2020-2021高三数学下期中试卷附答案

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1、A.2.A.3.2020-2021、选择题数列an满足an an 11100B. -100高三数学下期中试卷附答案（7）nn ,则数列 an的前20项的和为（）C. -110设数列an的前n项和为& ,若2, Sn , 3an成等差数列，则243B.242C.162D. 110S5的值是（D.243若Sn是等差数列 an的前n项和，其首项a1a1000,a99 a100使Sn0成立的最大自然数门是（）A. 198B.199C.200D.2014.设x, y满足约束条件A.C.5.已知点P x,y是平面区域uuuOPuuuOAA.C.6.A.7.A.8.A.9.y xxy的取值范围是（ xB.D

2、.2,22,2内的动点，点A 1,O为坐标原点R的最小值为M，若已知正项等比数列an的公比为B.3,若亚恒成立，则实数m的取值范围是（B.D.aman9a；C.已知数列an满足a1an2n ,则 a101024B.2048已知等差数列an的前n项和为Sn，C. 10234 9,.9B.C. 6A. 9a 3的最大值为（）B.C. 3S5512n的最小值等于D.D.20474 ,则Sn取最大彳1时的n为D. 4 或 5D.3-21。.等差数列an满足a1000182019的最大正整数n是()0,a2018 a20190,则使前n项和Sn0成立A. 2018B. 2019C. 4036D. 403

3、7xy,其中实数x、y满足x02y0,若z的最大值为6, z的最小值为()A.B. -1C.-2D.-312.设an是首项为a1，公差为-2的等差数歹U,Sn为其前n项和，若S1, S2,S4成等比数列，则a1()A. 8二、填空题13.已知数列an,B. -8C.a1 1, nan 1 (n 1知D.-11 ,若对于任意的a 2,2,不等式亘 3 a 2t恒成立，则实数t的取值范围为 n 114 .设an是公比为q的等比数列，q 1 ,令bn an 1(n 1,2,L ),若数列bn有连续四项在集合53, 23,19,37,82中，则6q=.15 .在平面直角坐标系中，设点 O 0,0 ,

4、A 3,石，点P x, y的坐标满足.3x y 0-LUV ULNUx J3y 2 0,则0A在OP上的投影的取值范围是 y 012n.116 .在数列 an中，an n N* ,又bn ,则数列n 1 n 1 n 1anan 1bn的前n项和Sn为.2 A B -717 .在 ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知4sin cos2C 一,且22a b 5,c ，则 ab 为18 .设x 0 ,则x一心的最小值为.x 119 .某公司一年购买某种货物 600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是.20

5、.如图所示，在平面四边形 ABCD中，AB 衣，BC J3, AB AD,AC CD , AD 3AC ,则 AC 21 .某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产 k量)m万件与年促销费用x万兀，满足m 3(k为常数)，如果不搞促销活动，x 1则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2020年该产品的利润 y (万元)表示为年促销费用 x (万元)的函数；(2)该厂家2020年

6、的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22 .在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足bsin A a cos B 一 . 6(1)求角B的大小；(2)若D为AC的中点，且BD 1 ,求S abc的最大值.23 .在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m 2a 内b,J3c ,向量 rur rn (cosB,cosC),且 m/n.(1)求角C的大小；求y sinA 石sin(B )的最大值. 324 .在 ABC中，内角A, B,C的对边分别是a,b,c,已知A 一, b2 c2 abc a2. 33(1)求a的值；(2)若b 1,求ABC的面积.25

7、.已知a,b,c分别是4ABC的角A, B,C所对的边，且c 2,a2 b2 4 ab .(1)求角C ;(2)若 sin2 B sin2 A sinC(2sin 2A sinC),求 ABC的面积.26 .围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45元/m ,新墙的造价为180元/m ,设利用的旧墙的长度为 x (单 位：元).(i)将y表示为x的函数；(n)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.【参考答案】*试卷处理标记，请不

