动量定理质心运动定理

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1、动量定理质心运动定理质点的动量定理可以表述为：质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。用公式表达为d(mv) = Fdt(17-7)d(mv) = F dt(17-8)设t1时刻质点系的动量为P，t2时刻质点系的动量为P2，将(17-8)式积分，积分区间为从t1到t2，得P2 - Pi =t2F dt(17-9)式(17-9)为质点系动量定理 等于作用在质点系上的外力主t2 匚 H+ 一 I1，称为力F在1到t2时间间隔内的冲量。的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量， 矢在该时间间隔内的冲量。对于质点系而言，设Fi为质点M i所受到的外力,(i)Fi为该质点所受到的质点系内

2、力，根据牛顿第二定律得mi ai 二 Fi(e) - F i(i)dvil (e)丄 l mi F/- Fidt除了火箭运动等一些特殊情况,般机械在运动中可以认为质量不变。如果质点的质量mi不变，则有d(mi vi)=尸(e) . f . dt - i i上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得nd( miVi) ndti壬nF i(e) 、F i(i)im质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和(e)是质点(e)系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作Fr，则上式可写为2 = F(e)R17-10 )这就是质点系动量定理的微分形式，它表明：质点系的动量对时

3、间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。将式（17-10）写成微分形式dp = F rdt设tl时刻质点系的动量为P1，t2时刻质点系的动量为P2,上式从ti到t2积分，得P2 - Pl = .F Re)dt1= I(17-11)当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即P= Po这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。由式（17-10）可知，动量定理在直角坐标轴的投影为dpxdt丿dPydtdPzdt八F佝ixi 4n八F佝iyi生n. Fi(e)izi (17-12)如果外力的矢量和不为零，但在某个坐标轴上的投影为零，则质

4、点系的动量并不守恒,n瓦 FiXe） = 0但在该轴上的投影守恒。例如外力在X轴的投影为零，即 V，则Px为常量，这是质点系动量守恒的一种特殊情况。例17-1 如图17-2所示，锤从高度h =1.5m处自由下落到受锻 压的工件上，工件发生变形，历时b二0.02s，已知锤的质量 m =500kg，试求锤对工件的平均压力。解 将本题分二阶段处理：1锤头自由下落；2锤头打击工件h =1 gt2令自由落体时间为t,由运动学知2 ，所以工件(1)F落至接触工件前瞬时,锤头具有向下的速度 v =gt =J2gh =5.42m/s(2)锤头打击工件时，锤头受到重力mg和垂直向上的工件反作用力，因工件反作用力

5、在极短时间ti内迅速变化，作为工程近似，本题中用平均反力F代替工件反作用力。取铅垂轴y向上为正，根据质点动量定理式(17- 11),有 mv2y-mVly按题意，锤头开始打击工件瞬时，Viy = _v = _5.42m/s ；经过时间ti后，v2y =0。在此过程中，重力冲量的投影为- mgti ,工件平均反作用力的冲量的投影为Fti ,Lmviyucc cc 500x(5.42)“ 一 F =mg500 9.8N =i40kN I y 二 Fti -mgti，代入上式得到ti.2锤头对工件的平均压力与F是作用与反作用关系，故两者大小相等，即锤头对工件的平均压力也是140kN，是它自重的 28

6、.7倍。将式(17-3)对时间t求导数，得到M八mi h式中M为质点系所有质点的质量和，rc为质点系的质心 C速度，记作vc ; ri为质点i的速n度。有二 mi Vi 二 M Vc 二 p i 1即质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，根据式(17-10),得dtd(Mv Jdtdvc(e)RM a C dtM a c = F Re)(17-13)当质量m不变时，注意到aC为质心加速度，因此得上式称质心运动定理，它表明质点系的总质量与质心加速度的乘积等于作用在质点系上所有外力的矢量和nMxCFiXe)i=in My；=E Fi；e)imnMzCFiZe)质点系的运动相当于一个质点的

7、运动，这个质点的质量等于质点系的总质量，并且作用有质点系的所有外力，其加速度等于质心加速度。质心运动定理也可投影到直角坐标轴上，如果作用在质点系上的外力的矢量和为零时，(e)即Fr =0，则aC = , VC=常矢量，这说明质心静止，或作匀速直线运动。如果作用在质点系上的外力不为零，但在某轴上的投影为零，n S FiXe)=0例如在 x轴上的投影为零，y，那么Xc =0 , Vcx=常量，即质心速度在 x轴上的投影保持不变。以上两种情况都称作质心运动守恒定理。以上讨论可以看到，内力既不影响质点系的动量，也 不影响质心的运动，质心的运动完全取决于质点系的外 力。例如汽车、火车能够前进，就是依靠主

