大一高数复习资料83557.

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1、高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数O函数基础（高中函数部分相关知识）（）O邻域（去心邻域）（）U （a, 6 ）=x | x -a g（g ）, N - |g ；2 .即对* 0 , mN=g（E）,当nN时，始终有不等式 x.-a e成立， lim X f = ax_）：:第三节函数的极限O x xo时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f X，证明lim f x = AX0【证明示例】；一 J.语言1.由 f（x）Av 名化简得 0 c|xxo cg（ ）,、二 g :2.即对* 0，莎=gW ）,当0収-怡乙时，始终有不等式|f（x）-A*成立， lim f x =

2、AXi0O X ：:时函数极限的证明（）证明lim f xx【题型示例】已知函数 f X ,【证明示例】；-X语言1 .由 f(x)-Av e 化简得 xAg(呂),X g ；2.即对* 0 , EX=g ），当xX时，始终有不等式|f（x）-A名成立， lim f x 二 AX.第四节 无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质（）函数f x无穷小 =lim f X =0函数f x无穷大二lim f x :O无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理二）假设f x为有界函数，g x为无穷小，则lim | f x g x：| 0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f x为无穷大，则 Lx为无穷小；反

3、之，若fx为无穷小，且fx，则fx为无穷大【题型示例】计算：lim f x g I （或x. -）X x01.T|f（x M 函数|f（x、在x=xo的任一去心邻域U（xo ）内是有界的；（T f（x）W M ,.函数 f（x）在 xD 上有界；）2 . lim g x =0即函数g x是x X。时的无穷小；X3xo（lim g x =0即函数g x是x-：时的无穷小；）x_3.由定理可知lim |J x g x =0（xim . ILf x g x =o）第五节极限运算法则O极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式p X、q x商式的极限运算 设：；p（x ）=a

4、xm +aiXmJL +amjq（x ）=b）xn +bixn，+ + bnn ： mn = mn mg X0-0g X0=0, f X =0g X0 = f X0= 0（X）_0 （不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可 去间断点便可求解出极限值，（特别地，当limf g（x）也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值limP3-x-3 x -9【求解示例】解：因x 3x 3= lim 2 limlimx 3 x -9 x 3 x 3 x -3 J3其中x =3为函数f x竽迢 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：0 .x-3 0 x -31 1解：lim limlimxTx2-9

5、匚7 2T2x 6（x -9 ）O连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（如（定理五）若函数fx是定义域上的连续函数，那么，为x 3 ，从而可得11x 36的可去间断点x9【题型示例】【求解示例】第六节极限存在准则及两个重要极限O夹迫准则（P53） （）第一个重要极限：sin x lim1x Xsinx ：x ：tanx 二 lim 如=1xT xx = 3，所以原式lim fX X）卩（X）卜 f 區（X）lim x 0 sinx= lim1xo sin xx（特别地，lim沁）xF X X0O单调有界收敛准则（P57） （）（一般地，lim f x gx = limf x limgx，其中

6、 lim f x 0）2x 3 x1【题型示例】求值：lim42x +1【求解示例】十/2x +1+2 1=limx ；： 2x 12x 12（2 产吟严）2 尸lim 11lim 11 -2x2x 12x 12x 1解：limf（J 2x 12x 121 2 x 1lim 11 -2x1八.2x 122x 1 丁1 % 1i 2产lim 1 +7 , 2x 1r 2x 2 层=e第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较）O等价无穷小（）U sinU tanU arcsinU arctanU In（1+U）IUe -11 22. U 1-cosU2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：lim n

7、1 x xln 1 x2x【求解示例】x2 3x解：因为x 0,即x=0,所以原式=lim ln1 x/xln1 xxTX2 +3x= lim 1 x ln 1 x =愉=恤 口 Jx 0 xx 3 x 0 xx 3 x 0 x 3 3 第八节函数的连续性 O函数连续的定义（）lim f x = lim f x = f x0 XF -X 叮O间断点的分类（P67） （）跳越间断点可去间断点第一类间断点（左右极 限存在）丿（不等）（相等）（特别地，可去间断点能在分式中约去第二类间断点无穷间断点（极限为匈）相应公因式）【题型示例】设函数f（X ）= *r 2xea +x:0应该怎样选择数a使得fx

