2003考研数三真题及解析汇报

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1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题：本题共 6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上设f(X)1X cos X0,0,其导函数在X0,0处连续，则的取值围是(2)已知曲线y3222X 3a X b与X轴相切，则b可以通过a表示为b设 a 0，f(X) g(X)a,若 0 x0,其他，1,而D表示全平面，则I f (x)g(y x)dxdy=D 设n维向量 (a,0, ,0,a)T,a0 ； E为n阶单位矩阵，矩阵 A E T，1B ET，其中A的逆矩阵为B，则a .a 设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z X 0.4，则Y与Z的相关系数为 设总体X服从

2、参数为2的指数分布，X,X2, ,Xn为来自总体X的简单随机样本,则当n1 n时，Yn - X：依概率收敛于n i i二、选择题：本题共 6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号.(1)设f (X)为不恒等于零的奇函数，且(A)在X0处左极限不存在.(C)在X0处右极限不存在.f (0)存在，则函数g(x)丄也()X(B)有跳跃间断点X 0.(D)有可去间断点X 0. 设可微函数f(x,y)在点(x,y)取得极小值，则下列结论正确的是()(A) f(x0,y)在y y处的导数等于零.(B)f(x,y)在y y处的导数大于零

3、(C) f (xq, y)在y yo处的导数小于零.(D) f (xq, y)在y yo处的导数不存ab b设三阶矩阵aba b，若A的伴随矩阵的秩为1,则必有()bb a(A) a b 或 a2b0.(B)a b或a2b 0.(C) a b 且 a2b0.(D)a b且a2b 0.设Pnanananan,qn1,2,，则下列命题正确的是 ()(A)若 an条件收敛，则n 1Pn与qn都收敛n 1n 1(B)若 an绝对收敛，则n 1Pn与qn都收敛n 1n 1b(C)若 an条件收敛，则n 1Pn与 qn敛散性都不定n 1n 1(D)若an绝对收敛，则n 1Pn与 qn敛散性都不定n 1n

4、1设1, 2, s均为n维向量，下列结论不正确的是()kss(A)若对于任意一组不全为零的数k1, k2, ks，都有k1 1k2 2则1, 2, s线性无关(B)若1, 2, s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,ks，都有k1 1 k2 2ks s 0.(C)1, 2, s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)1, 2, s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1=掷第一次出现正面，A2=掷第二次出现正面，A3 =正、反面各出现一次，A4=正面出现两次，则事件()(A) A1, A2, A3相互独立.(B)A2,A3,A4相互

5、独立(C) Al, A2, A3两两独立.(D)A2,A3, A4两两独立.、(本题满分8分)设 f (x)-1,xx sin x (1 x)11-1)，试补充定义f (1)使得f(x)在丄,1上连22四、(本题满分8分)设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足u2. 1 2 2v2 1，又 g(x,y)f匹(x小2 2求一gg .J 22x y五、(本题满分8分)计算二重积分e。2)sin(x2y2)dxdy.其中积分区域 D (x, y)六、(本题满分9分)求幕级数1(2n1)nx2n(x1)的和函数f (x)及其极值.七、(本题满分9分)设F(x) f (x)g(x),其中函数f(x),

6、 g(x)在(，)满足以下条件：f (x) g(x)，g (x) f (x)，且 f(0)0, f(x) g(x) 2ex.(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.八、(本题满分8分)设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)可导，且 f(0)f(1)f(2)3, f(3)1 .试证：必存在(0,3)，使 f ( )0.九、(本题满分13分)已知齐次线性方程组1b)%a2x2a3X3anXn0,盼1(a?b)X2a3X3anXn0,盼1a2x23b)X3anXn0,a2x2a3X3(anb)Xn0,n其中 ai 0试讨论a1,a2, ,an和b满足何种关系时，i

7、 1(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解在有非零解时，求此方程组的一个基础解系十、(本题满分13分)设二次型 f(xx2,X3) XTAXax； 2x； 2x| 2bx1x3(b 0)，中二次型的矩阵 A的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1)求a,b的值；利用正交变换将二次型 f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵、(本题满分13分)设随机变量X的概率密度为f(x)1卄蛭若其畀F(X)是X的分布函数.求随机变量YF(X)的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为1 20.3 0.7而Y的概率密度为f (y)，求随机变量U X Y的概

