勾股定理奥数基础汇总

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1、勾股定理一、内容提要1. 勾股定理及逆定理： ABC中 / C= Rt/a2+ b2=c22. 勾股定理及逆定理的应用 作已知线段a的一 2 ,3 ,5倍 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等。3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2+ b2=c2，那么这三个正整数 a,b,c叫做一组勾股数4. 勾股数的推算公式17891853)2mn, m2+n2是一组勾股数。m2-n2, 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家 任取两个正整数 m和n（mn）,那么如果k是大于1的奇数，那么k 1是一组勾股数。2如果k是大于2的偶数，那么k, K2K 21, K1是

2、一组勾股数。25.如果a,b,c是勾股数，那么na,nb, nc熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有:（n是正整数）也是勾股数。3, 4, 5;5, 12, 13;乙24,25;8, 15, 17;9, 40, 41。1.常用勾股数口诀记忆常见勾股数3, 4, 5 :勾三股四弦五5, 12, 13 :5-12 记一生6, 8, 10 :连续的偶数7, 24 , 25 :企鹅是二百五8, 15 , 17 :八月十五在一起特殊勾股数连续的勾股数只有3 , 4, 5连续的偶数勾股数只有6 , 8 , 102.100以内的勾股数开头数字为20以内13 84 85 ;6.3 4

3、 5 ; 5 12 13 ;6 8 10 ; 7 24 25 ; 8 15 17 ; 9 12 15 ; 9 40 41 ; 10 24 26 ; 11 60 61 ; 12 16 20 ; 12 35 37 ;14 48 50 ; 15 20 25 ; 15 36 39 ; 16 30 34 ; 16 63 65 ; 18 24 30 ; 18 80 822a二、例题例1已知线段a a求作线段.5 a分析一：、5 a= . 5a2 = 4a2 a2；5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：.5 a= . 9a4a2,5a是以3a为斜边,以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边

4、。作图（略）例2四边形ABCD中/DAB = 60，/ B =/ D = Rt Z, BC = 1 , CD = 2求对角线AC的长例 3.已知 ABC 中，AB = AC ,Z B = 2Z A 求证：AB2- BC2= AB X BC例4.如图已知 ABC中，求证：AB = AC例5.已知梯形ABCD中，求证：AC BD证明：作DE / AC ,AD 丄 BC , AB + CD= AC + BDAB / CD , AD BCDF / BC,交BA或延长线于点 E、ACDE和BCDF都是平行四边形 DE = AC , DF = BC, AE = CD = BF 作DH丄AB于H，根据勾股定

5、理AH = .AD2-DH 2 ,FH = DF - DH/ AD BC, AD DF AH FH, EH BHDE = .DH 2EH 2BD = . DH BH 2 DE BD 即 AC BD例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形求：b a的值（2001年希望杯数学邀请赛，初二）三、练习以下列数字为一边，写出一组勾股数： 7, _, 8, _, 10, , 11, ,根据勾股数的规律直接写出下列各式的值： 252-242=, 52+ 122 =1.2. 82 152，252 -1523.EFGH内接于9,12,ABCD , AE = a, AF = b,且 Sefgh =3 ABC

6、中，AB = 25, BC = 20, CA = 15, CM 和 CH 分别是中线和高。那么 Ssbc =, CH =MH4. 梯形两底长分别是 3和7,两对角线长分别是 6和8,贝U S梯形=5. 已知： ABC 中，AD 是高，BE 丄 AB , BE = CD, CF 丄 AC , CF = BD求证：AE = AFMD 丄 BC, ME 丄AC , MF 丄 AB ,C12.Rt ABC 中，Z ABC = 90 , Z C= 60 0 , BC = 2, D 是 AC 的中点,从D作DE丄AC与CB的延长线交于点E,以AB、BE为邻边作矩形 ABEF，连结DF，贝U DF的长是（2

7、002年希望杯数学邀请赛，初二试题）6已知：M是厶ABC内的一点, 且 BD = BF, CD = CE求证：AE = AF7在 ABC 中，/ C 是钝角，a2-b2=bc求证/ A = 2/ B8求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）9已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长10等腰直角三角形 ABC斜边上一点P,求证：AP2+ BP2= 2CP211.已知 ABC中，/ A = RtZ, M是BC的中点，E, F分别在 AB , ACME 丄 MF求证：EF2= BE2 + CF213.A ABC 中，AB = AC = 2, BC 边上有 100 个不