8、成为在R上的连续函数？【求解示例】if 0 - =e2=e1 =ef af 二a2.由连续函数定义lim f x = lim f x二f 0 =ex_0 十 a = e第九节 闭区间上连续函数的性质O零点定理（）【题型示例】证明：方程 f X =g x C至少有一个根介于a与b之间 【证明示例】1 .（建立辅助函数）函数 x = f x -g x -C在闭区间la,b 1上连续；2. Ta b ：0 （端点异号）3. .由零点定理，在开区间a,b内至少有一点，使得=0，即f g C =0（0 ： ： 1 ）4.这等式说明方程f x二g x C在开区间a,b内至少有一个根 第二章导数与微分第一节

9、导数概念P83) ()x在x=0处可导，求a , b x 0O高等数学中导数的定义及几何意义（ex +1ax十b【题型示例】已知函数 f（x）0 0=e 1 =e 1 =2【求解示例】1 f0 宀,f 0 二a f 0 =b f (0 )=e +1 =2f 0一 - f 0= f 0=b =22.由函数可导定义f-of0-1 a =1,b = 2【题型示例】求y二f x在x二a处的切线与法线方程 （或：过y = f x图像上点|a, f a处的切线与法线方程） 【求解示例】1 . y = f x , y 心=f a2. 切线方程: 法线方程:y_fa=f a x_a_f a第二节 函数的和（差

10、）、积与商的求导法则O函数和（差）、积与商的求导法则（）1 .线性组合（定理一）:（：7二1-） uV特别地，当1时，有（u _v）y_v2 .函数积的求导法则（定理二）：（uvf = u v uv3. 函数商的求导法则（定理三）：u二匸竺，3丿 v第三节反函数和复合函数的求导法则O反函数的求导法则（）【题型示例】求函数fx的导数【求解示例】由题可得fx为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且x=0 ;1 -x2 -12、x2 a2xarcsinx,xO复合函数的求导法则（）【题型示例】设yearcsin厂.厂，求y【求解示例】解：y ： 1.严小.戸 arcs inJx 1*22.e _ x

11、“ arcs in x2 12(e弓_+Vx七arcs in x2 12ex a(earcsin-FT+jx2 怡2 ) IJx2 _1 J2 _x2Jx2 +a2第四节高阶导数FO fn X = fZ x （或与二匚/ ） （） dx dx）_【题型示例】求函数y =1 n 1 x的n阶导数【求解示例】yJ 1 x 4,y = 1x= -11 x门=(-fW+xfyC ） =（_1）nJL （n -1! （1 +x）第五节 隐函数及参数方程型函数的导数O隐函数的求导（等式两边对x求导）（）【题型示例】试求：方程y=x ey所给定的曲线C : y = yx在点1 一 e,1的切线方程 与法线方

12、程【求解示例】由y=x ey两边对x求导即 y =x5；W.ey 化简得 y =1 ey y【求解示例】dx : t dx2: t法线方程：y -1 = - 1 -e x -1 e1 -e1 -e1切线方程：y-1 x-1 e1 -eo参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程茫:;求第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节函数的微分O基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dy = f x dx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理o引理（费马引理）（）O罗尔定理（）【题型示例】现假设函数f x在0,二1上连续，在0,二 上可导，试证明：0,二， 使得 f cos fl： sin

13、 =0 成立【证明示例】1 .（建立辅助函数）令 x = f xsinx显然函数 x在闭区间0,上连续，在开区间 0,二上可导；2. 又I0 =f 0 sin0 =0| p f - jsin ： -0即0二:=03. .由罗尔定理知二-三0,二，使得 f co T sin 二 0成立O拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当x 1时，ex ex【证明示例】1 .（建立辅助函数）令函数f x二ex ,则对-x 1 ,显然函数f x在闭区间l1,xl上 连续，在开区间1,x上可导，并且x =ex ；2 .由拉格朗日中值定理可得，I1,x 使得等式ee1二x 1e成立，又 T e e1，二 e

14、x-e1 xTee x-e ,化简得ex ex，即证得：当x 1时，ex ex【题型示例】证明不等式：当x 0时，In 1 x :： x【证明示例】1 .（建立辅助函数） 令函数f x =l n 1x ,则对-x 0 ,函数f x在闭区间l.0,x 1上连续，在开区间0,二上可导，并且x二丄；1 +x2.由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式In 1 x -I n 1 0 0成立，1 +匚化简得 In 1 x -x，又.；：= l0,xl ,、 1 + 1 f：1 , In 1 x 1 x=x ,1 +匕即证得：当x 1时，ex ex第二节罗比达法则O运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1

