倒立摆课程设计报告

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1、倒立摆课程设计报告班级：姓名：学号：同组人：目录第一章：倒立摆系统研究背景概述 2第二章：系统分析3第三章：控制系统基本方法仿真与实验 73.1PID算法仿真与控制系统设计： 73.1.1 概述：73.1.2实验设计：83.1.3参数调试及仿真： 83.1.4输出实时控制： 103.2LQR算法仿真与控制系统设计： 123.2.1 概述：123.2.2实验设计：133.2.3参数调试及仿真： 133.2.4输出实时控制： 153.3频率法仿真与控制系统设计： 163.3.1 概述：163.3.2实验设计及仿真： 163.3.3输出实时控制：21第四章：自选控制方法一模糊控制设计 224.1模糊

2、控制原理概述： 224.2倒立摆模糊控制器的设计、调试及仿真： 244.2.1设计思想及模糊控制规则的建立： 244.2.2模糊控制系统的建立与调试： 29第五章：结束语 33附录： 错误！未定义书签。第一章：倒立摆系统研究背景概述倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、强耦合的非线性系统，是进行 控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有 效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题，稳定性问题、 随动问题以及跟踪问题等。最初研究开始于二十世纪 50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近 年来，新的控制方法

3、不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对 象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的 能力。同时，其控制方法在军工、航天机器人和一般工业过程领域中都有着广 泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星 飞行中的姿态控制等。倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级 摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。现在由中国的北京 师范大学李洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能 控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了四级倒立摆。是世界上第 一个成功完成四级倒立摆实验的国家。倒立摆的

4、控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之 没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克 服随机扰动而保持稳定的位置。倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值（或只 有角度），计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置 信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流 电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动， 摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆 动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内 旋转，小车沿着水平铁轨运动。当

5、没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡 位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个 控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系 统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰， 需要给系统设计控制器，目前典 型的控制器设计理论有：PID控制、根轨迹以及频率响应法、状态空间法、最优 控制理论、模糊控制理论、神经网络控制、拟人智能控制、鲁棒控制方法、自适 应控制，以及这些控制理论的相互结合组成更加强大的控制算法。第二章：系统分析系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对 象上加上一系列的研究

6、者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测 其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入-输出关系。 这里面包括输入 信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模 就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建 立起系统内部的输入一状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。 但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统， 可 以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。 下面我们采用其中 的牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。M小车质量M摆杆质量 b小车摩擦系

7、数 l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力X小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角0摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作 用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因 而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向Fri：|ar【实际系统的模型参数如下】 小车质量1.096 Kg摆杆质量0.109 Kg小车摩擦系数0 .1N/m/sec摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m摆杆惯量0.0034 kg*m*m建模的具体过程我们采用手写完成。第三章：控制系统基本

8、方法仿真与实验3.1PID算法仿真与控制系统设计：3.1.1概述：PID控制由比例单元(P)、积分单元(I )和微分单元(D)组成。它由于用 途广泛、使用灵活，已有系列化产品，使用中只需设定三个参数(Kp, Ki和Kd)即可。在很多情况下，并不一定需要全部三个单元，可以取其中的一到两个单 元，但比例控制单元是必不可少的。rink图3-1-1模拟PID控制系统原理框图PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值rin(t)与实际输出值yout(t)构成控制偏差error(t)=ri n( t)-yout(t)PID的控制规律为：心、,*、丄1/心、亠丄Tuderror (t)u(t) =kp er

9、ror(t) + error(t)dt +Tidt,也可以写成传递函数的形式G(s)U (s)E(s)12 To %s)其中，kp比例系数，T| 积分时间常数；Td 微分时间常数。 简单的说来，PID控制器各校正环节的作用如下： 比例环节：成比例的反映控制系统的偏差信号 error(t)，偏差一旦产 生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。 积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取 决于积分时间常数T|，T|越大，积分作用越弱，反之越强。品Cirt PmScopel豐微分环节：反映偏差信号的变化趋势呷变化速率），并能在偏差信号变的 太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正

10、信号，从而加快系统的动作谏 度，减少调节时间。FID Contrcllef 1RD0 02725*实验具体设计如下，图.3-1-2为系统原理图，Tr&nsftf Fcri l内部结构 Slti0.010212&j2+-0.207053-1-3为封装下的PId控制器Googol Linear 1Stage Inverted Pendulum PID Control Simulink图 3-1-2图3-1-33.1.3参数调试及仿真：我们首先按照传统PID参数整定方法调整参数的，骤是先让 Ki、Kd为0,只 调整Kp,使系统等幅震荡，然后根据等幅震荡的周期确定微分时间常数和积分 时间常数，再做些微

