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1、第四章 整环里的因式分解1. 素元、唯一分解本讲中, 总假定 为整环, 为 的商域.1. 整除定义1 设为整环, , 如果存在, 使得则称 整除 , 记作 ; 并称 是 的一个因子, 是 的倍元. 整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质. 整除有下列常用的性质: (1) 如果 , , 则 ;(2) 如果 , , , 则 . 2.相伴 定义2 整环的一个元叫做的一个单位，假如是一个有逆元的元。元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：定理两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位.例因为整数环的单位仅有与-，故任一非零元有个相伴元：与.例有四个单位
2、，-，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元：定义3单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子.素元定义4 设为整环，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元.定理单位与素元的乘积也是一个素元.定理整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是：，这里，都不是单位.推论设，并且有真因子：.则也是的真因子.定义5我们称一个整环的元在中有唯一分解，如果以下条件被满足：(i) (为的素元)(ii) 若同时有（为的素元）则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.例给整环.那么有：(1)的单位
3、只有.(2)适合条件的元一定是素元.首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子：那么但不管，是何整数，或若，则是单位.若，则而为单位.因而是的相伴元.从而只有平凡因子，故是素元.(3)没有唯一分解：我们有(A),故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是的相伴元，因而给出了的两种不同分解从而没有唯一分解.这说明并不是任意整环中的非零和非单位的元都有唯一分解.$2. 唯一分解环定理一个唯一分解环有以下性质：若一个素元能够整除，则有整除或.定理做定整环有如下性质：(i)的每一个非零非单位的元都有一个分解.（为的素元）(ii)的一个素元若能够整除，则有整除或，则一定是一个唯一分解环.定义6元叫做的
4、公因子，如果.定理一个唯一分解环的两个元和在里一定有最大公因子.和的两个最大公因子和只能差一个单位因子：（是单位).推论一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子.的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义一个唯一分解环的元称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.$3. 主理想环引理设是一个主理想环.若在序列里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理设是一个主理想环，那么的任一素元生成一个最大理想.定理一个主理想环是一个唯一分解环.证：我们证明是一个唯一分解环.设且不是零也不是单位.若不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$.的推论，都是的真因子.的这两个真因子中
5、至少有一个不能写成素元的乘积，否则就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，则一定有一个真因子也没有分解.这样，在没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理，这是不可能的，所以一定有分解.即满足$.定理中的条件(i).又设的素元能整除的元乘积，那么这就是说在剩余类环里，所代表的类与o所代表的类相同：由引理，是最大理想，因而由$.的定理，是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或从而或，故也满足$.定理的条件(iii).因而是一个唯一分解环.$4. 欧氏环定义一个整环叫做一个欧氏环，如果(i)有一个从的非零元所作成的集合
6、到全体非负整数作成的集合的映射存在；(ii)任意给定的一个非零元，的任何元都可以写成的形式，这里有或例整数环是一个欧氏环.因为：定理是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数，则任何整数都可写成这里或上面定义中的映射称为欧氏映射.定理每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环.证明 设 为欧几里德环 的任一理想, 为欧氏映射.(1) 如果 , 则 .(2) 如果 , 令则 非空, 且 . 设 , 使得 为 中的最小数, 下证 .任给 , 因为 , 所以存在 , 使得 . 于是, .如果 , 则 , 与 的选取矛盾. 所以, , 则 , 于是 . 由 的任意性可知 . 又 , 所以 ,
7、 从而 .这就证明了, 的任一理想都是主理想, 故 为主理想整环.定理整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理一个域上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环.$. 多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环上的一元多项式环.我们称的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.定义 的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A)的单位是的仅有的单位.(B)一个本原多项式不会等于零.(C)若本原多项式可约，那么且有（表示的次数）引理1 设，那么是本原多项式的充分且必要条件是和都是本原多项式.设是的商域，那么多项式环是唯一分解环.引理2 的每一个
8、非零多项式都可以写成的形式，这里是的本原多项式.如果也有的性质，那么 ，（为的单位）引理3 的一个本原多项式在里可约的充分必要条件是在里可约.引理4 的次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有定理 如果是唯一分解环，则也是唯一分解环. $. 因子分解与多项式的根定义整环的元叫做的多项式的一个根，如果有定理是的一个根的充分且必要条件是整除定理的个不同的元都是的根的充分且必要条件是整除推论若的次数为，则在中至多有个根.定义的元叫做的一个重根，如果能被整除，这里是大于1的整数.定义由多项式唯一决定的多项式叫做的导数.导数适合如下计算规则：,定理的一个根是一个重根的充分且必要条件是整除推论设是唯一分解环.的元是的一个重根的充分且必要条件是：能整除和的最大公因子.
近世代数第四章整环里的因式分解