15、 . 等价无穷小的替换（以简化运算）2. 判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A .属于两大基本不定型（0,）且满足条件，则进行运算：0 00.f xf xIim 二 Iim :x a g x x a g x（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B . 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0；型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：lim xInxX 丁【求解示例】1xonIn xIn x =lim lim x： 1 L心7x：-aX叫Hx-其中:J R)型（通分构造分式，观祭分母）【题型示例】求值：叫总V【求解示例】解： lim -一0 sinx xx_q x

16、 sinx1x -s in x=limix-si nx = limx9x00limLx 0 x22x 2x【题型示例】求值：limxx 0x -sinx1-cosx0. 1 -cosxsinxlimlimlim0x_0 2x 7 /，x_0 200型（对数求极限法）【求解示例】解：设y二xx,两边取对数得：Iny =1 nxx =xlnxn*x2 *对对数取 Xr0时的极限:lim ln y =lim=lim -lnx-T* J, T 1 l心X型（对数求极限法）-= lim xlim x =0,从而有 lim y =lim ex一0 1x一0x一0 x 02x【题型示例】求值：lim(cos

17、x +sinx 卩lnlim ln y=ex 0e0 =1【求解示例】1ln cosx川sinx解：令y = cosx -sinx x,两边取对数得ln y,/x对 ln y求x 0时的极限，limln y =lim ln csx_sin xT xim cosx-sinx =上邛,从而可得X0 cosx sin x 1 - 000 ln cosx 亠sinx=limL x 0b-丿（X）lim y= lim elny =e=ex Q x 0tanx:0型（对数求极限法）【题型示例】求值：lim 1【求解示例】1-xTX .丿tan x-,两边取对数得ln y =tanx 1 n 11 , lx

18、丿on.In x 不.=-limlimxj1 L xj 1tan x甌0 对In y求x. 0时的极限，lim In y =lim tanxln 丄 x-iT 4（x !型= _|im dx0 sec xtan2 x.sin2 x sinx2sin x cosx -= lim.lim =lim0,x 0 x L x 0 X， x 01lim ln y从而可得 lim y= lim eln y =ex 0e0 =1O运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）01:O00二二0- 0；cdCO通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数

19、运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求）第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性O连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数 f x =2x3-9x2 12x-3的单调区间 【求解示例】1. V函数f x在其定义域R上连续，且可导f x =6x2 -18x 122 . 令 f | x = 6 x -1 j x - 2 = 0 ,解牛得： Xi = 1, X? = 23.(三行表)x(M,1)1(1,2)2（2严）f （X）+00+f (X)匚极 大 值极 小 值匚4. 二函数f x的单调递增区间为 一：,11,2=; 单调递减区间为（1,2）【题型示例】证明：当x 0时，ex x

20、1【证明示例】1 .（构建辅助函数）设 x =exx1，（ x 0）2.: x = ex -10 , （ x 0）x j、： i0 = 03 .既证：当x 0时，ex x 1【题型示例】证明：当 x 0时，In 1 x :： x【证明示例】1 .（构建辅助函数）设 :x =ln 1 x x, （ x 0）12 x 二-1 ： 0 ,（ x 0 ）1+xx7*0 1=03 .既证：当x 0时，In 1 x ： xO连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数 y=13x2-x3的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1. w 2 y = -6x 6 = -6 x -1y -3x x -2 =02.

21、令.解得:I y - -6 x -1 =03. （四行表）X(30)0(0,1)1(1,2)2（2,母）yH0+/+0y+/+/y1(1,3)in54.函数x3单调递增区间为（0,1）,（1,2）单调递增区间为（：,0） ,（2,=）; 函数y=1 3x2x3的极小值在x = 0时取到，为f 0 =1,极大值在x=2时取到，为f 2 =5 ；函数y=3x2x3在区间（：,0）,（0,1）上凹，在区间（1,2） ,（2, ：）上凸；函数y3x2 x3的拐点坐标为1,3第五节函数的极值和最大、最小值O函数的极值与最值的关系（）设函数f x的定义域为D，如果Xm的某个邻域UXmD，使得对-X，UXm