8、要删除、选择题1 . B解析：B【解析】 【分析】 数列前满足2门1 an ( 1) n ,可得a2k-i+a2k=- (2k-1).即可得出.,数歹U an满足 an i an ( 1)n n , ，a2-i+a2k= (2k 1).贝U数歹U an的前20项的和=(1+3+19)”一1100.2故选：B.本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题.2 . B解析：B【解析】 【分析】 【详解】因为2,Sn,3an成等差数列，所以28n 23当 n 2 时，an Sn Sn 1 1 -an 123an,当 n 1 时，2sl 2 3a1, a133333

9、二an 1-an 二an 1 ,即二an -an 1222222;,即an 1an是首项a12,公比q 3的等比数歹U,ai 1 q52 1 35, 242，故选 B.3. A解析：A【解析】【分析】先根据阚 0 , a99a1000 , a99 ai000判断出a990, a1000；然后再根据等差数列前n项和公式和等差中项的性质，即可求出结果.【详解】a99 a1000 ,1- a99 和 a100 异号;a10,a99a1000,a990,a1000,有等差数列的性质可知，等差数列an的公差d 0,当 n 99,n N * 时，%0；当 n 100,nNW, an 0；Va1a19819

10、8乂 S198-2a99a100198SI99& 队91992199a1000,由等差数列的前n项和的性质可知，使前 n项和Sn 0成立的最大自然数n是198.故选：A .【点睛】本题主要考查了等差数列的性质.考查了学生的推理能力和运算能力.4. A解析：A【解析】 【分析】根据题意，作出可行域，分析乂的几何意义是可行域内的点x,y与原点O连线的斜率,x根据图象即可求解.【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示,T-1Xy的几何意义是可行域内的点x,y与原点O连线的斜率，由x坐标为1,2，所以kOA2,同理，kOB2,所以y的取值范围是x故选：A【点睛】考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思

11、想,属于中等题型本题考查简单的线性规划,5. C解析：C【解析】试题分析：直线x4恒过定点（0,4）,当y0时，约束条件（x对应的可行域如图，则直线uuu OPuuuOAR的最小值为0时,uuuOPuuuOAy(xuuuOB ,y与y轴重合，平面区域xxR的最小值为M 0 ,满足为图中4亚，当m表示的可行域如图，点 P与点B重合时,.y联立(xm(y4)4m、m71 所以5y轴右侧的阴影区域，则0时，由约束条件uuuOP,uuu所以OBR的最小值为局料由综上所述，实数 m的取值范围是2 1I质,解得 - 3考点：简单的线性规划x -V-X【方法点晴】本题主要考查了次不等式组所表示的平面区域、简

12、单的线性规划求最理解题意，作出的最值，试题有定的难度，属于难题.正项等比数列an的公比为3,且aman一 a23m 2a22a23m9a26时取等(m2n)(一 m12n)(2m 2n2n m5(2一 3，一，八，2) 一,当且仅当m 2n 44故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：(1)首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即正、正、三相等”，且这三个条件必须同时成立.(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等.(3)多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件

13、才能取得7. C解析：C【解析】【分析】根据叠加法求结果.【详解】因为 an 1 an 2n ,所以 an 1 an 2n,.98 .1 210一，因此 a10 a10 a9 a9 a8 L a2 a1al 22 L 2 1 1023,选 C.1 2【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题8. B解析：B【解析】由an为等差数列，所以S9S5a5 a3 2d 4 ,即 d 2,值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数6. C解析：C【解析】由 a1 9 ,所以 a

