均值、方差、正态分布

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1、2.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为XX1X2XiXnPP1P2pn均值称E(X) = xipi + X2P2+ xipi+ xPn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2) 方差n称D(X)=舀(xi E(X)2p为随机变量X的方差，它刻画了随机变量 X与其均值E(X)的平 均偏离程度，其算术平方根.D：X :为随机变量X的标准差.2均值与方差的性质(1) E(aX+ b)= aE(X) + b.2(2) D(aX+ b) = a D(X). (a, b 为常数)3. 两点分布与二项分布的均值

2、、方差(1) 若 X 服从两点分布，则 E(X) = _p_, D(X) = p(1 p).若 XB(n, p)，贝U E(X)= np , D(X) = np(1 p).4. 正态分布1 熨/(1) 正态曲线：函数 林 逖)=飞厂e 2 , x( x,+x )，其中卩和c为参数(d0,寸2 nc2 c卩 R).我们称函数 机Cx)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2) 正态曲线的性质： 曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线x=卩对称；1 曲线在x= U处达到峰值CF； 曲线与x轴之间的面积为 1； 当C一定时，曲线的位置由 卩确定，曲线随着_j_J勺变化而沿x轴

3、平移，如图甲所示； 当卩一定时，曲线的形状由C确定，C _越小_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 集中；c_越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.(3 )正态分布的定义及表示如果对于任何实数a, b (ab)，随机变量X满足P(aX b) = ?2如Cx)dx,则称随机变量X 服从正态分布，记作 XN(仏C).正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P( (X +0.682_6; P(1_ 2(XW 卩+ 2 c) = 0.954_4; P( 1 3(Xc+ 1)= P(Xc 1)，则c等于()IA. 1B. 2 C. 3D. 44. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，

4、有放回地任取3件，若X表示取到次品的件 数，贝U D(X) =.5. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为 0.7, 那么他罚球1次的得分X的均值是题型一离散型随机变量的均值、方差【例1】(2013浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.汕总用袋中有20个大小相同的球，其中记上 0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球，3表示所取球的标号.(1)求3的分布列、期望和方差；若 n= a 3+ b，E(n= 1，D(0= 11,试求 a，b 的值.题

5、型二二项分布的均值、方差【例2】(2012四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 (简称系统)A和B,系统A和系 统B在任意时刻发生故障的概率分别为 珀和p.(1) 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为I，求P的值；(2) 设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量3,求3的分布列及数学期望E(3.跟踪训练2假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为 0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为 X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭， 班长就会将关闭的窗户全部敞开， 否则 维持原状

6、不变记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为丫，求丫的数学期望.题型三正态分布的应用【例3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,5 尹 + 2mP2 13由已知，得3m = 3，解得P2=10.6分(3) E的所有可能值为0,1,2,3. 4 448P( = )= 5X 4X 4=换，)，现已知该班同学中成绩在8085分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人.跟踪训练3 在某次数学考试中，考生的成绩E服从正态分布，即 N(100,100)，已知满分为150 分.(1)试求考试成绩E位于区间(80,120内的概率；若这次考试共有2 000名考生参加，试估计

7、这次考试及格(不小于90分)的人数.离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中2 . 1共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为5从乙袋中摸出1个球为红球的概 率为P2.(1) 若m= 10,求甲袋中红球的个数；1(2) 若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是3,求P2的值；设P2 = 5，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次.设E表示摸出红球的总次数，求 E的分布列和均值.思维启迪 (1)概率的应用，知甲袋中总球数为 10和摸1个为红球的概率，求红球

8、. 禾I 用方程的思想，列方程求解.(3)求分布列和均值，关键是求E的所有可能值及每个值所对 应的概率.规范解答解(1)设甲袋中红球的个数为X,23一 5+4- 5X4- 5P（片2）=fx c2x-X5+|x1456x 一 =5X 5125,1 2=J95 = 125,依题意得x= 10X 5 = 4.3分8分P（片3）=2x所以E的分布列为30123P10 分48561924所以 E( 3二ox 1425+ 仆莎 + 2X莎+ 3X莎二5.口2 分求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值.第二步：求每一个可能值所对应的概率. 第三步：列出离散型随机变量的

9、分布列.第四步：求均值和方差.=I r- 1 |=第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值. (2)本题解答中的典型 错误是计算不准确以及解答不规范.如第(3)问中，不明确写出3的所有可能值，不逐个求概 率，这都属于解答不规范.I I方法与技巧1. 均值与方差的常用性质.掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(a3+ b) = aE(3+ b;E( +n 二 E(3+ E( n ；2D(a + b)= a D(3；若 3B(n, p)，则 E( 3二np，D(*np(1 -p).2. 基本方法(1)已知随机变量的分布列

10、求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；已知随机变量3的均值、方差，求3的线性函数 尸a + b的均值、方差和标准差，可 直接用3的均值、方差的性质求解；(3) 如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差 公式求解.3. 关于正态总体在某个区域内取值的概率求法(1) 熟记 P(卩-(XW p+ ， P(卩-2(XW p+ 2，P( ( 3(XW 卩+ 3()的值.(2) 充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x轴之间面积为1. 正态曲线关于直线x=卩对称，从而在关于x=卩对称的区间上概率相等. P(Xa)，P(x 叶a).(3) 3 原则在实际应用中

11、，通常认为服从正态分布N(禺)的随机变量只取(卩3计3之间的值,取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生.失误与防范1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式.2对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差 A组专项基础训练、选择题1.正态总体N（1,9）在区间（2,3）和（一1,0）上取值的概率分别为 m, n,则B. mnX4a9P0.50.1bA.5B. 6 C. 7 D. 83. （2013湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同 样大小的小正方体，经

12、过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的-油漆面数为X,则X的均值E（X）等于（）1266A.125b.5J68小 7C.125D.50.9,现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再X,则X的数学期望为4. 某种种子每粒发芽的概率都为补种2粒，补种的种子数记为A . 100B. 200C. 300D. 4005. 射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为 0.6,现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为（）A. 2.44B. 3.376C . 2.376 D . 2.4二、填空题6 .从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量

13、X的 分布列为X012P17. 已知随机变量E的分布列为P（自k） = 一!, k= 1,2,3,，n,则P（2轧5） =8. 已知某次英语考试的成绩 X服从正态分布N（116,64）,则10 000名考生中成绩在140分以 上的人数为.三、解答题9. 某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予 9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人.(1) 求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2) 设这两人中享受折扣优惠的人数为 g求E的分布列和数学期望.10为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有4名武警2战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为， 2 13, 2.这三项测试能否通过相互之间没有影响.(1)求A能够入选的概率；规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)， 求该基地得到训练经费的分布列与数学期望.