正方形的判定

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1、正方形的判定教学设计教学目标:：1、 知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。2、 经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习 惯，逐步掌握说理的基本方法。3、 理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。教学重点：掌握正方形的判定条件。教学难点：合理恰当地利用特殊平行 四边形的判定进行有关的论证和计算。教学过程：一、 创设问题情景，引入新课我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中。通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，

2、还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形。1、怎样判断一个四边形是矩形？2、怎样判断一个四边形是菱形？3、怎样判断一个四边形是平行四边形？4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？二、讲授新课1、探索正方形的判定条件：学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。（1）直接用正方形的定义判，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么临就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先

3、判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定四边形 是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定 定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边想的相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边 形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具 体 条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。2、正方形

4、判定条件的应用【例1】判 断下列命题是真命题还是假命题？并 说明理由。（1） 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；（2） 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（3） 对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4） 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。师生共析：（1） 是真命题。因为四条边相等的四边 形 是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题。（2） 真命题。四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根 据是矩形又是菱形的

5、四边形是正方形，可判定其为真。（3） 假命题。对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形。如下图，满足AO=CO，BO=DO且ACBD但四边形ABCD不是正方形。 （4） 假命题。它可能是任意四边形。如上图，ACBD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形。（5） 真命题。方法一，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形。可判定其为真。方法二，对角线平分 平行四边形 对角线垂直 平行四边形 对角线相等 方法三，由对角线互 相 垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是

6、矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形。总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用。【例2】如下图 E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且EAF=45，试说明EF=BE+DF。师生共析：要证EF=BE +DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法。解：将ADF旋转到ABC，则ADFABGAF=AG，ADF=BAG，DF=BGEAF=45且四边形是正方形， ADFBAE=45GABBAE=45即G

7、AE=45AEFAEG（SAS）EF=EG=EBBG=EBDF【例3】画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。画法：1、画线段=30cm，取AC的中点O。 2、过点O画AC的垂线，并分别 在AC的两侧取OB =OD=15cm。 3、连结ABBCCDDA. 则四边形ABCD就是所要画的正方形.证明 ：AO= CO,BO=DO四边形ABCD是平行四边形。又AC=BD, 平行四边形ABCD是 矩形。ACBD平行四边形ABCD是菱形。四边形ABCD是正方形（四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形）。说明:由学生分析画法,在证明过程中让学生逐一说出判断理由,以加深对正方形的判定方法的认识

8、.三、随堂练习 课本练 习3。通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用。四、课时小结师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。 五、课后作业习题 14，15，16，17。补例、如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使EAF=45，AGEF于G. 求证：AG=AB 解析：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证RtABE与RtAGE全等，但条件不够. EAF=45怎么用呢 ？显然12=45，若把它们拼在一起，问题就解决了. 证明：把 A FD绕A点旋转 90至AHB. EAF=45，12=45. 2=3，13=45. 又由旋转所得 AH=AF，AE=AE. AEFAEH.