对数的运算法则及换底公式

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1、?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果一般地，如果 1, 0aaa的的b次幂等于次幂等于N, 就是就是 Nab，那么数，那么数 b叫做叫做以以a为底为底 N的的对数对数，记作，记作 bNaloga叫做对数的叫做对数的底数底数，N叫做叫做真数真数。定义定义：有关性质有关性质： 负数与零没有对数（负数与零没有对数（在指数式中在指数式中 N 0 ） , 01loga1logaa对数恒等式对数恒等式NaNalogbabalog常用对数：常用对数： 我们通常将以我们通常将以10为底的对数叫做为底的对数叫做常用对数常用对数。 为了简便为了简便,N的常用对数的常用对数

2、 N10log简记作简记作lgN。 自然对数：自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为底的对数叫自然对数。 为了简便，为了简便，N的自然对数的自然对数 Nelog简记作简记作lnN。 （6）底数）底数a的取值范围：的取值范围： ), 1 () 1 , 0(真数真数N的取值范围的取值范围 :), 0( )()(),()(),(RnbaabRnmaaRnmaaannnmnnmnmnm积、商、幂的对数运算法则：积、商、幂的对数运算法则：如果如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：有：)()()(3

3、R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa为了证明以上公式，请同学们为了证明以上公式，请同学们回顾一下回顾一下指数运算法则指数运算法则 ：证明：证明：设设 ,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paM qaN MN= paqaqpaqpMNa log即证得即证得 ?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N)(1NlogMlog(MN)logaaa证明：证明：设设 ,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paM qaN qpaaqpaqpNMa

4、log即证得即证得 ?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=NNM)(2NlogMlogNMlogaaa证明：证明：设设 ,logpMa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paM npnaMnpMna log即证得即证得 ?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N)(3R)M(nnlogMlogana上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。然后再根据对数定义将指数

5、式化成对数式。)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa简易语言表达：简易语言表达：“积的对数积的对数 = 对数的和对数的和”有时逆向运用公式有时逆向运用公式 真数的取值范围必须是真数的取值范围必须是 ), 0( 对公式容易错误记忆，要特别注意：对公式容易错误记忆，要特别注意：,loglog)(logNMMNaaaNMNMaaaloglog)(log其他重要公式其他重要公式1:NmnNanamloglog证明：证明：设设 ,logpNnam由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,)(pmnaN 即证得即证得 Nmn

6、NanamloglogmpnaN pnmNa logpnmaN 其他重要公式其他重要公式2:aNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca证明：证明：设设 由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paN 即证得即证得 pNalog,loglogpccaN ,loglogapNccaNpccloglogaNNccalogloglog这个公式叫做这个公式叫做换底公式换底公式其他重要公式其他重要公式3:abbalog1log), 1 () 1 , 0(,ba证明证明:由换底公式由换底公式 取以取以b为底的对数得：为底的对数得： 还可以变形还可以变形,得得 , 1logb

7、baNNccalogloglogabbbbalogloglogabbalog1log1loglogabba积、商、幂的对数运算法则：积、商、幂的对数运算法则：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa其他重要公式其他重要公式:NmnNanamloglogaNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca1loglogabba), 1 () 1 , 0(,ba例例1 计算计算（1） )42(log752（2） 27log9（3） 8log7log3log7

8、32例例2 用用 ,log xa,log yazalog表示下列各式：表示下列各式： 32log)2(;(1)logzyxzxyaa（1） 18lg7lg37lg214lg例例3 3计算：计算： 解法一：解法一： 18lg7lg37lg214lg18lg7lg)37lg(14lg218)37(714lg201lg )32lg(7lg37lg2)72lg(2)3lg22(lg7lg)3lg7(lg27lg2lg018lg7lg37lg214lg解法二：解法二： （2） 例例3计算：计算： 9lg243lg3lg23lg525解：解： 1023lg)10lg(32lg)3lg(2 . 1lg10l

9、g38lg27lg)3(2213213253lg3lg9lg243lg)2(2 . 1lg10lg38lg27lg)3(12lg23lg) 12lg23(lg2323例例4 4 已知已知 ，求，求 的值的值. .a12log324log3312a例例5 5 设设 ，已知，已知 , , 求求 的值的值. .35abm112abm15 .45求lg，a2lg已知b，lg3例例6：练习：练习： 已知已知 log2 3 = a， log3 7 = b, 用用 a, b 表示表示log42 56解：因为解：因为loglog2 23 = a3 = a，则，则 , , 又又 log log3 3 7 = b

10、, 7 = b, 2log13a1312log7log2log37log42log56log56 log33333342babab积、商、幂的对数运算法则：积、商、幂的对数运算法则：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa其他重要公式其他重要公式:NmnNanamloglogaNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca1loglogabba), 1 () 1 , 0(,ba2、 计算：计算： 3log12 .054219432log2log3log1、计算、计算： (1) log 5 35 2log 5 + log 5 7 log 5 1. 837(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2