22、,都适合不等式f X ：: f XM ,我们则称函数f X在点xM,f XM处有极大值f Xm ；令 Xm Xm1 , Xm 2, Xm 3,，则函数f x在闭区间l.a,b 1上的最大值M满足：M =maxf a ,Xm1,Xm2,Xm3,x”.，f b /;设函数f X的定义域为D，如果Xm的某个邻域U Xm二D ,使得对-X，U Xm , 都适合不等式f X f Xm ,我们则称函数f （x ）在点xm, f （xm ）处有极小值f （Xm ）；令 Xm *、Xm1, xm2, Xm3，Xmn p贝廿函数f x在闭区间l.a,b 1上的最小值m满足：m=mi ntf a ,Xm1,Xm2

23、, Xm3,., Xmn, f b ?;【题型示例】求函数f x =3x-x3在-1,3 1上的最值 【求解示例】1. v函数f x在其定义域1-1,3 1上连续，且可导 f x 二-3x2 32. 令 f x =-3x-1 x 1 =0 ,解得：为=T,x2 =13. （三行表）x-1(-1,1)1(1,3】厂(X)0+0f (X)极 小 值极 大 值4.又 f -=-2,f 1 =2,f 3=-18 f X max 二 f 1=2, f X min 二 f 3 =8第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质

24、O原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数F x的导函数为F，x，即当自变量X I时，有F x二f x或dF x = f x dx成立，则称F x为f x的一个原函数原函数存在定理：（）如果函数f x在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数 F x使得 F x二f x，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间I上，函数f x的带有任意常数项 C的原函数称为f x在定 义区间I上的不定积分，即表示为：f xdx=F x C（称为积分号，f x称为被积函数，f x dx称为积分表达式，x则称为积分 变量）O基本积分表（）O不定积分的线

25、性性质（分项积分公式）（）| ki f x k2g x dx = ki f x dx k2 g x dx第二节换元积分法O第一类换元法（凑微分）（）（dy f x dx的逆向应用）.ffx xdx= f Fx【题型示例】求宀dxa +x【求解示例】j冷吨.C【题型示例】求a1解：一 dx2Ja +x収 j1+ -2丿【求解示例】1 1解:厂I ”2x 12.2x 1=.2x_1 CO第二类换元法（去根式）（）（d f x dx的正向应用）对于一次根式（a = 0,b R）:t2 b.ax b :令 t =ax b，于是 x ,a则原式可化为t对于根号下平方和的形式（a 0）：,a2 x2 :令

26、 x 二 ata nt （ t ： 一）2 21 1dx =_a 11d 2x 12、2x 1于是t = arcta nx，则原式可化为a sect ； a对于根号下平方差的形式（a 0）：a厂x2 :令xE （-訂石），于是t =arcsin ，则原式可化为a cost ； ab . 、x2 -a2 :令 x = a sect （ 0 ： t ： 3 ）,于是t二arccosa，则原式可化为ata nt ;x【题型示例】求二dx （次根式）“2x +1【求解示例】解：dxtf7； 1 tdt二dt二t C =、2x1 C【题型示例】求 J2x +1x=2t -5 Ltdx :dt.Odx （

27、三角换元）【求解示例】解：、 a2 -x2dx2 x 2 r a2 ! cos2tdt 二自 1 cos2t dtxt :arcs in adx zacosta21a2t si n 2t C t sin t cost C 22 2第三节分部积分法O分部积分法（）设函数U = f X ,v = g x具有连续导数，则其分部积分公式可表示为:udv = uv- vdu分部积分法函数排序次序：“反、对、幕、三、指”O运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：(v * dx = dv )使用分部积分公式： udv二uv 一 vdu展开尾项 vdu二v

28、u dx，判断a.若vudx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案(容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果) ；b若.vudx依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环， 则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求ex x2dx【求解示例】解：ex x2dx 二 x2exdx 二 x2dex =x2ex - exd x2= x2ex -2 x exdx =x2ex -2 x d ex2 xxx2 xxx二x e 2xe 2 edx 二xe 2xe 2e C【题型示例】求ex sin xdx【求解

29、示例】解：ex sin xdx 二-exd cosx 二-ex cosx 亠 icosxd ex =-ex cosx 亠 iex cosxdx = -ex cosx 亠 iexd sin x=-ex cosx exsin x - sin xd exxxx-e cosx e sinx - e sin xdx即：ex sin xdx 二-ex cosx exsin xsinxd exex sin xd =1ex sinx-cosxiC2第四节有理函数的不定积分O有理函数(*设.P X _ p X 二axm a.xm4amQ(x ) q(x )=b0xn +b|Xn4 + bn对于有理函数匕上，当P