14、n2n 1111令 an2 n 11 0 ,即 n ，2所以Sn取最大彳t时的n为5, 故选B .9. B解析：B【解析】【分析】 根据3 a a 6 9是常数，可利用用均值不等式来求最大值因为6 a 3,所以 3 a 0,a 6 0由均值不等式可得：(3 a)(a 6)当且仅当3 a a 6 ,即a3时，等号成立, 2故选B.【点睛】 本题主要考查了均值不等式，属于中档题10. C解析：C【解析】根据等差数列前n项和公式，结合已知条件列不等式组,进而求得使前n项和Sn0成立的最大正整数【详解】n.由于等差数列an满足a10, a2018a20190, a2018a20190,所以da2018

15、0所以S4036ala403624036a2018a2019201802a2019a20190S4037a1a403740374037022,所以使前Sn0成立的最大正整数n 是 4036.0,且n项和故选：Cn项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题【点睛】本小题主要考查等差数列前11. D解析：D【解析】作出不等式对应的平面区域，由 z=x+y,得 y=-x+z,平移直线y=-x+z ,由图象可知当直线 y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大, 此时z最大为6.即x+y=6.经过点B时，直线y=-x+z的截距最小，此时 z最小.xy6由) 得 A(3,3),xy0;直线y=k过

16、A ,/. k=3.出y 由xk2y30 ,解得 B(-6,3).此时z的最小值为z=-6+3=-3 ,本题选择D选项.点睛：求二元一次函数 z= ax+by(ab w0的最值，将函数 z= ax+by转化为直线的斜截式:bzz .y x ,通过求直线的截距 -的取值间接求出 z的取值.取优斛在顶点或边界取 abb得.12. D解析：D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n项和公式，准确运算，即可求解【详解】由题意，可得等差数列an的通项公式为an a1 (n 1) ( 2) a1 2(n 1),所以 S1 a1,S2 2al 2,S4 4al 12, 2 因为s ,

17、S2 , S4成等比数列，可得(2a1 2)a1(4a1 12),解得a11.故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算 能力，属于基础题.二、填空题13. 【解析】【分析】由题意可得运用累加法和裂项相消求和可得再由不等式 包成立问题可得包成立转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】解：由题 意数列中即则有则有又对于任意的不等式包成立即对于任意的包成立恒成立 解析：(【解析】 【分析】由题意可得an 1ann 1n1n(n 1)1 、一ee, 一，一一，运用累加法

18、和裂项相消求和可得1an-1 ,再由不等式恒成立问题可得【详解】2t恒成立，转化为最值问题可得实数n 1t的取值范围.解：由题意数列an中,nan 1(n 1)an1,即 nan 1 (n 1)an 1则有二ann n(n 1)则有亘n 1an 1 anan nan 1n 1an 1n 1an 2n 212 a2a1a1*)又对于任意的2,2, 232t2ta 2t对于任意的aN* 不等式篙2,2恒成立，2,2恒成立,3 a 2t恒成立,故答案为：(【点睛】1 , ,1本题考查了数列递推公式,涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将nan 114.【解析】【分析】

19、(n 1)an 1变形为包an 1 .n 1 n n n 1【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为 =-9解析：9【解析】【分析】【详解】 考查等价转化能力和分析问题的能力，等比数列的通项，an有连续四项在集合3-54, 24,18,36,81 ,四项 24,36, 54,81 成等比数列，公比为 q6q = -9.215 .【解析】【分析】根据不等式组画出可行域可知；根据向量投影公式可知 所求投影为利用的范围可求得的范围代入求得所求的结果【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知:在上的投影为：本题正确结解析：3,35根据不

20、等式组回出可行域，可知AOP -,6 6;根据向量投影公式可知所求投影为cos AOP,利用 AOP的范围可求得cosAOP的范围，代入求得所求的结果【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知:AOBOA在Ouu上的投影为:5一,AOC 一66uuv OA cos AOP,93cos AOP 2、3cos AOPQ AOBAOPAOCAOPcos AOP,3、32 , 2uwOA cosAOP 3,3本题正确结果:3,3【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解16 .【解