11、调。这种方法在过程控制调节水箱时很有效。结果如下： Kp=40 Ki=0 Kd=0 系统等幅震荡如图3-1-4所示，但按临界比例度法 整定参数并不理想，先比例，后积分的方法无论如何不能消除振荡，如图 3-1-5。改变方法保持Kp调整Kd直到系统余差达到要求的范围内并达到尽量的小，并且上升时间至少小于要求调整时间的一半，之后开始调整Ki消除余差并且使系统达到要求。图3-1-4图3-1-5Kp=40 Ki=O Kd=15系统最终稳定但有余差，我们下一步开始调整Ki， 逐渐增大Ki，当Kp=40 Ki=25 Kd=15 系统控制效果好，超调大约34% 稳定时间4.4秒，无余差，符合要求，如图3-1-

12、7，但是这种控制方法是无法控 制小车的位置的，如图3-1-8图 3-1-7图3-1-83.1.4输出实时控制：在固高公司的实验仪器的模块内输入调整好的参数，倒立摆稳定立起来， 实时控制曲线如图3-1-9，上面是位移实时曲线，由于该系统不能控制位移，故 需要在小车靠近导轨边缘时用手轻轻碰一下摆杆，下面是角度实时曲线，手碰 摆杆可以看作是对系统施加扰动，角度实时曲线和摆杆的实际情况均可看出系 统抗扰动性能良好。图3-1-93.2LQR算法仿真与控制系统设计: 321概述：线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。考虑线性系统的状态方程为：X(t) =Ax(t) B

13、u(t)y(t) = Cx(t) Du (t)找一状态反馈控制律：u(t)二-心，使得二次型性能指标最小化：1 T1 tf TtJxT(tf)Sx(tf) xT(t)Q(t)x(t) utR(t)u(t)dt2 2 Lto其中，x(t)为系统的状态变量；tf、t0为起始时间与终止时间；S为终态约 束矩阵；Q(t)为运动约束矩阵；R(t)为约束控制矩阵。其中Q(t)、R(t)决定了 系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性。为使J最小，由最小值原理得到最优控制为：u*(t) RBTP(t)x(t)式中，矩阵P(t)为微分Riccatti方程：P(t) P(t)A-ATP(t) P(t)BRBTP(

14、t)-Q 的解。如果令终止时间tf :，P(t)为一个常数矩阵，且P(t) =0，因此以上的T1 TRiccatti 方程简化为-卩人 - A P(t) P(t)BR B P(t) - Q = 0。1 t对于最优反馈系数矩阵K =R B P(t)，使用Matlab中专门的求解工具lqr() 来求取K。代码如下：clear;A= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B= 0 1 0 3;C= 1 0 0 0;0 0 1 0;D= 0 0 ;Q11=XX ;Q33=xx ;Q=Q11o 0 0;0 0 0 0;0 0 Q33 0;0 0 0 0;R = 1;K =

15、 lqr(A,B,Q,R)得到计算得到的K =XX XX XX XX把K矩阵的值代入到下面的LQR控制仿真系统中即可以得到系统的的响应 情况。调试时取R = 1,下面就是确定Q11和Q33的值，其中Q11代表小车位置 的权重，Q33代表摆杆角度的权重。3.2.2实验设计：实验具体设计如下，图3-2-1为系统原理图：Googol Linear 1-Stage Inverted Pendulum LQR Control SimutinkLQR Cartfzllw图3-2-1图中的输入是位置的一个阶跃。3.2.3参数调试及仿真：取Q11=10 Q33=10，如图3-2-2可知超调量较小但稳定时间过长

16、。可以使 增强二者的控制作用，取Q11=1000 Q33=1000稳定时间大大缩短大约2.2秒, 但超调量大增约为60% 如图3-2-3 。图3-2-3 适当减小角度的权重，取Q11=1000 Q33=20（调整时间缩短到了 1.8秒 但超调 继续增大，超过了 100%，如图3-2-4 。综合以上调试过程可知该系统可以同时控制角度和位移，但是角度的控制 效果比只控制角度的控制器略差。该控制器比较容易实现对倒立摆的控制，对 Q11和Q33的取值不是很敏感，参数的选取可以根据实际情况进行权衡。324输出实时控制:在固高公司的实验仪器的模块内输入调整好的参数，倒立摆稳定立起来， 实时控制曲线如图3-

