线性方程组(共12页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上3 线性方程组3.1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式)3.1.1 基本概念 1、方程组 称为含n个未知量m个方程的线性方程组， i)倘若不全为零，则该线性方程组称为非齐次线性方程组； ii)若，则该线性方程组就是齐次线性方程组， 这时，我们也把该方程组称为的导出组， （其中不全为零）2、记 则线性方程组（*）又可以表示为矩阵形式 3、又若记 则上述方程游客一写成向量形式 。同时，为了方便，我们记，称为线性方程组（*）的增广矩阵。3.1.2 线性方程组解的判断1、齐次线性方程组，（n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组，它是一定有解的（至少零就是它

2、的解）， i)那么，当时，有唯一零解；ii)当时，又非零解，且线性无关解向量的个数为n-r.2、非齐次线性方程组 3.1.3 线性方程组的解空间1、齐次线性方程组的解空间 （作为线性方程组的一个特殊情形，在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解的关系，我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间） 定理：对于数域K上的n元齐次线性方程组的解空间W的维数为 ， 其中A是方程组的系数矩阵。那么，当齐次线性方程组 有非零解时，它的每个基础解系所含解向量的数目都等于。2、 非齐次线性方程组的解空间 我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系，那么我们可首先求出非齐次线性方程组的一个解（称其为方程组特解

3、）；然后在求对应的导出组的解空间（设该解空间的基础解系为），则(*)解空间的维数为n-r，且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为： 我们称其为该非齐次线性方程组(*)的通解.3.2 经典题型解析1、已知方程组无解，试求的取值 解：方程组的增广矩阵（初等行变换不影响线性方程组的解） 由于方程组无解或i)当时，方程组又无穷多解；ii)当时，方程组无解综上可得，易错提示：对方程组有解、无解时的条件把握不牢固；在把增广矩阵化为解提醒矩阵的过程中不仔细导致错误。所以，我们在做题的过程中，一定要善于总结，通过练习找到自己的不足点。对于关于线性方程组解的判定、性质以及解的结构失无必要进行总结的，已做到深刻

4、的理解与领悟。2、设A为n阶方阵，且是的三个线性无关的解向量，则下面哪个是的基础解系 ( ) 解：由的基础解系个数为 又因为是的解，所以四个选项中的向量都是方程组的解，而我们只要验证看其是否线性无关即可，现在我们利用矩阵这里工具来进行求解： 因为：所以，向量组线性无关，而其余三个都是线性相关的，故选A。评析：本题解法颇多，只要验证选项中的向量组线性无关即可，但上述方法是较为简单的方法，且不易出错；同时，我们可以看到，在解决一些有关向量组和线性方程组问题时，有时把矩阵这一数学工具拿来运用也未尝不是一种简便！3、设是齐次线性方程组的一个基础解系。而，其中t1，t2是实数，问当t1，t2满足什么关系

5、时，也是方程组的基础解系？解：显然，为的解，下证在线性无关时，t1，t2应满足的关系。设由线性无关知由于线性无关，此方程组只有零解，即故当时，即s为偶数时，s为奇数时，这时为的一个基础解系。4、设齐次线性方程组，试问a为何值时，该方程组有非零解，并求其解。解：方法一对系数矩阵进行初等行变换（1）若，方程组有非零解，其同解方程为故其基础解系为，所以方程组的通解为（为任意常数）（2）若，对矩阵B继续作初等行变换，有当时，方程组有非零解，其同解方程为得基础解系为所以通解为 （k为任意常数）方法二 由于系数行列式故当或时，方程组有非零解。（1）当时，有故方程组的同解方程为由此行基础解系为，通解为（为任

6、意常数）（2） 当时，对系数矩阵进行初等行变换，有故方程组的同解方程为可得基础解系为，故通解为（k为任意常数）5、求下述数域K上的非齐次线性方程组的解空间 解：第一步，求解方程组的特解。为此，先求出它的一般解公式，所以，方程组的一般解为 （其中都是自由变量）由式可以推出方程组的一特解： 第二步，求导出组的一个基础解系。 由于原 非齐次线性方程组的系数矩阵与其导出组的系数矩阵相同，因此，我们只要把原方程组一般解公式的常数项去掉，就可得到导出组的一般解。 （其中都是自由变量）从而得到导出组的一个基础解系 第三步，写出非齐次线性方程组的解空间 评析：本题写出了求解一般非齐次线性方程组的最一般的解法及

7、其步骤，作为线性方程组的最一般解法，我们是必须掌握的。6、已知向量， 是方程组的三个解，求该方程组的解。解：即方程组的系数矩阵为A，则i) 由已知条件知：时相应的齐次线性方程组的两个线性无关的解向量 由 又系数矩阵A有二阶子式 系数矩阵A的秩r(A)因此，由*）与*）ii)由i) 齐次线性方程组基础解系由个解向量构成，即是齐次线性方程组的一基础解系所以，该线性方程组得通解为：易错提示：按常规思路，如果把三个解代入方程组先求其参数，再求通解，则计算是非常繁琐的，在限定时间内是很难达到很好的效果，有时这种方法也是行不通的；而倘若我们对方程组的性质与其解的结构都能够很好的理解，那么当遇到相关类型的题

8、目时也就不至于困惑了。7、问k为何值时，线性方程组，有唯一解，无解，无穷多解？并且，当有解时求出其所有解。解：记线性方程组的系数矩阵为A，即，则 ，i) 当，即且时，方程组有唯一解，我们用克莱姆法则求之，。ii) 当时，方程组的增广矩阵，因此，方程组无解；iii) 当时，方程组的增广矩阵 ，可知方程组有无穷多解，于是 ，令，则通解为，亦即。点评：本题属于含有参数变量的线性方程组问题，这类问题一直都是本章的一个重要考察点，务必要好好把握。8、设有两个4元齐次线性方程组（I）；（II）（1）求线性方程（I）的基础解系；（2）试问方程组（I）和（II）是否有非零的公共解？若有，则求出所有的非零公共解

9、；若没有，则说明理由。解:（1）（I）的基础解系为，（2）关于共公解有下列方法：方法一 把（I）（II）联立起来直接求解，令 由，基础解系为，从而（I），（II）的全部公共解为，（k为任意实数）方法二 通过（I）与（II）各自的通解，寻找公共解。可求得（II）的基础解系为，则，分别为（I），（II）的通解。令其相等，即有 由此得 比较得故公共解为 方法三 把（I）的通解代入（II）中，在为其解时寻求，应满足的关系式而求出公共解。由于，要是（II）的解，应满足（II）的方程，故解出 ，从而可求出公共解为 。评析：本题是关于两个方程组解的讨论，其实考察的也是关系线性方程组的解的结构问题，近几年的考研试题中也常有所涉及，所以还是值得我们注意的。专心-专注-专业