换元开门蝴蝶自来——一道模拟调研填空题的多视角求解

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1、换元开门，蝴蝶自来道模拟调研填空题的多视角求解美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.当遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去套”，这仅仅只是解出来，并没有真正意义上弄懂它，只有对数学思想方法理解透彻，会举一反三时，才能提出新看法、巧解法.近年数学高考十分重视对于数学思想方法的考查，尤其突出对能力的考查，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题、解决问题.高中数学思想方法有很多，这里重点说说换元法.换元法又称为“变量代换法、辅助元素法”.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等价代换，目的是变换对象，将问题转化在新对象的知识背景下去

2、研究，把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，把条件和结论联系起来，把非标准问题标准化，复杂问题简单化，陌生问题熟悉化.本文将以南通等市的2016届高三调研卷上的一道填空题为例，浅谈几种换元法的妙用.1试题呈现题目（南通市、扬州市、淮安市、宿迁市、泰州市2016届高三第二次调研测试填空题13）设实数X,），满足-/=!,则3/ _2q，的最小值是.42解法探究2.1目标换元法处理最值时，通常将目标函数看作一个未知变元，通过它与已知条件建立等式或不等式.解：令 r = 3x2-2”,则=芝一X，代入-/=1,化简得+（4 - 6t）x2 + 户=0,2x 44- u = x2 2 4,则 8

3、疽 +（4 - 67） + =0在4,4-oo）上有解.注意，当 w = 4时，8/? + （4-6r）w + r2 = r -24/ +144 = （r-12）2 0,故只需要= （4 - 6/）2 - 32 2 0,rr 0.2的最小值是6 + 42.评注：本解法实际上经过了 2次换元，第1次从目标函数入手，通过消元，建立，尤的新关系；第2次换元是降次，关于x的四次方程难以解决，于是考虑换元成熟悉的二次，但在此过程中，需要再次注意新元的范围，后面是一个二次方程有解问题，易错.开头的FI标换元应该是学生比较容易想到的，在线性规划这块用得较多.虽然入手容易，但是后面较难解决.所以很多学生半途而

4、废.2.2 “1”的妙用分析：注意到所求的表达式是二次齐次式，而题意条件给出也是齐次式，还是常数1,于是考虑用“1的代换”. x2 o 1 3F 一 2xy 3x2 - 2xyx . . y . 1 1解：由-r =1, 3r _2封=- =41_y21-（2）2 x 2 244 x则 3x2-2xy = 4（32，再令，=3-2蜘日2,4）,则 k =，故 3】一2个=,j_“2-4k224_= WN土 丁 = 6 + 4次，当且仅当1 = 22时取三T +6-8 _岸）+ 6 6-28评注：本题利用“1的代换”变成分式二次型，再上下同时除以尤，变成单变量】.这里，x解决/a)= 4(3-2

5、f) ,sC)的最值，除了上述的基本不等式外，还可以利用导数.-4k-2 2（1一4/）2广(*) =丝华二#穿,令广以)0,再结合1),解得S (士孕,：)，即匕 匕W)在(学，!)上单调增，在弓，蛇鸟上单调减，故八幻讪=6 + 4皿.2.3比值换元如果已知条件为比例式子或者可以看作比例，那么用比值代入可使其简化.本题给出的条件是二元齐次式，不妨引入参数A ,考虑用正比例函数将两个变量的依存关系表示出来,从而使二元变量的最值问题转化成一元变量的最值.解：设)，=公,代入原方程得x2-42x2=4,由于yx ,故1一4炉。0,即44x2 =，而 3必一2xy = 3x2-2x-kx = (3-