17、2-5，上面是位移实时曲线，下面是角度实时曲线，小车 可以左右移动不碰到导轨边缘。图 3-2-53.3频率法仿真与控制系统设计: 331概述：系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，我 们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以 采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数坐标图，伯 德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表示相 角和频率的关系；一种是极坐标图，极坐标图表示的是当co从0变化到无穷大时向量G( j o )的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳定 判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性

18、闭环系统 的绝的稳定性和相对稳定性。3.3.2实验设计及仿真：实验具体设计如下，图3-3-1为系统原理图：Googol Linear 1*Stage Inverted Pendulum Frequency Response Control Simulink图 3-3-1本次频率法设计基于系统的Bode图，可以精确设计系统的性能指标。但涉 及大量计算，因此采用手写完成，下面附上手写设计需要用到的图和代码。101QFrequ&ncy (rad/sec)aQP) os-BLId图 3-3-2o o o o o o1 巾21苗 r - mpdTZIn 宅aEs1G1010Frequency (rad/

19、sec)图 3-3-3Bode Diagram! -ii n i |a !i、ii i System: sysFrequency (rad/sec)： 2S 3MagntiKle (ctB): -0.008371jL 11 L L J 11J J L i L L J IIb 1JL 1 L 1 L 1 U J 1 Li、JLL 1 1 J il I10 10忖103Frequency (rad/sec)图 3-3-4图 3-3-5s鲁常 I4d_ i_ xJ10ato1ID11D310Frequency (raa/sec)图 3-3-6下面是绘制图3-3-6的代码，其他绘制Bode图的代码仿此

20、，不再赘述 num=0.02725;den=0.0102125 0 -0.26705;z=roots (nu m);p=roots(de n);za=z;-8.953;-2.83;pa=p;-89.53; -0.283;k=980;sys=zpk(za,pa,k);bode(sys)图 3-3-720333输出实时控制:在固高公司的实验仪器的模块内输入计算好的零点极点，启动控制电机，倒立摆稳定立起来，实时控制曲线如图 3-3-8，上面是位移实时曲线，下面是角度 实时曲线。由实时曲线图可知倒立摆的角度控制效果和抗扰动性能良好，但是这种利用传递函数控制倒立摆的方法依然无法控制小车位移，需要在小车靠

21、近导 轨边缘的时候轻碰一下摆杆。图 3-3-8第四章：自选控制方法一模糊控制设计4.1模糊控制原理概述:“模糊”是人类感知万物，获取知识，思维推理,决策实施的重要特征。“模 糊”比“清晰”所拥有的信息容量更大，内涵更丰富，更符合客观世界。模糊控 制理论是由美国著名的学者加利福尼亚大学教授Zadeh L A于1965年首先提出，它以模糊数学为基础，用语言规则表示方法和先进的计算机技术，由模糊推理 进行决策的一种高级控制策略。1974年,英国伦敦大学教授MamdaniEH研制成功第一个模糊控制器原理图如图4-1，它充分展示了模糊技术的应用前景。偏差e控制量U图4-1图4-1为一般控制系统的架构，此

22、架构包含了 4个主要部分，即：模糊化、知识库、逻辑判断(推理机)及反模糊化模糊化(fuzzify )将输入值以适当的比例转换到论域的数值，利用口语化变量来描述测量物 理量的过程，依适合的语言值(linguistic value )求该值相对之隶属度，此口 语化变量我们称之为模糊子集合(fuzzy subsets )。将精确的输入量转化为模 糊量F有两种方法： 将精确量转换为标准论域上的模糊单点集。精确量x经对应关系G转换为标准论域x上的基本元素，则该元素的模糊单点集F为uF(u)=1 if u=G(x)uF(u) = Oifu 丰 G(x) 将精确量转换为标准论域上的模糊子集。精确量经对应关系

