保险精算学期末复习题目

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1、日的存款额。1.李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款，（1）在每年10%勺单利下，求1994年1月11日的存款额。（2）在年利率8%勺复利下，求1994年5月解：（1）5000X（1+4X10%）=7000（元）(2) 5000X ( 1 + 10%4.33_ _ _ _=7556.8(元)2 .把5000元存入银行，前 5年的银行利率为8%后5年年利率为11%求10年末的存款累计额。解：5000(1+8%5X(1+11%5=12385(元)3.李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。（1）求在复利 的折现率下计算1990年1月1日的现值。11%F 1990 年 1

2、 月 1日的现值。(2)在 11%解：(1)10000X(1+11%-4=5934.51(元)(元)(2)10000X(1-11%)4=6274.224.假设1000元在半年后成为1200元，求 (2)i ,i,(3)d 。解：1000i(1 -y) 1200；所以i(2)0.4(1;所以i 0.44(1i (m)(1d)1(1(n)d ) nn所以,d(3)(1%)3(1i)10.343351时，证明：dd(n)(n)i i。证明： 因d(n)所以得到,(1d)nnc0C；d(n)Cnd(n)JnC3(d)3 n(n)d(n)；(n)dd(n)m(1em)；eCn2(一)2c3m3mCn4(

3、一)4所以,d(n)m1(1m)i(n)1(n)5所以,(n)n(en即，nln(1i(n)ln(1ni)en1)(一)2mcn3(一)3mC4()4mi(n)n(1n)11i(n)nn1i(n)Cncni(n)Cn所以,i(n)；(n)()2ni(n)6.证明下列等式成立，并进行直观解释:amnamman解：mnA所以，m1VmamanmVanamnmVsn解：amnamVsnimmmn1VVV所以,sn(1i)al(1、mi)(1mi)S,nl(1i)m(1i)n(1i)mn(1i)m所以，Sm(1mi)anmmnm(1i)1(1i)(1i)iSmnSmns-(1i)ma-mnn解：(同上

4、题)略。7.某人今年30岁，其计划每年初存300元，共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额,共能领取20年。假设存款利率在前十年为6%后20年为12%求每年能取的养老金额。“.、20(1i1)101”.、20(1i2)101解：S30S10(1i2)S20i(1i2)ii1i2诉”n-300s-59759.5i所以60夕时存款有30(兀)由此知，X a20S20 ,可得 X=7774.12 (元)8.某单位在20年内每年存入银行 5000元建立职工奖励基金。从存入最后一笔款后的第2年起，每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工,这种奖励形式将永远持续下去。 假设存款的利率

5、为8%求每次能够提取的最大金额。5000 s之。228809.82O所以X 1830479 (元)9.证明:anS1|a_n证明:anan(1 i) 1ans1 annnnn1v1(1i)1(e)1eann-e1sn。-(1i)n1(e)n1en1snl证明：直保10.假设每年第一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增加到一次收付1000元时不在增加,持每年1000元的水平连续收付。假设年利率为12%求这一年金的现值。a100a100(Ia)可1000a19解 100(1 i)1 1。08上卫 i191000 - v9 4362.94 i1.依据生命表的基础填充下表:xlxdxPxq

6、x010001000.90.119001505/61/627501500.80.236003000.50.543001800.40.651201200160x、3.已知lx1000(1120),计算：l0，l120，d33,20p30，30q20；25岁的人至少再活20,最多活25年的概率;25岁的人均存活到80岁的概率。解：101000(1120100011201000(1120120d33l33l34110001202520p30l5030q2012030.3l3012020|5q25145150l251955p25l80l25)383(-)3190.0746464494.若lxcx100

7、000()cxl3544000,求:(Dc的值；生命表中的最大年龄；从出生存活到50岁的概率；15岁的人在4050岁之间死亡的概率。解：占100000(c35c3544000。所以，c=90lx100000(90x90(4)5.90l5050p01o132510q15140150证明并作直观解释:l153。nmqxnpxmpx；证明：nmqxIqxn证明:n|qxlxlxnPXnmpxPxqXn；lxlxlxPxqxnnmpxpxmPx证明:6.(4)证明:PxPxlxlxnpxmpxtdttdtlxPxtPxt)ttPxtPx证明：X0tpxlxxtdtlxlxlxlxXtdtXlxtdll