21、析】【分析】运用等差数列的求和公式可得可得由数列的裂项相消求 和化简可得所求和【详解】解：则可得数列的前 n项和故答案为【点睛】本题考 查数列的前项和首先运用数列的裂项法对项进行分解然后重新组合最终达一 ，一4n解析：n 1【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得anbn anan 1解：an,由数列的裂项相消求和，化简可得所求和.则bnanan 1可得数列bn的前n项和Sn.11111 -4n4n 故答案为二nn 1【点睛】本题考查数列的前n项和,首先运用数列的裂项法对项进行分解,然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题.17. 6【解析】试题分析:即解得所以在中

22、考点:1诱导公式余弦二倍角公式;2余弦定理解析：6【解析】o A B试题分析：Q 4sin 2 AB 2cos 2C -24sin2cos2C 24cos2 C2cos2C2 cosCcos2C.24cos C 4cos C 1 0 ,即 2cos C解得cosC所以在ABC 中 C 60.Qc2b22ab cosC ，2ab_ .o2abcos60 ，2b 3ab, ab考点:2531诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理.18.【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不 等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求

23、最值的方法换元法及其应用等知识意在解析：2、3 1【解析】【分析】利用换元法，令t x 1将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】可令t x273 1，由x 0,可得x 1 1.x2x 3x 1当且仅当t故答案为：2串1 .【点睛】 本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力.19. 【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正（即条件要求中字母为正数）定（不等式的另一边必须为定值）等（等号取得 解析：30【解析】 【详解】6009

24、00900 -总费用为4x 6 4（x ）4 2V900 240,当且仅当x ，即x 30时xxx等号成立.故答案为 30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数卜“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等 号取得白条件）的条件才能应用，否则会出现错误.20. 3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理 得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是 两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角解析：3【解析】分析：详解：设 AC x,AD 3x,在

25、直角 ACD 中，得 CD JAD2AC2 2V2x，所以 sin CADCD 2.2AD 3在 ABC中，由余弦定理cos BAC222AB2 AC2 BC22AB ACx2 122x由于 BAC CAD ,所以cos 2BAC sin CAD ,即上义2,整理得3x2 8x 32、2x 3点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要 用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式 时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理; 以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.三、解答题21.

26、(1) y26- x 28(x 0)； ( 2)厂家2020年的促销费用投入 3万元时，厂家x 1的利润最大，为21万元.【解析】【分析】(1)由不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，可求k的值，再求出每件产品销售价格的代数式，则利润y (万元)表示为年促销费用 x (万元)的函数可求.(2)由(1)得y16- x 28,再根据均值不等式可解.注意取等号.x 1【详解】(1)由题意知，当x 0时，m 1,2所以 1 3 k,k 2,m 3 ,x 1每件产品的销售价格为1.5 8 16m元.m所以 2020年的利润 y 1.5 -3mm 8 16m xx 28(x 0);mx 1(2)由

27、(1)知，y-6- x 28 卫(x 1) 29 21 ,x 1x 1当且仅当6- (x 1),即x 3时取等号， x 1该厂家2020年的促销费用投入 3万元时，厂家的利润最大，为21万元.【点睛】考查均值不等式的应用以及给定值求函数的参数及解析式 要注意取等号.题目较易，考查的均值不等式,22. (1) ; (2)昱 33(1)利用正弦定理边角互化思想得出sin B cos B ，再利用两角差的余弦公式可6得出tan B的值，结合角B的范围可得出角 B的大小;uuu(2)由中线向重得出2BD 和定义，并结合基本不等式得出 的最大值.【详解】uur uuuBA BC，将等式两边平方，利用平面

28、向量数量积的运算律ac的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC面积(1)由正弦定理及bsin AacosB 一 得sin Bsin A sin Acos B 6由 A 0,知 sin A0,则 sinB cos B 6立cosB21 sin B ,化间得 sin B V3cosB, 2tan B 飞.又B 0,因此,(2)如下图，由S1.一 acsin B2134r LJ w等式两边平方得UUJ12 4BD uuu2BAUIU2BC umr BCuir BA Iuuu2BC2 2a cuuuBC， uur BAac则ac当且仅当ac时取等号，因此,UU2BA ,3ac，ABC的面积最大值为