23、转换为标准论域上的基本元素，在该元素上具有最大 隶属度的模糊子集，即为该精确量对应的模糊子集。(2) 知识库包括数据库(data base)与规则库(rule base)两部分，其中数据库是提 供处理模糊数据之相关定义；而规则库则藉由一群语言控制规则描述控制目标 和策略。模糊控制规则建立在语言变量的基础上。语言变量取值为“大”、“中”、“小”等这样的模糊子集，各模糊子集以隶属函数表明基本论域上的精 确值属于该模糊子集的程度。因此，为建立模糊控制规则，需要将基本论域上的 精确值依据隶属函数归并到各模糊子集中，从而用语言变量值(大、中、小等)代 替精确值。由于各变量取值范围各异，故首先将各基本论域

24、分别以不同的对应关 系,映射到一个标准化论域上。通常，对应关系取为量化因子。为便于处理，将标 准论域等分离散化，然后对论域进行模糊划分，定义模糊子集，如NB方向大的 偏差；NM负方向中的偏差；NS方向小的偏差；ZO=ffi于零的偏差；PS=E方 向小的偏差；PM正方向中的偏差；PB=E方向大的偏差。同一个模糊控制规则库，对基本论域的模糊划分不同，控制效果也不同。具 体来说,对应关系、标推论域、模糊子集数以及各模糊子集的隶属函数都对控制 效果有很大影响。这3类参数与模糊控制规则具有同样的重要性，因此把它们归 并为模糊控制器的参数库，与模糊控制规则库共同组成知识库。NB=S方向大的偏差；NM负方向

25、中的偏差；NS=S方向小的偏差；ZO=近于 零的偏差；PS=E方向小的偏差；PM正方向中的偏差；PB=E方向大的偏差。(3) 逻辑判断模仿人类下判断时的模糊概念，运用模糊逻辑和模糊推论法进行推论，而 得到模糊控制讯号。此部分是模糊控制器的精髓所在。最基本的模糊推理形式(一维)为：前提 1 IF A THEN B前提2 IF A 结论 THEN B其中,A、A为论域U上的模糊子集,B、B为论域V上的模糊子集。前 提1称为模糊蕴涵关系,记为 LB。在实际应用中，一般先针对各条规则进行推 理,然后将各个推理结果总合而得到最终推理结果。(4) 解模糊化(defuzzify )将推论所得到的模糊值转换为

26、明确的控制讯号，做为系统的输入值。目前 常用两种精确化方法：(1)最大隶属度法。在推理得到的模糊子集中，选取隶属度最大的标准论 域元素的平均值作为精确化结果。 重心法。将推理得到的模糊子集的隶属函数与横坐标所围面积的重 心所对应的标准论域元素作为精确化结果。在得到推理结果精确值之后，还应按对应关系，得到最终控制量输出y o4.2倒立摆模糊控制器的设计、调试及仿真: 421设计思想及模糊控制规则的建立：控制倒立摆有四个主要因素，即小车的位置及速度，摆杆的角度及角速度，如果对四个因素都加以考虑，假设对每个论域划分7个模糊子集，只使用一个模糊控制器，则控制规则将多达 7A4=2401条，过于复杂难以

27、实现。如果使 用两个模糊控制器，二者必将产生耦合，增大系统复杂程度和调试的难度，可 能还会降低控制效果。因此忽略次要因素，选择摆杆角度和角速度为系统输入 进行控制器设计。控制规则的制定则采用类似* If (x1 is NB) and (x2 is NB) then (outputl is NB)的模糊控制规则进行控制，参考一些别人的经验对规则进行微调，具体规则 如下：*NBNMNSZOPSPMPBNkNSNBNBNMNM&NSNM1NBNMNMNSNSzoNSNMWVSNSZOPSPSWNM NSNSZOPSPSPMPSNSNSZOPSp$PMPMPMZOZOPSPSPM加PBPRPSPSPM

28、PMPBPBPB图4-2用matlab的fuzzy指令建立模糊控制器如下： 在命令窗口中输入：fuzzy然后回车可得出如下图所示:图4-3模糊控制器设置界面然后对其各个变量进行设置其步骤如下图4-4 :图4-5变量X2的设置如下图4-6所示：图4-6输出量的设置图4-7所示:图4-7模糊规则控制表的设置如下图4-8所示:Rule Editor:： lytfuzzyIfandx1 isx2isKB冃1NBNMNMHS145=ZOZOPSPSPillPMnotnot-ConnectionorThenNBNMnNSzoPSIpmutpurtl isFile Edit View OptionsL If

