A：a1，a2,L,am线性相关有不全为零的数k1,k2,L,km使K1k22Lkmm0齐次线性方程组1X12X2LmXm0有非零解R(A)m,其中A(a1,a2,L,am)推论1向量组A：a1，a2,L,am线性无关齐次线性方程组1X12X2LmXm0只有零解R(A)m,其中A(a1，a2，L,am)推论2m个m维向量组a1，a2,L,am线性相关A0,其中A3包上，am)3、向

35、量组线性相关的性质性质1部分相关则整体相关，整体无关则部分无关.性质2无关组添加分量后仍无关；反言之，相关组减少分量后仍相关性质3向量个数大于维数时必线性相关.性质4若向量组A：a1，a2,L,am线性无关，而向量组B：a1,a2,L,am,b线性相关，则向量b可由向量组A线性表示，且表示方式是惟一的.4、最大无关组和向量组的秩的求法(1)将向量组的每个向量为一列作出矩阵A(a1,a2,L,am)；(2)对A施行初等行变换将之化为行阶梯形矩阵B;(3)R(a1，a2,L,am)r=B非零行的行数；(4)从B中找出一个非零的r阶子式Dr,A中与Dr所对应的子式为Dr,则Dr为A的一个最高阶非零子式，所在的列对应的向量构成向量组的一个极大无关组精选资料，欢迎下载Welcome!欢迎您的下载,资料仅供参考!