常见函数的泰勒级数展开
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1、泰勒级数的定义:若函数f (X)在点的某一临域内具有直到(n+1 )阶导数,则在该邻域内f (X)的n 阶泰勒公式为:/W 二 /(咼)+ f 筑)匕-知)+-x0)a 十+- X)+ R32! !其中:( +1)!,称为拉格朗日余项。以上函数展开式称为泰勒级数。泰勒级数在幕级数展开中的作用:在泰勒公式中,取:A|1,得:这个级数称为麦克劳林级数。函数f(X)的麦克劳林级数是 X的幕级数,那么这种展开是唯一的,且必然与 f ( X)的麦克劳林级数一致。注意:如果f (X)的麦克劳林级数在点 心的某一临域内收敛,它不一定收敛于f(X )。因此,如果f ( X )在心处有各阶导数,则f ( X)的
2、麦克劳林级数虽然能做出来, 但这个级数能否在某个区域内收敛,以及是否收敛于f ( X)都需要进一步验证。几个重要的泰勒级数。参数 X为复数时它们依然成立。*指数函数和自然对数ln(l + 迟)=於 Vx 1ji=i 几何级数: xn Vx : |t| i1 不 n=O二项式定理:O(1 + z)Q = C(aTn)zn Vx : x X Vt幺(2神oo71 = .兰(-im 缶 secx = 丁、px凸(2即二Z吕 (2n)!亦 iarcsin x = y 上 # 二* x台4咻叭2n + l)2n-l7TVx : 1忑1 V : |a;| 1Vx : |x| 18 (A narctanrc = Y x2+1j2n+lTTSgM 1(1/2xVlk + 1)花盘+2n+l(2n+l)loosinhz = 71=0coshx =-T2no (2司!n=l(2町!v : ll亠 “I(一1尸2切!2n+1sinh x = y d / 矿T1=OJ n!)2(2n+jOOtanh-1 x =,c2n+i 血:创 v 1令 2n + 1朗伯W函数:Vj; : 1x1 -e8 叱)二 71=1
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