29、 (xl 瞎 NB) and (x2 is NBfthen (oLriputl is NB) (1)2. If (x1 s NB) and (x2 is NM) thenloutputl is NB) (13. If (x1 s NB) and (x2 is NS) then (outputl is MB) (1)4. If (x1 is NB) and Cx2 is ZO) ttien (outputl is KB)(15 If (x1 s NB) and (x2 is PS) then (outputl is6 If (x! s NB) and (x2 is PM) then (outpu

30、tl is ZO) (1 7. tf (x1 is NB) and (m2 PG) then (output1 ZO) (1)8. If (x! is NM and (x2 to NB) then (outputl i& NB) (1 9 If (xl s NM and (x2 is MM) then (outputl is NB) (110. If (xl is MM) and (x2 is NS) then (oirtputl is NB) (1Delete ruleAdd rule | Change rulePJ Surface Viewer lytfuzzyFileEd it View

31、 OptionsX (input):x1 Y (input):x2亍 Z Cautput):X grids:15Y grids:1：5DUtputlEvaluateR. Input:Plot points:101HelpCtoseReady图4-9Input:I0 oPlat points:m1Maveclefiright downupOpened system lytfuzzy, 49 rules1 1Help|Cliose422模糊控制系统的建立与调试：根据参考文献初步建立的系统框图如图 4-11:图 4-11其中支路是角度信号，支路是角速度信号，将它们一同输入模糊控制器，把输出信号进行放

32、大后作用于用状态空间表示的控制对象（倒立摆），示波器观察控制效果；进行反馈与输入进行比较。这种系统设计看上去符合原理， 但在调试过程中无法得到满意结果，反复查找原因并参考相关文献后发现原因 是信号处理混乱，状态空间方程有四个变量，而我们却把四路信号当成一路使 用，还一厢情愿的以为她是角度信号。因此对框图进行改进，如图4-12所示：Saturation环节用于限幅防止信号超过论域。 而Gain3使用一个2*4的矩阵K乘 以输出信号的4*1矩阵以提取角度和角速度，根据第二章， K=0 0 1 0;0 0 0 1， 输出信号为状态变量x dx d ，相乘正好得到二路信号 d ;但是调 试过程依然无法

33、得到满意结果，最好结果就是一个等幅振荡，如图4-13 :图 4-13其实根据以上分析已经可以找到原因，我们的反馈信号已经是角度和角速 度，但我们却对角速度又进行了一次求导，等于我们的控制变量是角度和角加 速度，就是这样一个疏忽让我们纠结了好久。改进这个bug后我们的最终版本成型，如图4-14所示：图 4-14去掉微分器系统已基本可以使最终值稳定，微调Gain,Gain1和Gain2,增大Gain即增加角度所占权重，减小 Gain1即减小角速度权重，同时增大 Gain2 使控制器更加灵敏，改善控制效果，最终结果如图 4-15 （角度）和图4-16 （位 置）所示，为了简化控制系统位置是无法控制的

34、。需要说明的是状态空间的初始 值为0 0 0.1 0，即初始角度为0.1rad。 Gain,Gain1和Gain2是可以理论计 算的，但是涉及到电机的性能指标，且估计成分依然较多，计算值的控制并不 理想，需要自己的不断调试才能得到满意结果。图 4-15图 4-16可以增加扰动，在系统输出处增加一个角度的阶跃信号0 0 0.05 0，在5s时发生，如图4-17效果如图4-18所示，系统有较好的抗扰动性能。第五章：结束语本次课程设计运用学到的自控原理的知识去解决一个实际问题，非常有意 义。不仅巩固了课堂所学的知识，如PID, LQR频率法，模糊控制等相关理论知 识，而且提高了动手能力和写作能力，为今后的科研打下了基础。掌握了对实际系统进行建模的方法，熟悉利用 MATLAB对系统模型进行仿真，利用学习的 控制理论对系统进行控制器的设计， 并对系统进行实际控制实验，对实验结果进 行观察和分析，非常直观的感受控制器的控制作用。通过一个月的实验的设计， 我还增强了文献检索的能力，知道了怎样能快速的找到自己需要的资料， 并充分 利用网络来扩充自己的知识。在本次课程设计的过程中遇到了一系列的问题， 最 终在同学老师和相关文献的帮助下得到解决，感谢老师和同学的帮助！