6、2k)x2 = (3-2k)7，这样就回到了1 一 4妃-4k解法2.以下略.评注：很明显，经过换元y = kx快速将两变量的3x2-2a7化简为单变量的4(3-2k)，相对于解法2,快捷，方便.1一4/2.4三角换元三角换元的基本思想是根据已知条件，引入新的变量三角函数，从而使多元代数问题变成一元三角函数问题(只含有0)，接下来利用三角函数的性质或者三角恒等变换等解决问题.在高中数学解题方法中，三角换元是常见的换元方式，在遇到圆，椭圆，双曲线等方程时均可以考虑三角换元，形如写辛=1,后耳解:号即为（；）、项不妨令支,尸即章景,则4/_ 4tl-(3-r)2 -r2 + 6r-8*f = 3白

7、.赤.器=魅羿(*)令3-sin = r,r g (2,4),则sin = 3-，(*)即3X2 -2xy =这样就回到了解法1.以下略.评注：这里，平方差等于1的三角换元并不经常遇见，换元形式要熟记:（孔-tai? 0 = 1.cost/2. 5和差换元若x,y e R,则可设x = a + b,y = a-b,特别地，若 x+y = 2a,则可设 x = a + t, y = a-t,（re/?）,这样的换元我们称之为和差换元.v-V*I解：令- = a + byy = a-by代入一-寸=1化简得泌=一，2443x2 - 2xy = 3（2（ + b）2 - 2 2（。+ b）（a 一

8、b）=Sa2 +16屏+ 24泌 2/&己16屏+ 24沥=6 + 42.当且仅当。？ = 2屏时取=.评注：虽然利用和差换元引入新变量0仇但是整个代数式变得简单明了，本解法中的换元巧妙得很，只留下=为后面使用基本不等式做了铺垫.本题若这样换元：4x = a + biy = a-b,得 3c/ + 3b2 -1 Oab + 4 = 0,而所求的是+5b2 +6ab 的范围，明显难度上升了.2.6极坐标换元2方程-r = 1所表示的曲线方程是直角坐标系下的双曲线，若将其置于极坐标下会有怎4样的形式呢？我们不妨来试一试.解：以直角坐标系的原点为极点，x轴正向为极轴建立极坐标系，令x = pcos6

9、,X。c4Iy = Qsin。，(qO,eR),代入 y = 1化简得p1 =； (tan。更).4cos9-4sin323x2 -2xy = 3(pcos0)2 -2pcos0-psinO令 tanQ = A, 3J_2q，= 4（3-2，回到了解法 2.以下略.p2(3cos2 0-2cossin。)=4(3cos2 6-2cos0 sin 6)cos2 -4sin2 04(3-2 tan 0)1-4 tan2 91一4&-评注：转换视角，置于不同的坐标系，有创意！这个解法精妙之处在于题干和所求均为齐二次式，否则处理难度便会加大.极坐标变换是理科生学习的内容，所以这个解法对于文科生的学习能

10、力要求较高.2.7局部换元解：-/= 1即为（三+力（一）,）= 1,可知4 一构成等比数列，可设42*22211工=+ _，4-y =+ y = t,从而 J 则 3丁 一2刈，=6 + 2尸+N2 6 + 4A/5.2/21,1、t2y = -（t一），2 t当且仅当时取=.评注：应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元，又如rY何设元?关键是发现题干可以因式分解，-yX- + y构成等比数列，三者有内在联系而实22施换元，这是我们思考局部换元解法时要注意的-点.如果下次遇见类似等差数列的形式也就迎刃而解了.3解题反思至此，笔者给出了一道调研模拟题的7种换元解法.在

11、分析问题时，需要关注条件及所求结论的特点和相互联系，从不同视角寻找问题的突破口.我们使用换元法解题时要注意以下两点：（1）选择合适的变量进行换元，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则；（2）换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，要注意挖掘隐含的限制条件，还要根据题设条件来进一步验证.换元引参思想内涵丰富，如果学生能掌握上述这些方法，以后遇到类似的二元变量最值问题就可以顺利解决了.参考文献1 陈跃.浅谈换元法在求最值问题中的应用J.数学学习与研究，2015（19）： 1192 傅建红.从一道高考题看二元条件最值问题的求解策略J.数学教育研究.2011（5）,55-56.