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1、天平平衡原理解简易方程的教学实验及分析1广州市天河区教育科学“十一五”规划资助课题（立项批准号：2010X076）邝艳芬广州市天河区华阳小学简易方程安排在小学数学五年级上册，在这之前，他们已经熟练掌握了四则运算的意义、运算顺序和运算定律，并且已经养成了用算术法解决问题的思维定式。然而，在新课程标准实验教材中，解方程不再采用算术法，而是通过天平保持平衡的原理，来寻求对方程的解法，即方程两边同时加上（或减去）相同的已知数以及同时乘以（或除以）相同的已知非零数，左右两边仍然相等。与以前算术方法相比，这是思维上的一次突破，有利于与中学解方程的思路相接轨。为了检验学生对这种思维大转折的适应能力，我们在教
2、学中设计了一系列对比实验，并且针对新课标实验教材中被删去的a-x=b和ax=b两种类型方程，做了一些基于天平平衡法的教学尝试。一、实验设计1、实验内容新课程标准实验教材五年级上册简易方程的教学。包括新课标实验教材中有4种形式的方程：a+x =b、x-a =b、ax=b和xa=b，另外还补充了以前人教版教材中的两种形式：a-x=b和ax=b。2、实验对象广州市华阳小学五年级1-6班，共267名学生。任课教师3名。2个自然班为一组，共分为3个组，每组由1位教师组织教学。3、教学方法第一组只学习算术法解方程，第二组只学习天平平衡原理法解方程；第三组同时学习算术法和天平平衡原理法。4、测试方法采用试卷
3、测试法。本实验测试卷共设6道题，分别代表了6种不同的形式。我们把新课标教材中的4种形式称为A型题，而把补充的两种形式：a-x=b和ax=b称为B型题。测试卷中的A型和B型均为一步计算的简易方程，旨在考察学生对简易方程基本解法的掌握程度。测试题如下：(1) 18X=46 (2) X6.71.6 (3) 52X15(4) X31.5 (5) 40X50 (6) 1.4X7用SPSS statistics统计分析软件对测试成绩进行相关性分析。二、实验结果及分析1、学生对两种方法的偏好性图1 学生对解方程方法选择的偏好性题型A：a+x =b、x-a =b、ax=b和xa=b；题型B：a-x=b和ax=
4、b 为了检验学生对天平原理法的接受意愿程度，我们引导一个组的学生同时学习了算术法和天平平衡法，让他们在解方程时自主选择。评卷时根据答题过程判断学生采用的方法。统计结果表明，大多数学生选择了他们所熟悉的算术法，占了67.0%（图1）。对于小学生而言，四则运算的相关知识早已牢固掌握，然而天平原理却是一个全新的知识架构，基于思维定式的原因，大多数学生选择算术法来解方程是可以理解的。在未受到外界倾向性压力的影响，有33%的学生自主选择了天平原理的方法，这个比例其实已经不小了。这一方面体现了这些学生对这种新思维方法更为感兴趣，另一方面也表明了他们对驾驭这种方法的自信程度。对于A型题和B型题，学生对算术法
5、和天平原理法的偏好程度有着明显的差异。实验结果表明，选择天平原理解A型题的有38.7%，而对于B型题，这个比例下降到了22.6%。B型题的难度明显大于A型题，也许这就是影响学生选择的主要因素。也就是说，在遇到难度大的问题时，学生会很自然地选择他们所熟悉的有把握的方案来应对。2、两种方法对解A类型方程的效果比较新课标五年级上学期教材中，简易方程有a+x =b、a-x=b、x-a =b和ax=b等4种形式。在教学过程中试图通过天平平衡原理，来渗透“等式的基本性质”，但却并没有明确“等式的基本性质”的概念和内容。为了检验这种新的教学方法的效果，我们设置了一组对比教学实验，即一个组学习算术法解方程，另