8、同的点 pi, p2, p3,pioo,记 mi=APi2+BPiX PiC （1=1,2,100），贝V mi+m2+ + m1oo=7.知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a, b,斜边长为c,那么a2+ b2= c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 ,c2=（a+b）2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所

9、示的正方形。图（1）中，所以丄-方法图（2）中丁八，所以一,。方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图方法四:经典例题透析在（3） 1中,在（3） 2中,所以，甲的面积甲的面积=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）， 乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）2=乙和丙的面积和，即：二-如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。ADB b%吐世込丿处丄类型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中，/ C=90 （1）已知 a=6，c=10，求 b，（2）已知 a=40, b=9，求 c；，所以-:匚。已知c=25，b=15，求a.注意勾股定理的变形使用。思路点拨：

10、写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中,解析： 在厶ABC中，/ C=90 , a=6, c=10,b= 厂 厂 在厶 ABC 中，/ C=90 , a=40, b=9,c= L， (3)在厶 ABC 中，/ C=90 , c=25 , b=15,a=-：1举一反三【变式】：如图/ B=Z ACD=90 , AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在_三匚中总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理举一反三【变式1】如图，已知： _ U *，上覚二匚寒

11、，二二丄卫三于P.求证：亠I.【变式2】已知：如图，/ B= / D=90 ，/ A=60 , AB=4 , CD=2。求：四边形 ABCD的面积。类型三：勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了 -二-：1到达B点，然后再沿北偏西30方向走了 500m到达目的地 C点。(1) 求A、C两点之间的距离。(2) 确定目的地 C在营地A的什么方向。总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出厶 ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其

12、外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？o（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种 架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AE为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么

13、它所爬行的最短路线的长是类型四：利用勾股定理作长为而的线段5、作长为的线段。举一反三【变式】在数轴上表示的点。类型五：逆命题与勾股定理逆定理 写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 如果 ABC的三边分别为a、b、c，且满足 举一反三【变式1】四边形ABCD中，/6、7、a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，B=90 ，AB=3，BC=4，判断 ABC的形状。CD=12 , AD=13，求四边形 ABCD的面积。【变式2】已知： ABC的三边分别为 m2 n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数，且mn）,判断 ABC是否为直角三角 形【变式3】如图正方形 ABCD , E为BC中点，F为

14、AB上一点，且BF= 请问FE与DE是否垂直？请说明。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法说1若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求 解。举一反三【变式1】等边三角形的边长为 2,求它的面积。【变式2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，

15、在题目没有给出哪条是直角边哪 条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、 8， 15， 17B、 4， 5， 6C、 5， 8， 10D、 8， 39， 40【变式 5】四边形 ABCD 中，/ B=90 ，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， 求四边形ABCD的面积。类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30，点A处有 所中学，AP = 160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由， 如果

16、受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2） 图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面

17、积是多少？（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。遇 丄心迴=辺【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是-。24 X - 53（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积42KCDB)以上都不对CB4ADAE8CB（1）求DC的长。求AB的长。它的每一级的长、宽、高分别为A: 1410、若 VABC 中，AB24、如图，已知在厶 ABC中，CDLAB于 D, AC= 20, BC= 15, DB= 9时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）.想一想，此时 EC有多长?D B27、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽 AB为8cm, ?长BC

18、?为10cm .当小红折叠4、如图所示，已知 ABC中 总结升华：在直角三角形中, 举一反三：【变式】如图所示， 求EF的长。13cm, AC 15cm，高 AD=12,则 BC的长为14 或 4 D20dm 3dm 2dm ?A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是；2022 |, 故 心 E十 J + 类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角 为直角三角形问题来解决.示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC , D是斜边BC的中点，E、F分别是 点，且 D

19、E丄DF，若BE=12 , CF=5 .求线段 EF的长。耳F C总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所 求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法18、如图，是一个三级台阶（3）过A作AK丄BC于点K （如图所示），则在Rt ACK中，Q/ C=90 ,Z A=60 ，“：，求 L、的值。30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。折叠矩形的一边 AD ,使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm , BC=10cm/B/ajjMC . rc形，将问题转化3、如图所AB、AC边上的初二