29、4【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积 的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决 问题的能力，属于中等题.23. (1) - (2) 2【解析】【分析】(1)转化条件得2sin AcosC J3sin B C ,进而可得cosC ,即可得解； 2一,5_ .八 5(2)由A B 化简可得y 2sinA ，由A0,结合二角函数的性质即可636得解.【详解】it r(1) Q m/n , 2a J3b cosC V3ccosB ,由正弦定理得 2sin AcosC 、3sin BcosC . 3sin C co

30、sB ,2sin AcosC 73 sin BcosC sinC cosB 即 2sin AcosC V3sin B C ,又 B C A , 2sin AcosC . 3sin A ,又 A 0, sin A 0, cosC 2由C 0,可彳# C -.6, 55(2)由(1)可得A B ， B A ,66y sinA 3sin(B )sinA.3sin(5 A ) sinA633sin(- A)sinA 3 cos A 2sin A 3一 57_ .一Q A 0, , A -, , 2sin A -1,2 ,633 63y sinA J3sin(B 一)的最大值为 2. 3【点睛】本题考查

31、了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质， 属于中档题.24. (1)技(2)旦. 2【解析】【分析】3- 3_(1)由b c abc a ,利用余弦te理可得 2bccosA abc，结合A 可得结333果;， ,一r、 一一e1U .一(2)由正弦定理sinB , B -,利用三角形内角和定理可得 26公式可得结果.【详解】(1)由题意，得 b2 c2 a2 Yabc. 3222- b c a 2bccosA.3 . - 2bccosA abc, 3 A , - a 2V3cosA 5/3 . 3 a Ba b1由正弦定理，可得sinB -.sinA sinB2

32、,c冗. ab,.B一6，-1.一冗C冗AB.2S abc - absinC . 22【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题_ u ,C ,由三角形面积2.对余弦定理一定要熟b2 c2 a2记两种形式：(1) a2 b2 c2 2bccosA； (2) cosA ,同时还要熟练2bc掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30, 45o,60o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用25.(1) C试题分析:1)由余弦定理得cosC值，再根据三角形内角范围求角C; (2)由正弦定理将条件化为边的关系:b2 c2 a2 4acc

33、osA,再根据余弦定理得 2a b，代人解得2.3 一，b32,由勾股定理得一,最后根据直角三角形面积公式得2VABC的面积.222试题解析：解：(1)由余弦定理，得 cosC -b2ab22_2a b 2 ab 1 ,2ab 2ab 2又C 0,，所以C,22._由 sin B sin A sinC 2sin2A sinC ,得 sin2Bsin2C sin2A得 sin2Bsin2C sin2A2sin2AsinC ，4sinAcosAsinC ,再由正弦定理得b2 c24accosA,所以 cosA.222b c a.d4ac又由余弦定理，得 cosAb2由，得,222b c a4bc2

34、bc,222 b c a ,得 4ac 2bc,2bca联立b2ab2a所以b2所以所以VABC的面积1S - ac26. (I ) y=225x+236022,33360(xn 0)x（n）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元.【解析】360m2,易得试题分析：（1）设矩形的另一边长为 am,则根据围建的矩形场地的面积为360, 一一，一我们即可得a ，此时再根据旧墙的维修费用为45兀/m ,新墙的造价为180兀/m到修建围墙的总费用 y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式, 利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m则=45x+180 （x-2） +180 2a=225x+360a-360由已知xa=360，得a=,x所以 y=225x+ - x（2）1工 0:二225%十吧二A2显大360三二10800 x二y = 225工+ - -360 10440 .当且仅当225x= 时，等号成立.xx即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440元.考点：函数模型的选择与应用