6、一个组学习天平原理法解方程。A型题测试结果表明，两组学生都能很好地掌握并应用各自所学的方法，得分率分别是97.67%和95.97%（图2），学习算术法的那一组稍高，但统计结果显示二者并无显著性差异。这组实验结果表明，通过天平平衡原理来对小学五年级的学生渗透“等式的基本性质”是可行的，学生完全可以适应这种思维方式的转变。图2 两种方法解简易方程的效果比较A：a+x =b、a-x=b、x-a =b和ax=b等4种形式；B：ax=b和xa=b 2种形式3、天平原理法对B型题的教学尝试B型题指的是a-x=b和ax=b两种形式的方程。在小学阶段，以前一直采用算术法来解简易方程，因此这两种形式的方程并不显
7、得很特别，但是现在新课标要求用天平原理法来解方程，由于学生缺乏一些相关知识（比如有关负数知识），因此在引导学生学习上会有一些障碍，为了克服这些障碍，我们在教学上做了一些新的尝试。我们采用的方法是：（1）引入增减未知数的概念，对于a-x=b，可以在方程的两边同时加上一个未知数x，得到a= b + x，左右两边调换位置转化为x+b =a，此时就把a-x=b转化成了a+x =b的形式；(2)引入乘以（或除以）未知数的概念，对于 ax=b，天平两边同时乘以一个未知数x，得到a= bx，左右两边调换位置得：bx=a，即转化成了ax=b的形式。试卷测试结果表明，对于B型题，学习算术法组的得分率要高于天平原
8、理组，分别是89.53%和79.96%，统计分析显示在0.05水平二者存在显著性差异。因此，对于B型题，算术法显示出了一定的优势。实际上，即使是学习算术法的那一组， B型题的得分率也明显低于A型题，分数分别是97.67%和89.53%，在0.05水平也有显著性差异（图2）。因此，这可能不再是单纯的方法问题了，我们还应该从题型的难度方面加以分析。首先，对于加、减、乘、除四则运算，学生对加法和乘法意义的理解，及计算方法的掌握一般都优于减法与除法，在a+x =b、a-x=b、x-a =b、ax=b、xa=b、ax=b六种形式的方程中，a+x =b属于加法，ax=b属于乘法，无论用哪种方法来解，学生都
9、感觉非常容易。减法的意义是：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，即减法是加法的“逆”运算；除法的意义是：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，即除法是乘法的“逆”运算。由减法和除法的意义可知，学生用算术法来解x-a =b， xa=b，正好体现了“逆”运算的本质，所以学生解这两种类型的方程也觉得很好理解。而对于a-x=b、ax=b，要运用“减数=被减数-差”和“除数=被除数商” 两个关系式，学生对这两个关系式的理解程度一般不及对“被减数=差+减数”“被除数=商除数”的理解程度。因此，相比之下，以上六种类型的方程中，a-x=b、ax=b，难度较大。在用天平原理解以上
10、六种形式的方程时，其中a+x =b、ax=b、x-a =b、xa=b是在等式的两边同时加上（或减去）、乘上（或除以）一个相同的已知数，马上就可以求出x，而对于a-x=b 和ax=b，无法做到通过加上（或减去）、乘上（或除以）一个相同的已知数来解决问题。本实验中我们尝试在天平平衡原理中引入未知数增减或乘除，有一部分学生在理解上有一定的难度，也是情理中的事情。但是，70%以上得分率的测试结果表明，这种尝试还是取的了一定的效果。三、结论通过以上对比实验及结果分析，我们可以得出如下的结论：1、对于小学五年级的学生，通过天平平衡原理渗透等式的一些基本性质是可行的，学生完全能适应这种由四则运算关系式子到等式基本性质的思维方式的转变；2、用天平原理法的学生在解难度较大的方程时得分率低于用算术法的学生，这可能是由于学生对新思维方法驾驭的熟练程度所致；3、对于a-x=b和ax=b，可以在天平原理中引入未知数的增减、乘除来解决，对此，大多数学生是可以接受的。
天平平衡原理解简易方程的教学实验及分析
