控制工程基础第三章参考答案

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1、第三章习题及答案3-1.假设温度计可用1传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要Ts11min 时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到 90%所需的时间是多少 ?解：4T1min,T =0.25min1 th(t1 )=1-e T 10.1, t1 = T ln 0.91 t2T ln 0.1h(t2 )=0.9=1-e T，t2trt2 t1T ln 0.92.2T 0.55min0.12. 已知某系统的微分方程为y (t) 3y (t ) 2 f (t ) 3 f (t ) ，初始条件( 0 )1, (0) 2，yy试求：系统的

2、零输入响应yx( t ) ；激励 f ( t )( t ) 时，系统的零状态响应yf ( t ) 和全响应 y( t ) ；激励 f ( t )e 3t( t ) 时，系统的零状态响应yf ( t ) 和全响应 y( t ) 。解： (1)算子方程为：( p1)( p2) y(t )( p3) f (t )yx (t ) A1e tA2e 2 t1 A1A22A12 A2yx (t ) 4e t3e 2t , t0;(2) H ( p)p321h(t)p 23p2p1p2*3t12ty f (t)h(t )(t )(22e2 e)(t )y(t)yx (t)y f(t )( 32e t5 e

3、2t) (t )22(3) y f (t)h(t ) * e 3t(t )( e te 2t ) (t )y(t)yx ( t)y f(t )(5e t4e2t )(t)A14A23( 2e te 2 t ) ( t)3. 已知某系统的微分方程为y (t )3y (t)2 y(t)f (t)3 f (t) ，当激励 f (t ) = e 4t ( t) 时，系统控制工程基础第二章参考答案第1页共28页的全响应 y(t)(14et72 t14 t) (t) 。试求零输入响应32 e6 eyx ( t ) 与零状态响应yf ( t ) 、自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。解：p3212 ,t

4、2tH ( p)p 23 p2p 1ph(t)(2ee) (t ),y f (t ) t e 4 2e ( t)2e 2(t ) d (t ) 2 e t (1 e 3t )1 e 2t (1 e 2t ) ( t)03214t12t2t零状态响应( 6 e2 e3 e ) (t )()yx (t ) y( t)y f ( t)(4e t3e2t )(t)(零状态响应 )强迫响应 :1 e 4 t(t );自由响应 : ( 14 e t7 e 2t) ( t);632y(t )全为暂态 ,不含稳态响应 .4. 设系统特征方程为：s4s3s210s3 0 。试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的

5、612稳定性。解：用劳斯 - 赫尔维茨稳定判据判别，a4 =1， a3=6， a2=12， a1=10，a0=3 均大于零，且有6100041112300610001123602612110620361210663101105120433351215360所以，此系统是稳定的。5.试确定下图所示系统的稳定性.控制工程基础第二章参考答案第2页共28页10s 1s( s1)10( s1)解： (a). G (s)2s10s2 (s21)s11)s(sD(s)= s2 ( s21)10(s1)s321s210s 1Rouths.3110s2211s12101 0s0211系统稳定。10(b). (s

6、)s(s2)s21010(10s 1)102 s101s(s2)D(s)= s2102s 10满足必要条件，故系统稳定。6. 已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)K2，试求系统稳定时， 参数 K 和s(0.01s0.2 s 1)的取值关系。解： D (s) s(0.01s20.2 s1)k 0D(s) s320 s2100s100k 0控制工程基础第二章参考答案第3页共28页Routh : s31100s2200100 ks12000100k020s0100k00k由 Routh 表第一列系数大于0 得k0，即20 (0, k0)K7.设单位反馈系统的开环传递函数为 G (s) ，要求闭环

7、特征根的实部均小于 s(1 0.2s)(1 0.1s)-1 ，求 K 值应取的范围。解： 系统特征方程为K0要使系统特征根实部小于1 ，可以把原虚轴向左平移一个单位，令ws1，即s w 1，代入原特征方程并整理得0.02w 30.24 w 20.46wK0.720运用劳斯判据，最后得0.72K6.2428. 设系统的闭环传递函数为Gc ( s)n2 ，试求最大超调量 =9.6%、峰值时间22n ssntp=0.2秒时的闭环传递函数的参数 和 n 的值。解：% e 12100% =9.6% =0.6t p=2 0.2n1 n=314.19.6rad/s20.6 2t p10.2 19. 设单位负

