0610高一数学（2.5.1平面几何中的向量方法）

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1、2.5 2.5 平面向量应用举例平面向量应用举例 2.5.1 2.5.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法问题提出问题提出t57301p21.1.用有向线段表示向量，使得向量可以用有向线段表示向量，使得向量可以进行线性运算和数量积运算，并具有鲜进行线性运算和数量积运算，并具有鲜明的几何背景，从而沟通了平面向量与明的几何背景，从而沟通了平面向量与平面几何的内在联系，在某种条件下，平面几何的内在联系，在某种条件下，平面向量与平面几何可以相互转化平面向量与平面几何可以相互转化. .2.2.平行、垂直、夹角、距离、全等、相平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这似等，

2、是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来积表示出来. .因此，平面几何中的某些问因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结实践中去探究、领会和总结. .探究（一）：探究（一）：推断线段长度关系推断线段长度关系 思考思考1 1：如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，已中，已知知AB=2AB=2，AD=1AD=1，BD=2BD=2，那么对角线，那么对角线ACAC的的长是否确定

3、？长是否确定？A AB BC CD D思考思考2 2：设向量设向量 a， b，则向量则向量 等于什么？向量等于什么？向量 等于什么？等于什么？ A B=uuu rA D=uuu rA Cuuu rD Buuu rA Cuuu r= =a+ +b, = =a- -b D Buuu r思考思考3 3：AB=2AB=2，AD=1AD=1，BD=2BD=2，用向量语言，用向量语言怎样表述？怎样表述？| |a|=2|=2，| |b|=1|=1，| |a- -b|=2.|=2.思考思考4 4：利用利用 ，若求，若求 需要解决什么问题？需要解决什么问题？22|()A CA C=uuuu ruuu r|A C

4、uuu rA AB BC CD Dab思考思考5 5：利用利用| |a|=2|=2，| |b|=1|=1，| |ab|=2|=2，如何求如何求ab？ 等于多少？等于多少？|A Cuuu r1, |62a bA C=uuu r思考思考6 6：根据上述思路，你能推断平行四根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？度之间具有什么关系吗？平行四边形两条对角线长的平方和等于平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍两条邻边长的平方和的两倍. 思考思考7 7：如果不用向量方法，你能证明上如果不用向量方法，你能证明上

5、述结论吗？述结论吗？ 探究（二）：探究（二）：推断直线位置关系推断直线位置关系 思考思考1 1：三角形的三条高线具有什么位置三角形的三条高线具有什么位置关系？关系？ 交于一点交于一点思考思考2 2：如图，设如图，设ABCABC的两条高的两条高ADAD与与BEBE相交于点相交于点P P，要说明，要说明ABAB边上的高边上的高CFCF经过点经过点P P，你有哪些办法？，你有哪些办法？ A AB BC CD DE EF FP P证明证明PCAB.PCAB. c( (ab) )0 0. 思考思考3 3：设向量设向量 a， b， c，那么那么PCBAPCBA可转化为什么向量关系？可转化为什么向量关系？

6、PA=uuu rPB=uuu rPC=uuu rA AB BC CD DE EF FP Pabc思考思考4 4：对于对于PABCPABC，PBACPBAC，用向量观，用向量观点可分别转化为什么结论？点可分别转化为什么结论？a(cb) )0 0，b( (ac) )0 0.思考思考5 5：如何利用这两个结论如何利用这两个结论: : a(cb) )0 0，b(ac)0 0 推出推出c( (ab) )0 0？ 思考思考6 6：你能用其它方法证明三角形的三你能用其它方法证明三角形的三条高线交于一点吗？条高线交于一点吗？A AB BC CD DE EF FP P探究（三）：探究（三）：计算夹角的大小计算夹

7、角的大小 思考思考1 1：如图，在等腰如图，在等腰ABCABC中，中，D D、E E分分别是两条腰别是两条腰ABAB、ACAC的中点，若的中点，若CDBECDBE，你认为你认为AA的大小是否为定值？的大小是否为定值？A AB BC CD DE E三角形.gsp思考思考2 2：设向量设向量 a， b，可以利，可以利用哪个向量原理求用哪个向量原理求AA的大小？的大小？A B=uuu rA C=uuu rA AB BC CD DE Eabcos| | | |a bAab=思考思考3 3：以以a，b为为基底，向量基底，向量 ， 如如何表示？何表示？ B Euuu rC Duuu rA AB BC CD

8、 DE Eab12B Eba=-uuu r12C Dab=-uuu r思考思考4 4：将将CDBECDBE转化为向量运算可得转化为向量运算可得什么结论？什么结论？ ab = （a2b2） 25思考思考5 5：因为因为ABCABC是等腰三角形，则是等腰三角形，则| |a|=|=|b| |，结合上述结论，结合上述结论: : ab = ( (a2b2 ) ),cosA,cosA等于多少？等于多少？254cos| | | |5a bAab=A AB BC CD DE Eab理论迁移理论迁移例例1 1 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点E E、F F分别是分别是ADAD、D

9、CDC的中点，的中点，BEBE、BFBF分别与分别与ACAC相交于点相交于点M M、N N，试推断，试推断AMAM、MNMN、NCNC的长的长度具有什么关系，并证明你的结论度具有什么关系，并证明你的结论. .A AB BC CD DE EF FM MN N 结论结论:AM=MN=NC :AM=MN=NC 三等分.gsp例例2 2 如图，如图，ABCABC的三条高分别为的三条高分别为ADAD，BEBE，CFCF，作，作DGBEDGBE，DHCFDHCF，垂足分别为，垂足分别为G G、H H，试推断，试推断EFEF与与GHGH是否平行是否平行. .A AB BC CD DE EF FP PG GH

10、 H 结论结论:EFGH :EFGH 小结作业小结作业1.1.用向量方法解决平面几何问题的基本用向量方法解决平面几何问题的基本思路：几何问题向量化思路：几何问题向量化 向量运算关向量运算关系化系化 向量关系几何化向量关系几何化. .2.2.用向量方法研究几何问题，需要用向用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决量问题来解决. .它既是一种数学思想，也它既是一种数学思想，也是一种数学能力是一种数学能力. .其中合理设置向量，并其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键建立向量关系，是解决问题的关键. .作业：作业：P113P113习题习题2.5A2.5A组：组：1 1，2.2. B B组：组：3.3.