20、奥数竞赛第5讲勾股定理1.如图，以等腰直角三角形 ABC的斜边AB为边向内作等边厶 ABD连接DC以DC为边作等边 DCE B E在C、D的同侧，若 AB= ，则BE=2.如图所示，在 ABC中，AB=5cm 那么边 BC的长为 cm .AC=13cm BC边上的中线 AD=6cm3. 如图，设 P是等边 ABC内的一点，PA=3, PB=4, PC=5则/ APB的度数是4.如图，- 个直角三角1997形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997,那么另一条直角边的长为5. 若厶ABC的三边a、b、c满足条件：去+ I:+338=10a+24b+26c,则这个三角形最长边上的高为

21、 6. 如图，AD是厶ABC的中线，/ ADC=45，把 ADC沿 AD对折，点C落在C处，贝U BC与BC之间的数量关系是BC =BC .BDC7. 如图， ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，PABC内一点，将 ABP绕点A逆时针旋转后与厶 ACP重合，如果AP=3,那么线段PP的长等于 .9.如图，四边形 ABCD中, AB=3cm BC=4cm CD=12cm DA=13cm 且/ ABC=90，则四边形 ABCD勺面积是cm2.10. 如图，已知 P 是厶 ABC边 BC上一点，且 PC=2PB 若/ ABC=45，/ APC=60，求：/ ACB的大小.11. 一个直角三角形的边长

22、都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在, 确定它三边的长，若不存在，说明理由.12如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形.(1) 使三角形三边长为 3，诫忌 屬了；(2) 使平行四边形有一锐角为45 ,且面积为4.13.已知：如图，在厶ABC中，AB=AC / A=120, AB的垂直平分线MN分别交BC, AB于点M, N,求证：CM=2BM14.如图，在 Rt ABC中，/ A=90,D为斜边BC中点，DEL DF,求证：.15.在 ABC中，AB=AC(1)如图，若点P是BC边上的

23、中点，连接AP.求证：BF?CP=：匸：；(2)如图，若点P是BC边上任意一点，上面(1)的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说 明理由；(3) 如图，若点P是BC边延长线上一点，线段 AB, AP, BP, CP之间有什么样的数量关系？画出图形, 写出你的结论.(不必证明).4图 I -9-5- 11+ + + + 皿1（ = _（1990年全国联赛试題）显示解析h A4BC的周长是24, M是AB的中点，MC = MA - 5, A4BC的面积是（1999年全国联赛试题）2如图I 9一5-11,公路Z同侧有两村庄 村到公路2的距离AC = 4km,B村到公路 的距离BD = 2bn

24、,且C、D两点间的距离为8km. 要在公路Z上建一车站巴使妒十胪最小，则这 个最小值为.（1999年河北省竞奏题）3衽/?中,AB AC 2, BC 上有 100 个不同的点P八匕rPmn,记m严廿訂 昭皿（2 1,2100）,则皿】4已知ABC是三边长为整数的直角三角形，且2AC BCABt则下而 各数可能是这个直角三角形的一条边长的是（）A.41 B.5I C.6L D.71（1997年哈尔滨市竞赛题）5 如图I -9-5-12.已知Z4 =】均垂宜于金局，A41 = 17. PP）= 16,W = 20显| = 12,!K5 AP + PB 等于（）A. 12B,13 CJ4 D.15图

25、 I -9-5-12（】997年全国联赛试题B6.如图I - 9-5 - 13,在等腰直角砂的斜边佔上取两点使/MOV 二4S，记 AM 状是A*锐角三角形C.钝角三角形=m, MN -先，BN - n,则以x、m、n为边长的三角形的形（ ）B.直角三角形D随着xtm,n的变化而变化（1997年安徽省竞赛JS）7.在中tBC=17.C4 = 18,/= 19,P 为ABC 内的一点，P0丄眈于 D.PEXAC 于 丄佃 T 氏且 RD+CE + AFR 求 BD+的长.& ABC中是眈边上的中线，点时在AB边上，点用在脱边上* 并aZM/V = 9（FTftl果 BM2 + CN2 = DM7 4- fi/V7.求证：*佔珥 AC2）.