一组空气污染数据的主成分分析

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1、一组空气污染数据的主成分分析【说明】下面的多元统计分析练习题摘自 R.A. Johnson等编写的应用多元统计分析(第 五版)，原书为：Richard A. Johnson and Dean W. Wichern. Applied Multivariate Statistical Analysis (5th Ed). Pearson Education, Inc. 2003。我看的是中国统计出版社(China Statistics Press) 2003年发行的影印本。第一题为原书第1.6题，即第1章的第6题，第二题为原书第 8.12题，即第8章的第12题。 第二题用的是第一题的数据。1习题1

2、.6 The data in Table 1.5 are 42 measurements on air-pollution variables recorded at 12:00 noon in the Los An geles area on differe nt days.(a) Plot the marginal dot diagrams for all the variables.(b) Con struct the X , Sn, and R arrays, and in terpret the en tries in R.TABLE 1.5 AIR-POLLUTION DATAWi

3、nd (Xi)Solarradiati on (X2)/ V/ NO(X4)NO2 (Xs)Os (Xe)HC (X?)898721282710743953710343563108852815469142810389052121249847412155572642114478251111138645213946715410336914212737727418103107042117310724181039774191038764177387153164496742132396933953106253144498842763880421311453033523683511023488432763

4、678421111387921710366243983103731723871411073752411284548658436754110243103541692885419102586316122586721318277974925377952862668621114384043652Source: Data courtesy of Professor G.C. Tiao.8.12. Con sider the air-polluti on data listed in Table 1.5. Your job is to summarize these data in fewer tha n

5、 p=7 dime nsions if possible. Con duct a prin cipal comp orient an alysis of the data using both the covarianee matrix S and the correlation matrix R. What have you learned? Does it make any d if fere nee which matrix is chose n for an alysis? Can the data be summarized in three or fewer dime nsions

6、? Can you in terpret the prin cipal comp onen ts?2部分解答2.1部分统计参数禾U用Excel计算的平均值（X ）和标准差Wind Solar radiati onCONONO2O3HCAverage7.573.8571434.5476192.190476210.0476199.40476193.0952381Stdev1.581138817.3353881.23372091.08735743.37098375.56583450.6917466Excel给出的协方差矩阵SSolarWindradiati onCONONO2OsHCWindSola

7、r2.4404762radiati on-2.714286 293.36054CO-0.369048 3.8163265 1.4858277NO-0.452381-1.353741 0.65759641.154195NO2-0.571429 6.60204082.25963721.062358311.09297103-2.178571 30.0578232.7545351-0.7913833.052154230.24093HC0.1 666667q 60884350.1383220.17233561.0192744 0.58049890.4671200Excel给出相关系数矩阵RSolarWi

8、ndGdiatiCONONO2O3HCWind1Solar radiati on-0.1014421co-0.1938030.18279341NO-0.269543-0.0735690.50215251NO2-0.1098250.1157320.55658380.29689811Os-0.2535930.31912370.4109288-0.1339520.16664221HC0.15609790.05201040.16603230.23470430.44776780.15445061从相关系数矩阵可以看出，CO与NO、NO2相关性明显，03与Solar radiationCO相关性明显。后面

9、的主成分分析将CO与NO、NO2归并到一个主成分，将03与Solar radiation归并到 一个主成分，将HC、Wind归并到一个主成分。HC与Wind的相关系数并不高，但从正相关的角度 看，二者的数值倒是最高的。方差极大正交旋转之后，HC与CO、NO、NO2归并到一个因子，因为HC与NO?的相关系数较高，与CO、NO的相关系数高于其他变量。2.2主成分分析之数据未经标准化下面是从相关矩阵R出发，SPSS给出的结果。原始数据未经标准化。所谓从R出发，就是在 SPSS 的 Factor Analysis: Extraction Analysis 选项中选中 Correlation Matri

10、xoSPSS给出的相关系数矩阵(Correlation Matrix),与Excel计算的结果一样。公因子方差(Commonalities )表如下。公因子方差变化于0.5440.795之间，相差不是很大。但是，公因子方差值没有达到0.8以上的，可见每一个变量体现在三个主成分中的信息都不超过80%0特征根与方差贡献(Total Varianee Explained )如下表。可见提取三个主成分可以解释 原来7格 变量的70.384%0主成分载荷矩阵(Component Matrix )见下表。将上表从SPSS中复制到Excel中，进行涂色分类，结果如下表所示。Comp onent123WIND

11、-0.362020.32780c0.70608ASolar radiati on0.31424-0.619970.24631co0.842417-0.00803-0.12466NO0.5772430.51173-0.44671NO20.7612940.2351800.21568Os0.496126-0.667490.17539cHC0.4882570.362460.59369主成分分类如下:第一主成分的主要相关变量第三主成分的主要相关变量CO、NO、NO2oSolar radiati on、O3。第二主成分的主要相关变量在主成分载荷图(Compo nent Plot)中，三个变量分别落入三个不

12、同的主成分代表的区 域。主成分得分表如下。最后一栏对几个典型的样本给出了简单的解释。注意解释的时候看清主成分载荷矩阵中载荷值的正负号。Cases:12f3典型的说明S1).61591-0.8186-0.38418S20.03194-0.36015-0.26343S3034752-0.54481-0.49701S4).2425-0.302931.80367样本4代表的区域Wind、HC污染严重S50.12729-0.91941-0.4042S6).72612-0.192781.21954S72.036860.899821.4607样本7和8代表的区域与CO、NO、NO2污染有 明显的关系S82.