8、反馈系统的开环传递函数为25G k (s)s( s 6)求（ 1）系统的阻尼比 和无阻尼自然频率 n；控制工程基础第二章参考答案第4页共28页（ 2）系统的峰值时间t p、超调量 、调整时间t S( =0.02) ；25解：系统闭环传递函数s(s6)2525GB ( s)s( s6)25s26s 252516)s( s与标准形式对比，可知2 wn 6， wn225故wn 5 ，0.6又wdwn12510.624t p40.785wd0.6%e 12100% 9.5%100%e 1 0 .62ts41.33wn10.一阶系统结构图如下图所示。要求系统闭环增益K2 ，调节时间ts0.4 s，试确定

9、参数K1, K 2 的值。解由结构图写出闭环系统传递函数K 11(s)sK 1K 2K 1 K2s K 1K 2s11sK1K212 ，得： K2 0.5令闭环增益KK 2控制工程基础第二章参考答案第5页共28页令调节时间 ts 3T30.4 ，得： K115 。K1K211. 设 某 高 阶 系 统 可 用 下 列 一 阶 微 分 方 程 ： T c(t )c( t)r ( t )r ( t ) 近 似 描 述 ， 其 中 ，0(T)1。试证系统的动态性能指标为：TT ； tr2. 2T ； t s3 ln(Tt d0.693 lnT) TT解 设单位阶跃输入 R(s)1s当初始条件为0 时

10、有： C (s)s1R(s)Ts1C (s)s111TTs1ssTs1Ct)h t)1Tet / T(T1) 当 t td 时h(t ) 0.5 1 Te t d / tT1Tt d/ TTt d2e;ln 2 lnTTTt dT ln 2lnTT2) 求 tr （即 c(t ) 从 0.1到 0.9 所需时间 )当h(t )0.91Te t2 / T ;t2Tln( T)ln 0.1TTh(t )0.11Te t1 / T ;t1T)ln 0.9当Tln(TT则trt2 t1T ln 0.92.2T0.13) 求 tsh(ts ) 0.95 1Te ts / TT控制工程基础第二章参考答案第

11、6页共28页tsT ln Tln 0.05Tln Tln 20T 3ln TTTT12. 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。（1）( )52s4234211100D s ssss（ 2）（ 3）（ 4）D( )s53412324232480sssssD( )s52s4s20sD( )s52s424s348s225500ss解（1）( )524234211 10 =0ssssD s sRouth ： S 51211S42410S36S241210S6S010第一列元素变号两次，有2 个正根。（ 2） D (s)s53s412s324s232s48 =0

12、Routh ： S 5S4S3S 2S1123232448312244323480331642431612 48412164480 0辅助方程 12 s248 0,12控制工程基础第二章参考答案第7页共28页S24辅助方程求导：24s0S048系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根s1,2j 2 。（ 3） D (s) s5 2s4 s 2 0Routh ： S510-1S420-2辅助方程2s420S380辅助方程求导8s30S2-2S16S0-2第一列元素变号一次，有1 个正根；由辅助方程2s420 可解出：2s42 2(s1)( s1)( s j )(s j )( )s52s4s

13、2 (s2)(s1)(s1)(s j)(s j)D s（4）( )52424348225500sssssD sRouth ： S5124-25S4248-50辅助方程2s448s250 0S3896辅助方程求导8s396s0S224-50S338/3S0-50第一列元素变号一次，有1 个正根；由辅助方程2s448s2500 可解出：2s448s2502(s1)(s1)(sj5)(sj5)控制工程基础第二章参考答案第8页共28页D( s)s52s424s348s225s50( s2)( s1)( s1)( sj 5)( sj 5)13. 已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试分别求出当输入信号

14、为1(t) 、 t 和 t 2 时系统的稳态误差。 G( s)101)(0.5s1)( 0.1s G (s)7(s3)2s2)s(s 4)( s2解： G( s)10K10(0.1s1)(0.5s1)v0D ( s)(0.1s1)(0.5s1)10 0 经判断系统稳定r (t)1(t)A1ess1K11r (t)tr (t)t 2essess7( s3)K7321 G( s)4284)( s22s2)s(sv1D ( s)s( s4)(s22s2)7(s3)0经判断：系统不稳定。14. 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：GK (s)100s( s 2)求： (1)试确定系统的型次v 和开环

