泰州市2013～2014学年度第一学期期末考试

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1、20132014学年度第一学期期末考试高三数学试题 (考试时间：120分钟 总分：160分) 命题人： 朱占奎 张乃贵 王宏官 范继荣 审题人： 吴卫东 石志群注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1已知集合，则 2复数（是实数，是虚数单位），则的值为 第5题开始是输出S否n1，S0n3S2S+1nn+1结束3函数的定义域为 4为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用 分层抽样的方法抽取位学生进行调查，该地区小学，初中， 高中三个学段学生人数分别为，则从初中抽取的学

2、生人数为 5已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果的值是 6在中，若，则的值为 7将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数则点数相同的概率是 8如图，在正三棱柱中，为棱的中点若 第8题，则四棱锥的体积为 9以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 10设函数（都是实数）则下列叙述中，正确的序号是 （请把所有叙述正确的序号都填上）对任意实数，函数在上是单调函数；存在实数，函数在上不是单调函数；对任意实数，函数的图像都是中心对称图形；存在实数，使得函数的图像不是中心对称图形11已知在等差数列中，若，N*则，仿此类比，可得到等比数列中的一个正确命题：若，N*，则 12设等差数列的前

3、项和为，若，且，则的值为 13在平面直角坐标系中，两点绕定点顺时针方向旋转角后，分别到两点，则的值为 14已知函数与函数在区间上都有零点，则的最小值为 二、解答题：（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 （本题满分14分）已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）若，求的值.16 （本题满分14分）如图，在四棱锥中，为正三角形，.（1）求证：；（2）若，分别为线段的中点，求证：平面平面.17 （本题满分15分）已知椭圆：和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）当时，弦的长为（1）求圆与

4、椭圆的方程；（2）若点是椭圆上一点，求当成等差数列时，面积的最大值.18 （本题满分15分）某运输装置如图所示，其中钢结构是，的固定装置，AB上可滑动的点C使垂直于底面（不与重合），且可伸缩（当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面处沿运送至处，货物从处至处运行速度为，从处至处运行速度为为了使运送货物的时间最短，需在运送前调整运输装置中的大小. （1）当变化时，试将货物运行的时间表示成的函数（用含有和的式子）；（2）当最小时，点应设计在的什么位置？19 （本题满分16分）设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记（，N*）（1）求使满足对任意实数，都

5、有的最小整数的值（，N*）；（2）设函数，若对，N*，都存在极值点，求证：点（，N*）在一定直线上，并求出该直线方程；（注：若函数在处取得极值，则称为函数的极值点.）（3）是否存在正整数和实数，使且对于N*，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由20 （本题满分16分）己知数列是公差不为零的等差数列，数列是等比数列（1）若（nN*），求证：为等比数列；（2）设（nN*），其中是公差为2的整数项数列，若，且当时，是递减数列，求数列的通项公式；（3）若数列使得是等比数列，数列的前项和为，且数列满足：对任意，N*,或者恒成立或者存在正常数，使恒成立，求证：数列为等差数列2

6、0132014学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21选做题请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分A（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，是的一条直径，是上不同于的两点，过作的切线与的延长线相交于点，与相交于点，（1）求证：；（2）求证：是的角平分线B（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵的一个特征根为，它对应的一个特征向量为（1）求与的值； （2）求C（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）己知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以轴为极轴，为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆是以点为圆心，且过点的圆（1）求圆及圆在平面直角坐标系

7、下的直角坐标方程；（2）求圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值D（本小题满分10分，不等式选讲）已知：，(1)求证：；(2)求证：必做题第22题，第23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22(本小题满分10分) 己知直线与抛物线相交于两点，且）为轴上任意一点，连接并延长与抛物线分别相交于（1）设斜率为，求证：为定值；（2）设直线与轴分别交于，令NMM，若构成等比数列，求的值23(本小题满分10分) 如图，在三棱柱中，底面为直角三角形，顶点在底面内的射影是点，且，点是平面内一点（1）若是的重心，求直线与平面所成角；（2）是否存在点，使且平面平面，若存在，求出线段

8、的长度，若不存在，说明理由20132014学年度第一学期期末考试高三数学参考答案一、填空题1； 2； 3； 4； 5； 6 ； 7； 8； 9； 10； 11； 12 ； 13 ； 14. 二、解答题15.（1）， 2分增区间为； 6分（2）即，所以， 10分或. 14分16.（1）取BD的中点O，连结EO，CO，ABC为正三角形，且CD=CBCOBD，EOBD 4分又，BD平面EOC，平面BDEC. 7分（2）N是AB中点，为正三角形，DNAB，BCAB，DN/BC， BC平面BCE DN平面BCE，BC/平面BCE， 10分M为AE中点，N为AB中点，MN/BE，MN平面BCE，BE平面B

9、CE，MN/平面BCE， 12分MNDN=N，平面MND/平面BCE. 14分BQOF1F2xAPDyl17.解：（1）取PQ的中点D，连OD，OP由，知椭圆C的方程为：， 4分（2）设， 6分的长成等差数列，设，由得， 10分，. 12分易求得椭圆上一点到直线的距离的最大值是，所以的面积的最大值是. 15分18.解：（1）在中， 4分，则， 8分（2） 10分令，则 12分令得，设 ，则时，；时时有最小值，此时. 14分答：当时货物运行时间最短. 15分19（1），. 4分（2） 6分存在极值点 8分在直线上. 9分（3）无解， 10分当时，而当时，单调减，且在上增，上减，恒成立.单调减，而

10、在上在上增，上减，又在上单调减综上所述，存在，满足条件. 13分当时，即或2当时（舍）当时单调减，且时，在上增，上减，而使得在上，在上，在上，在上减，在上增，在上减（舍）综上所述：存在，满足条件. 16分20.（1）证明：，设公差为且，公比为，=常数，为等比数列3分（2）由题意得：对恒成立且对恒成立，5分 对恒成立 7分对恒成立 9分而或或. 10分（3）证明：设不妨设，即. 13分若，满足，若，则对任给正数M，则取内的正整数时，与矛盾.若，则对任给正数T=，则取内的正整数时=，与矛盾.，而是等差数列，设公差为，为定值，为等差数列. 16分附加题参考答案21.A证明：（1）AB是O的直径，AD

11、B=90而BN=BMBNM为等腰三角形BD为NBM的角平分线DBC=DBM. 5分（2）BM是O的切线，AM是CAB的角平分线. 10分21.B.解：（1）由题意得： 5分（2）设 即. 10分21.C.解：（1）M：，对应直角坐系下的点为,对应直角坐系下的点为，N：.5分（2）PQ=MN-3=. 10分21.D.证明：（1），而，当且仅当时取“=”. 5分（2）柯西不等式，由（1）知 ，当且仅当时取“=”. 10分22.解：（1），设A1，B1，同理：5分（2）A1B1：，构成的等比数列，而. 10分23.解：如图以CB、CA分别为x，y轴，过C作直线Cz/BC1，以Cz为z轴（1）T是ABC1重心设面ABC1的法向量为取法向量设TA1与面ABC1所成角为. 5分（2）T在面ABC1内，即.由得设面CAA1C1法向量为取设面TA1C1法向量为取，由平面平面得由解得,存在点T，TC=. 10分高三数学试卷第16页 共4页