8、率密度g(u).2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】2【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量【详解】是参变量，x是函数f(x)的自变量OX /.V f/.V fXmoX1 - X8 XXmoH X要使该式成立，必须lim x 10，即卩1.x 0当 x (,0)U(0,)时,f (x)1x cos-1sin -要使f (x)0在x0处连续，由函数连续的定义应有limi f (x)x 0x 1 cos x 2sinf (x) 0xx由该式得出2.所以f (x)在 x0处右连续的充要条件是(2)【答案】4a6【详解】设曲线与x轴相切的切点为(x,0)，

9、则 yx x。0.3x2 3a2，有 3x02 3a2又在此点y坐标为0(切点在x轴上)，于是有x；3a2x0所以b2xo 3a2 x0 x0(x；3a2),xo(3a2x：)2a2 4a4 4a6.(3)【答案】【详解】本题积分区域为全平面,但只有当0 x1,01时，被积函数才不为零,因此实际上只则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可, 需在满足此不等式的区域积分即可.f(x)g(yD2 2a 0(x 1) xdx a221 x 1x)dxdy=a dxdy=a 0dx x dy0 x 10 y x 1【答案】-1AB (Et)(e 1t) = Et 1 T1TT

10、aaaET-T1(T ) t=e t-T 2a TaaaE (11 2a -)TE ,a1于是有 1 2a -0,即 2a2a110,解得a, a1.已知a 0 ,故a1a2【详解】这里而T为n阶矩阵,2a2为数，直接通过ABE进行计算并注意利用乘法的结合律即可由题设，有D(X a) DX，Cov(X,Y a) Cov(X,Y)，又【答案】0.9.【详解】利用方差和相关系数的性质因为Z仅是X减去一个常数，故方差不会变，Z与Y的协方差也不会变，因此相关系数也不会变.Cov(Y,Z) Cov(Y,X 0.4) E(Y(X 0.4) E(Y)E(X 0.4)E(XY) 0.4E(Y) E(Y)E(X

11、) 0.4E(Y)E(XY) E(Y)E(X) Cov(X,Y),且 D Z D X .又Cov(Y,Z) Cov(X,Y)，所以XY 0.9.Cov(Y,Z)Cov(X,Y).D Y D Z D X DV1【答案】一2【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X1,X2, ,Xn ,当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：1 nP 1 n-Xi - EXi(n ).n i 1 n i 1【详解】本题中x2,x；, ,x2满足大数定律的条件，且2 1 1 21EX i2DX i(EXi) =-(2)2，因此根据大数定律有1Yn-nX i2依概

12、率收敛于1 n2 1 E Xini 1n i 1i 2二、选择题(1)【答案】(D)【详解】方法1：直接法：由f (x)为奇函数知，f (0)0;又由 g(x) f(x)，知 g(x)在g(x)的连续性，求函数x 0处没定义，显然 x 0为g(x)的间断点，为了讨论函数g(x)在x0的极限.f (0)存在,li ( ) li f(x) li f (x)f(0)导数的定义limg(x) limlinx0x 0 x x 0x 0故x 0为可去间断点.1,x0,x0,可排除(A) (B) (C)三项.0,x方法2：间接法：取f(x) x，此时g(x)=x【答案】(A)【详解】由函数f(x, y)在点

13、(x,y)处可微，知函数f (x,y)在点(x,y)处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得f (x, y)在点(X。, y)处的两个偏导数都等于零.从而有df (x),y)dyy y。0(x,y)(冷，丫0)选项(A)正确.【答案】(B)【详解】由Pnanan an-,qn-,知 0Pnan,0qnananan绝对收敛，则1an1收敛.再由比较判别法,Pn与qn都收敛，后者n 1n 1与qn仅差一个系数，故n 1qn也收敛，选(B).【答案】（C）【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足的条件.【详解】方法1:根据A与其伴随矩阵A秩之间的关系nrAnr

14、 A1rAn10rAn1知秩（A）=2，它的秩小于它的列数或者行数，故有abb1bb1bbAbab(a 2b)1ab(a 2b)0a b0bba1ba00a b(a 2b)(a b)20有a2b 0 或;a b-当a b时，bbb 2 11311bbbA bbb000bbb000显然秩A 12 ,故必有ab且a2b 0.应选(C)n r A n方法2：根据A与其伴随矩阵 A秩之间的关系，r A*1 r A n 1，0 r A n 1知 r A 1 , rA2.对A作初等行变换abb2 11ab3 11bA babb a a b0bbab a0a b当a b时，从矩阵中可以看到A的秩为1,与秩