8、x1dlxXlx(lxXlx)1XXX(4)7.xtPxDlxtlx；tPxl-(XlxDlxtlxDlxlxtxxxx(lx)2Dlxt1xtlxlxDlxtDlxx1xtlxtPx(xt)l-CXlxL)DlxtlxtDlxtlxlxlxttPx分别在死亡均匀分布，死亡力恒定和鲍德希假设下，用课本附表1给出的生命表计算:1q25451q402503。解：1tPx略。8.若l407746l41q25d25l25116.9802.0.00030575495650.157681,计算_140一:4死亡均匀分布假设;鲍德希假设；假设lx1000100X。q40解：4014tq400.0084090

9、68可令t1,1411400.008426834qx-14040.0084445731(1t)qx9.证明在鲍德希规律下,xqn与n无关。s(x)1证明：nqxs(xn)s(xn1)所以，xn与n无关。s(x)1.某人10岁买了定期生存保险，这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金，以附表值计算这一年金现值。2转换函数解：20008102000N1081N10881Mo20000.22775455.5(元)2.证明下列等式成立，并解释其含义。axvpxax1,证明：axNx1NxDxDxDxax1VPxax1axVPxax1；证明：axvpxax1所以，axvpxax1ax:n

10、ax:n(1nEx)证明:ax:n|Nx1(1nEx)工NxNxnaxnax证明：ax:nm证明:ax:nmax:mmVmPxax:mNxn1Dx(1DXnDxNx1Dx(NxmDX”)DxDxNx1ax:n,PxaxDxExNxnDxnExnpxNxn1DxnnvnPxaxnax:mDxNx1Nxm1Dxaxm:nmExNxmPxaxm:n|NxDxmmpxNx1Nxm1Dxaxm：n；DxNx1DxDxax:nmPxax(1i)ax证明：Px1axPxNxpx1NxPx1Nx1Dx1Ex1Dx1VPx1Dx1(1i)ax13.某人在50岁时以50000元的定缴净保费购买了每月给付k元的生存

11、年金。假设购买后次月开始给付,k值。解:12ka502)12k(a50121212)12k(12.266831124)50000k338.624.给付50岁的人每月200元，第一次从60岁开始，共付10年的生存年金转换函数表达式。解：24001010a50)240010E50aZ240010E50(a6024a70)137.以转换函数表达下面变动年金的现值。对（x）第一年末给付1000元，以后每年比上年增加给付500元，当年给付金额达到5000元时，又以每年1000元的幅度递减，直到1000元后保持不变，直到被保险人死亡为止。9_14解：500v500(Ia)x81000v9(Da)x9：41

12、000v14ax14x：ux：8.假设对所有x,有Px（1r）Px,证明以利率i和Px为基础计算的终身年金现值与以i和Px为基础计算的终身年金现值相等。解：以I,Px为计算基础t,1、taxtExvtPx()PxPx111111i,1、tt()(1r)PxPx1Pxt1iPxtir以i、Px计算1raxtExvttPx(-r)tPxPx111t11i1rt(7-)PxPx1Pxt1iPxt1.假设lx1000(1115),i0.1050岁的人投保100000元终身寿险的精算现值。1000解：dxlxlxt1(t1)1151151t1100000A50100000vt1(1t)l50t02.某保单规定，若被保险人在投保后20年内死亡，则在第20年末给付1单位保险金，若被保险人在投保20年以后死亡，则在死亡年年末给付1单位保险金。写出对（x）的保单精算现值的表达式。解:19A”0刊）（vqx）t0t201920v（tqx）201Axt03.某人在30岁时投保了10000元延期25年的定期寿险，求这一保单的精算现值。解:m|Ax:nmnt1vt|qxtmMxmMxDx所以