15、增益 K；（ 2）试求输入为r (t)13t 时，系统的稳态误差。解：（ 1）将传递函数化成标准形式控制工程基础第二章参考答案第9页共28页10050G K (s)s(0.5s1)s(s 2)可见， v 1，这是一个I 型系统开环增益K 50；（2）讨论输入信号，r (t )13t ，即 A 1， B 3误差 essAB131 K pKV 10 0.06 0.065015. 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：G K (s)2s2 (s0.1)( s 0.2)求： (1)试确定系统的型次v 和开环增益 K；（ 2）试求输入为 r (t)5 2t4t 2 时，系统的稳态误差。解：（ 1）将传递

16、函数化成标准形式G K (s)21002 ( s 0.1)(s 0.2)s2 (10s 1)(5s 1)s可见， v 2，这是一个II型系统开环增益K 100；（2）讨论输入信号，r (t )52t4t 2 ，即 A 5， B 2, C=4误差 essABC5240 0 0.04 0.041 K pK VK a110016. 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定，图（ a）和（ b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为 1。控制工程基础第二章参考答案第10页共28页若 r (t) 1(t) ， n(t )0 两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2 各需多长时间？当

17、有阶跃扰动 n(t ) 0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。解 （1）对（ a）系统：Ga ( s)K1，时间常数 T 1010 s10 s 11h(T ) 0.632（ a）系统达到稳态温度值的63.2%需要 10 个单位时间；10010010101对（ a）系统： b (s)，时间常数T10s10110s1101101h(T ) 0.632（ b）系统达到稳态温度值的63.2%需要 0.099 个单位时间。（2）对（ a）系统：C (s)1G n (s)N (s)n(t)0.1 时，该扰动影响将一直保持。对（ b）系统：C (s)110 s1n (s)10010s101N ( s)11

18、10sn(t) 0.1 时，最终扰动影响为0.110.001 。10117. 单位反馈系统的开环传递函数4，求单位阶跃响应h(t ) 和调节时间 ts 。G(s)s( s5)解：依题，系统闭环传递函数(s)444T11s25s4(s 1)( s4)11T20.25(s)( s)T1T2C ( s)( s) R(s)4C 0C1C 2s( s 1)( s 4)ss 1 s 4C 0lim s( s) R(s)lim411)( s 4)s0s 0 ( s控制工程基础第二章参考答案第11页共28页C1lim (s1)(s) R( s)lim44s(s4)3s1s 0C 2lim (s4) (s) R

19、(s)41lim1)3s4s0 s( sh(t) 14 e t1 e 4 t33T14 ，t sts T13.3T13.3。T2T118.设下图（ a）所示系统的单位阶跃响应如图（b）所示。试确定系统参数K1 ,K 2 和 a 。解：由系统阶跃响应曲线有h()3t p0.1o o( 43)333.3 o o系统闭环传递函数为K1K 2K 22(s)n（ 1）s2asK1s22n s2nt p120.10.33由n联立求解得33.28o oe1233.3 o onK 121108n由式（ 1）a2n22另外 h()lim s(s) 1limK1K 2K 23s2ass0ss 0K1控制工程基础第

20、二章参考答案第12页共28页19.设角速度指示随动系统结构图如下图所示。若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间t s 是多少？解依题意应取1，这时可设闭环极点为1,21 T0 。写出系统闭环传递函数10K( s)s210s10K闭环特征多项式22D ( s)s210s10Ks1s22s1T0T0T0210T0T00.2比较系数有2联立求解得1K2.510 KT0因此有t s4.75T00.95120. 单位反馈系统的开环传递函数为：G (s)K (s 1)T 0, K 1 的条件下，。试在满足s(Ts 1)(2s 1)确定使系统稳定的T 和 K 的取

21、值范围，并以T 和 K 为坐标画出使系统稳定的参数区域图。解特征方程为：( )23(2)2(1)sK0D sTsT sKRouth ：S 32T1 KT0S22TKT2S1K2TKT42T21KS0KK0控制工程基础第二章参考答案第13页共28页综合所得条件，当K1 时，使系统稳定的参数取值范围如图中阴影部所示。21. 温度计的传递函数为1，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。若Ts1加热容器使水温按10oC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一依题意，温度计闭环传递函数( s)1Ts1由一阶系统阶跃响应特性可知：h(4T )98 o o ，