8、动轮与地面或 铁轨接触点的向前摩擦力(后轮驱动的汽车受力如图 -3所示)，否则车轮只能在原地空转。雪地、冰冻路面,17地面光滑摩擦力小，常在汽车轮子上绕防滑链，或在火车的铁轨上喷沙，这些都是为了增大 主动轮与地面或铁轨的摩擦力。 车辆刹车时，制动闸与轮子间的摩擦力是内力， 它不直接改变车辆质心的运动状态，但能够阻止车轮相对于车身的转动，如果没有车轮与地面的向后的摩擦力，即使闸块使车轮停止转动，车辆仍要向前滑行，不能减速。又如土建、水利工程中的定向爆破施工方法，使爆破出来的土石块堆积到指定的地方(图17-4)。我们知道，爆炸飞出的土石块的运动各不相同，情况十分复杂。但是就飞出的土石块这个质点系整

9、体而言，不计空气阻力时，土石块在运动过程中仅受到重力作用, 理，事先计算抛射部分的质心运动。其质心的运动可以利用质心运动定例17-2 在光滑轨道上有一小车，车上站立一人，如图17-5所示，开始时小车和人均处于静止。已知小车的质量为600kg，人的质量为75kg，如果人在小车上走过的距离 a=3m，求小车后退的距离 b。解考虑到人与小车组成的系统，在水平方向所受的外力为零，初始时系统处于静止。所以当人走动时，必然引起小车后退，以保持系统质心不变。由质心运动定理有m1 lx1m2 lx2= 0上式中：x1、丄X2均为相对地面固定坐标系的坐标变化。由于小车在后退，所以人相对地面移动了 a - b，即

10、丄x1 = 一 b、 = a - b，代入上式得到mjb) m2(a -b) =0解得m2amm275 360075m =33cm例17-3如图17-6所示物体A放置在物体 B的斜面上，物体B放置在光滑的地面上，不计摩擦，A、B物体的 质量分别为mA、mB，初始静止，在重力作用下，物体 A 将沿斜面向下滑，试求当物体A相对斜面滑过距离I时物体 B向左滑动的距离s。解 考虑A、B两物体构成的系统，受到的外力有物体 A、B的重力，地面对物体 B的 约束力N，所有外力都沿y轴方向，所受外力在 x轴上投影为零，根据动量定理，系统在 x 轴方向上动量守恒。初始时物体静止，动量Pox = 0，所以任一时刻

11、 Px = 0。设物体a相对斜面的速度为Vr，物体B向左运动的速度为 Vb，则物体A的绝对速度为v A = v B v r在x轴上的投影Vax =vr COS-Vb系统的动量在 x轴上的投影Kx rmAVAx -mBVB =mA（Vr cos-VB）-mBVB根据上述讨论， Kx = 0，所以 mA(Vr cos - Vb ) - mBVB = 0VBX COS： VrmA mB设物体A相对斜面滑动距离I所需时间为t1，将上式从时刻0到时刻右对时间积分，可得t1VBdt匹 cos ： vr dtmA mB 0 即mAs =mAm)Bcos l例17-4如图17-7所示，电动机的定子质量耳=24

12、kg，转子质量叫=6kg，转子的轴线通过定子的质心，转子有一偏心距r =1mm，转速为n =1450r/min。现将电动机用螺栓固定在底座上，试求螺钉受到的合力。解 取电动机定子、转子为研究的质点系，受到外力mi g、m2g，底座及螺栓的反力为N X、N y,不考虑螺栓的预紧力。Oixy，其原点与定子质心重合，所以定子质心坐标为取固连于基础的固定坐标系2：tnxi = 0, yi = 0 ；转子质心 02 的坐标为：X2 = r coscot ， y2 = r sin cot ，60 =2 3.14 145060rad/s =152rad/s由式（17-4）得到系统质心 C的坐标为Xcycm2

13、 x2m1 - m2口2丫2m1m26.0 0.00124.0 6.0cos152t=2.0 10*6.0 0.00124.0 6.0sin 152t =2.0 10*cos152tsin 152t(1)应用质心运动定理即式（17-13）得到（mm2）Xc = Nx(2)（mm2）yc = Ny -me - mg结合（1）式，解（2）式得到2N x =m2x2 - -m2r cos t - -139cos152t2N y = m1g m2g m2 yc = g m2 )g - m2r sin t = 294 -139 sin 152t如果Ny0，则螺栓不受力，只有底座受压力。如果Ny0，则螺栓受拉力。所以在设计时要考虑螺栓工作中受到变化的作用力。