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1、概率论与数理统计第四、五章练习12345678ACDDDCCC姓名成绩班级、学号、单项选择题(每小题2分，共16分)说明：请将答案直接填入下表中!1.将一枚硬币重复投掷n次，以X与Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于(A)1(B)(C)(D)2.设随机变量X和Y的方差存在且不等于(A)不相关的充分条件，但不是必要条件0,则(B)2D(XY)DX独立的充分条件,DY是X和Y但不是必要条件(C)不相关的充分必要条件3.设X是(A)E(X(C)E(X个随机变量,c)2EX2c)2E(XEX2c)2(D)DX(B)(D)2(独立的充分必要条件0为常数)，则对任意常数c,必有E(X
2、E(X4.设随机变量X和Y独立同分布，方差存在且不为零，记机变量U与V必然c)2c)2UE(XE(XY)2)2VXY,则随(A)不独立(B)独立(C)相关系数不为零5.假设随机变量X(A)PY2X1(C)PY2X1N(0,1),YN(1,4),且相关系数XY(B)(D)PY2X1PY2X1(D)则相关系数为零6.设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则(A)X与Y一定独立(C)X与Y未必独立7.设随机变量X1,X2,1nY1Xi,则ni1(B)(D),Xn(n(X,Y)服从二维正态分布XY服从一维正态分布1)独立同分布，且其方差为令随机变量(A)D(XiY)(B)(C)Cov(Xi,Y
3、)(D)D(XiY)口n8.设Xi，X2，,Xn,为独立同分布的随机变量序列,Cov(Xi,Y)布,(x)为标准正态分布的分布函数，则且均服从参数为D1)的指数分(A)limnnXin1-n(x)(B)limnnXii1-n(x)(C)limnnXii1、n(x)(D)limnnXii1n(x)二、填空题1.设随机变量(每小题2分,X的服从参数为共14分)的指数分布，则PXDX1X02.设随机变量X服从二项在区间1,2上服从均匀分布，随机变量Y0X0,则1X0方差DY-93 .设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PXEX2-e124 .设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验，当p时
4、，成功次数的标5 .设随机变量X1，X2,X3相互独立，其中X1在0,6上服从均匀分布，X2服从正态分布2N(0,2),X3服从参数为3的泊松分布，记YX12X23X3,则DY466 .设随机变量X和Y的相关系数为，EXEY0,EX2EY22,则E(XY)267 .设随机变量X和Y的数学期望分别为2和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,一，一.一，_1则根据切比雪夫不等式P|XY|612三、解答题(每题7分，共49分)1 .设随机变量X服从区间a,b上的均匀分布，EX2,DX3,求条件概率PX0|X2“2【答】a1,b5；233x20x12 .设连续型随机变量X的概率密度为fX(x)，试
5、求:0其他(1)随机变量X的分布函数FX(x);(2)数学期望EX与方差DX;0x0【解】(1)FX(x)x30x11x1323223(2)EX-；EX-，DXEX(EX)一45803.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间(EX)为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)。0y0y【答】F(y)1e50y21y24.设A,B为两个随机事件，且X11P(A) -, P(B| A) P(A|B) 431A发生1B发生一 .，Y 一 .0 A不发生0 B不发生XY； Z X2Y2
6、求：（1）二维随机变量（X,Y）的概率分布；（2）X与Y的相关系数的概率分布。【答】（1）Xr-Ya0102/31/12111/6P1/12(2) XY(3)1屈Z012P2/31/41/125.设随机变量X和Y的联合分布在以点（0,1）,（1,0）,（1,力为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量ZXY的方差。1【解】DZ-18四、综合与应用题（每题10分，共20分）1 .假设一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望
7、利润是多少【解】设一周5个工作日内发生故障的天数为X5UXB（5,0.2）又设一周内所获利润Y（万元），则EY100.3276850.409600.204820.057925.20896（万元）2 .某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。（1）试写出随机变量X的概率分布；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值。【解】（1）设在抽查的100个索赔户中，被盗户数为X,则X可以看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是，因此Xb（100,0
8、.2）,故X的概率分布为：PXiC；000.2i0.8100i（i0,1,2,100）（2）被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件14X30的概率，由中心极限定理得14 100 0.2100 0.2 0.8(2.5)(1.5) 1 0.927P(B) 1,301000.2P14X301000.20.8(2.(5) (1.5)五、证明题(本题10分)1 .对于任意二事件A和B,0P(A)1,0P(AB)P(A)P(B).P(A)P(B)P(A)P(B)称为事件A与B的相关系数。(1)证明：事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零。(2)利用随机变量相关系数的基本性质，证明1。【提示】(1)(2)略；考虑随机变量X和Y：A发生A不发生1B发生0B不发生易见，EXP(A),EYP(B)；DXP(A)P(A),DYP(B)P(B)Cov(X,Y)P(AB)P(A)P(B)
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