30、 x的次数小于Q x的次数时，有理函数 上彳是真分Q(x)Q(x)式；当P x的次数大于Q x的次数时，有理函数 二工是假分式Q（x）O有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）将有理函数啓的分母Q x分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式x a k ；而另一个多项式可以表示为二次质因式 （x2 +px+q j， （ p2 -4q cO）；即：Q x =Qi x Q2 x般地:mx n = m i x丄，则参数m22 b cax bx c = a x x I a a丿则参数p = P, qa a则设有理函数匚冬的分拆和式为：Q(x)P x R xP2 xk2IQ x

31、 1 1 x -ax2 px q其中R(X ) _ A1 十 A2+ + Ak2 .kx-ax-a x -a 1x-aP2 xM“x N“M2x N2212 丄丄22x px q x px q x px q + Mix+Ni- 2 1x2 px q参数5Ak, MM:M;由待定系数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解2【题型示例】求右dx （构造法）2x dx 二x 1【求解示例】X 1x-x 1 % x-1 丄 dxx 1x 11 1 2二 xdx- dxdx x-x In x 1 ： ： C第五节 积分表的使用（不作要求）第五章第六章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质O定积分的

32、定义（）b f X dx =lim f j Xj = Ia 0 j 吕a称为积（f x称为被积函数，f x dx称为被积表达式，x则称为积分变量， 分下限，b称为积分上限，la,b 1称为积分区间）O定积分的性质（） f x dx = 0| kf x dx 二 k & f x dx（线性性质）bbba II k1 f x k2g x dx 二 & a f x dx k2 a g x dx （积分区间的可加性）bcba f X dx = a f X dx c f X dx若函数f x在积分区间la,b 1上满足f x0,则；f xdx 0 ；a（推论一）若函数fx、函数g X在积分区间a,bl上

33、满足f xbbJ f （x dx “ g （x dx ；aa（推论二）f （x脈乞f| f （x jdxaa【题型示例】求【求解示例】解：lim1t20e dt ocosxx测/ edtdx cos _t2x22-1cos xe 0e2xsin xlimx 0cos2 xsin x e2xO积分中值定理（不作要求） 第二节微积分基本公式O牛顿-莱布尼兹公式（）（定理三）若果函数 F x是连续函数f x在区间la,b 1上的一个原函数，则ba f x dx 二 F b - F aO变限积分的导数公式（）（上上导一下下导）ddx ： f tdt f X x f x1 e dtcosx2x2x第三节

34、定积分的换兀法及分部积分法0d . cos2 xosin x e= lim 血L j0.cos2 xcos2 xcosx e+sinx e 2sin xcosxO定积分的换元法（）（第一换元法）：fX x dx：fxx【题型示例】求【求解示例】2 1 1解: dx = 0 2x 122 1 1 _ . -.2L2J1d(2x+* 1 戶？n 十1。1ln 5 T n1 1In 52（第二换元法）设函数f x C La,b丨，函数t满足:a.:-, ,使得 ：二a, =b ；b.在区间I： J或1上，f t，: t连续 贝U： ：f xdxL.t : t dt【题型示例】求 IX_2_dxJ2x

35、+1【求解示例】1333dx1 t解：0 2x 1t2 1t 二 2x1 0,x 2 2 xH TxNt z31 3t2 32 r132t dt 石 i t 3 dt11t32 33x322（分部积分法）bbu x v x dx =u x v x i i v x u x dxavv ab bau xdv X |u X v X ab-.av xdu XO偶倍奇零（*）设f x C-a,a ,则有以下结论成立:若 f -x = f x，贝U ： f xdx=2：f xdx右 f x = - f x，贝y f x dx = 0.a第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要求） 第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求） 第六节反常积分（不作要求）如：不定积分公式dx二arctanx C的证明。很多冋学上课时无法证明，那么1 +x在学期结束时，我给出这样一种证明方法以说明问题：1 tan21tant dt丄1J 2 .2 .sec t cos tdt 二 co$ tdt 二 dtcos21=t C = arctanx C如此，不定积分公式PdxarctanX C也就很容易证明了，希望大家仔细揣 a x a a摩，认真理解最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难免，希望同学们积极指 出，以便互相学习改进。=limx_0exos x sin x cosx 2sin xcosx12e