22、因此有4T1 min ，得出T0.25 min 。视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为(s)1K1 TG (s)Tsv11(s)用静态误差系数法，当r (t)10t 时， ess解法二依题意，系统误差定义为e(t )e (s)E(s)1C ( s)1R(s)R( s)ess lims e ( s) R( s)lim ss 0s 01010T2.5 C 。Kr (t)c(t ) ，应有1 TsTs 1 Ts 1Ts10Ts1 s2 10T 2.5 C22. 系统结构图如图所示。试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。控制工程基础第二章参考答案第14

23、页共28页解局部反馈加入前，系统开环传递函数为G ( s)K pK vK a10( 2s1)s2 (s1)lim G ( s)slim sG( s)s0lim s2G ( s)10s0局部反馈加入后，系统开环传递函数为102s 1s( s1）10(2s1)G ( s)20s( s2s20)s1（s）1KKKplim G (s)s 0vlim sG( s)0.5s 0alim s2G(s)0s 023. 已知单位反馈系统的开环传递函数为: G (s)7(s1)。s( s 4)(s22s2)试分别求出当输入信号r (t)1(t ),t 和 t 2 时系统的稳态误差 e(t)r (t ) c(t )

24、 。解G (s)7( s1)K7 82s2)v1s(s 4)( s2由静态误差系数法r (t)1(t) 时，ess0r (t)t 时，essA81.14K7控制工程基础第二章参考答案第15页共28页r (t)t 2 时，ess24. 系统结构图如图3-59 所示，要使系统对r (t) 而言是 II 型的，试确定参数K 0 和 的值。K ( s1)解G( s)(T1s1)(T2 s1)K (s 1)K0 K ( s 1)(T1s 1)(T2 s 1) K 0 K ( s 1)1(T1s 1)(T2 s1)K (s1)T1T2 s2(T1T2K 0 K )s (1 K 0 K )依题意应有：1K

25、0 K0K 01 K联立求解得T1T2K0K0T1T2此时系统开环传递函数为G( s)K (T1T2 )sKT1T2 s2考虑系统的稳定性，系统特征方程为D (s)T1T2 s2K (T1T2 )sK0当 T1 ， T2 ， K0 时，系统稳定。25. 大型天线伺服系统结构图如图所示，其中=0.707 ， n =15， =0.15s 。当干扰 n(t ) 101(t ) ，输入 r (t) 0 时，为保证系统的稳态误差小于0.01 o，试确定 K a 的取值；当系统开环工作（K a =0），且输入 r (t)0 时，确定由干扰 n(t)10 1(t) 引起的系统响应稳态值。控制工程基础第二章参

26、考答案第16页共28页解（ 1）干扰作用下系统的误差传递函数为E( s)n2 ( s1)en( s)22 n s2)2N (s) s( s 1)(snK a nn(t )10 1(t ) 时，令essnlim s N ( s)s 0得：K a1000（ 2）此时有E(s)C (s)2s(sesse( ) lim sE( s)s 0en (s)lim s10en (s)10s0.01s 0K a2102nN ( s)n2 n s n2 )2 (s22n sn2 )s26. 已知控制系统结构图如图所示，试求：按不加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数n (s) ；当干扰 n(t )1(

27、t) 时，系统的稳态输出；若加入虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数，并求n(t) 对输出 c(t ) 稳态值影响最小的适合K 值。解（1）无顺馈时，系统误差传递函数为控制工程基础第二章参考答案第17页共28页C (s)s5s5n (s)(s1)(s5)20s26s 25N (s)（ 2） cn ( ) lim sn (s)N (s)lim sn (s)s 0s0s5（ 3）有顺馈时，系统误差传递函数为1 20K1C (s)s1s25s520Kn(s)20s26s25N (s)1(s1)( s5)令cn () lim sn ( s)N ( s)lim sn ( s)5 20K =0

28、s 0s0s25得K 0.2527. 试求图中所示系统总的稳态误差。解： (a).e ( s)E( s)1s(0.5s1)R( s)2000.5s2s2001s(0.5 s1)en ( s)E( s)1s(0.5s1)N ( s)2000.5s2s2001s(0.5 s1)ess ess1ess2lim se( s)R(s)lim sen (s)N (s)s0s 0lim ss(0.5s1)1lim ss(0.5s1)0.12s200s0.5s2s2000s00.5ss0s(b).e (s)s1s(s1)21s2s 111)s(s控制工程基础第二章参考答案第18页共28页1s(s1)en ( s)s2s1111)