13、573090.77732-0.34124S9).09802-0.817360.30334S100.506640.788030.88735S110.39040.97744-1.48345S120.14485-0.45848-0.27016S131.924770.88883-0.66029S140.506620.631390.91242S150.89378-0.170361.19632S160.66037-0.398620.93758S170.87787-0.36350.3701S180.887331.53060.65731S190.429351.092530.48155S200.7510.924

14、240.11384S210.428261.961331.18659样本21代表的区域Solar radiationv O3污染较小S220.69373-0.097470.51522S230.414840.206811.21242S24 1.162631.39047-2.12097S250.86691-1.703350.91799S260.91899-0.139150.18106S270.09994-0.51948-0.37202S28 1.32458-0.69110.65186S290.104720.39184-1.08681S30 1.85931.379330.6047S310.62672-

15、0.083470.47051S320.142640.649410.72066S330.674211.56899-2.63096样本33代表的区域Wind、HC污染较小S340.24874-1.956810.22088S35 1.714290.39216-0.08554S360.80238-1.13269-0.0517S37 1.00653-1.92662-1.17569样本37和38代表的区域Solar radiation v O3污染严重S381.29486-1.77265-1.32357S391.681451.04272-0.66334S400.480790.49683-1.07633S4

16、10.721220.53042-0.57934S42 1.177760.98919-1.555382.3主成分分析之二一一数据未经标准化下面是从协方差矩阵S出发，SPSS给出的结果。原始数据未经标准化。所谓从S出发，就是在 SPSS 的 Factor Analysis: Extraction 一 Analysis 选项中选中 Covarianee Matrixo公因子方差(Commonalities)表如下。在未经处理的(Raw)公因子方差一栏，其Initial数值都是 原始数据的方差。不过与前面Excel给出的协方差矩阵有所不同，Excel给出的是总体方差，SPSS给出的是抽样方差。例如以W

17、ind的Initial值为例，2.4404762 X42/4仁2.5 ,或 者2.5X 41/42=2.4404762 (对照前面的协方差矩阵)。重标的(Rescaled)结果是Extraction值与Initial值之比。公因子方差的合计结果如RawRescaledIn itialExtractio nIn itialExtractio nWIND2.50.030665110.012266Solar radiati on300.51568300.1336710.9987288co1.52206740.060166610.0395295NO1.18234610.006750210.005709

18、1NO211.3635310.179005910.01575270330.9785133.845942810.1241487HC0.47851340.001667110.0034839合计348.54065304.2578671.1996188特征根与方差贡献(Total Varianee Explained )如下表。在Raw-栏中显示，提取一个主成分似乎可 以解释原来7格变量的87.295%O但重标之后显示的数值却是17.137%。根据公因子方差表和合计结果，重标之前，全部的方差解释为304.25786/348.54065*100=87.295% ;重标之后，全部的方差解释为1.19961

19、88/7*100= 17.137%。主成分载荷矩阵(Component Matrix )见下表。可以看来，由于变量Solar radiation的方差很大，它绝对地控制了第一主成分。2.4主成分分析之三一一数据经过标准化下面是从协方差矩阵S出发，SPSS给出的结果。原始数据经过标准化。可以看到所有 的结果重标前后一样，并且与从相关矩阵R出发计算的结果一样。公因子方差(Communalities)表如下，重标前后的结果一样。特征根与方差贡献(Total Variance Explained )如下表。重标前后结果一样。主成分载荷矩阵(Component Matrix )见下表，重标前后一样。可以

20、看到，第一主成分 的相对重 要性受到标准化的极大影响。结论自然是：如果在极其不同的范围内测量变量，或者测量单位的量纲不同， 变量必须经过标准化。否则，应该从相关系数矩阵出发开展主成分分析。2.5因子分析方差极大旋转数据经过标准化，从任意矩阵出发，在因子分析中进行方差极大旋转（ Varimax），载荷 矩阵如下。载荷矩阵和因子分类结果如下表。Comp orient公因子方差123WIND-0.028414-0.1736280.84030730.7370703Solar radiati0.04301990.7359707-0.0167460.543784co0.70539950.27462-0.3

21、902130.7252709NO0.6450475-0.38278-0.4816890.7946307NO20.81138640.15177760.00379670.6813987030.16603120.8196628-0.1517720.7224481HC0.70546980.07125040.46848940.7222466方差贡献2.09993471.49369621.3332183可以看到，旋转之后三个因子的方差贡献差别缩小了。2.6回答问题What have you lear ned?Does it make any differenee which matrix is chosen for analysis?Can the data be summarized in three or fewer dime nsions?Can you in terpret the prin cipal comp onen ts?