15、A 2，不合题意（排除（A）、（B）故a b，这时abb 2 baabba 2bbb3 b aAb aa b01100101 2b a0a b1011 3 001故a 2b 0，且a b时，秩（A）=2，故应选.【答案】（B）【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式应注意是寻找不正确的命题.【详解】（A）：若对于任意一组不全为零的数k1,k2, ,ks，都有k1 1 k2 2ks s 0 ,则1, 2, s必线性无关因为若1, 2, s线性相关，则存在一组不全为零的数k1,k2, ,ks ,使得ki i k2 2ks s 0，矛盾. 可见（A）成立.

16、（B）：若1, 2, s线性相关，则存在一组（而不是对任意一组不全为零的）数ki,k2, ,ks，都有 ki 1 k2 2ks s 0- （B）不成立.（C）1, 2, , s线性无关，则此向量组的秩为 s ；反过来，若向量组1, 2, , s的秩为s，则1, 2, s线性无关，因此（C）成立.（D）1, 2, , s线性无关，则其任一部分组线性无关，则其中任意两个向量线性无关，可见（D）也成立.综上所述，应选（B）.【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：若存在一组不全为零的数k1, k2, ,ks,使得k1 1 k2 2ks s 0成立，贝V 1, 2, , s线性相关.其逆否命

17、题为：若对于任意一组不全为零的数 k1, k2, ,ks，都有k1 1 k2 2ks s 0 ,则i, 2, , s线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.【答案】C【分析】（1） A, B两事件相互独立的充要条件：P AB P A P B（2）代B, C三事件相互独立的充要条件：（i） A,B,C 两两相互独立；（ii） P ABC P A P B P C1111【详解】方法1 ：因为pa -,p a.-, PA - ,P Ai,且222441111P AA2- ,PAA -, p 打A -,PAA-,p AAA0,4444可见有PAA papa ,PAA

18、pap A3 , p A2A3 papa ,PAA2A3PA,PA2PA3, PA2A4PA2PA4故A, A2, A3两两独立但不相互独立；A2, A3, A4不两两独立更不相互独立，应选(C).方法2：由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立.可见(A)不正确，因为如果正确，则(C)也正确，但正确答案不能有两个；同理，(B)也不正确.因此只要检查(C)和(D)1 1 1P A2A3A4P OPAPAPA,2 4 4故(D)错，应选(C).1【详解】为使函数f(x)在!,1上连续，只需求出函数f(x)在x 1的左极限lim f(x),然后定义f (1)为此

19、极限值即可.limx 11sin x定义1呵一x 1 sin x则当xlim f (x)x 1limu 0limu 0limu 0时,limu 0(1 x)0，所以sin (1 u)uusin (1 u)u sin (1 u)f(1)limx 1u (sin cos u cos sin u)u sin (1 u)洛1 lim02sin (1 u)0=】(1 x) sin x(1 x)sin1 limu 0cos (1 u)2 2uu sin (1 u)u sin u从而有lim f (x)x 1f(1), f(x)在 x 1 处连续.又 f (x)在-,1)21上连续，所以f(x)在?1上连续

20、.四【详解】由复合函数 z f (x,y), (x,y)的求导法则，得从而所以gf (xy)xu xf (xy)2f2 2f2_g2y2f2 2fx 2u2g2 yf 1(x2 y2)vx扣2 y2)2f2f2fv22f2xyu vv22f2f2xyu v(x2yVu(xv22f2fy2) v2(x2v2y2)(I、)=x v五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算.作极坐标变换：设 x r cos , y r sin ，有Ie(x y )sin(x2Dy2)dxdy eD2 rdr 22 02ed00 e sinr记Aetsin tdt，则0Ae tsin tdte td

21、 cost00e1etdsi nte0因此A!(1e ) , Ie (1 e )22(x2 y2)e sin(x y )dxdyt r2 r 222td e sin r dr e e sin tdt.0 0e t coste t costdt001 et si nte t sin tdt = e1 A.00-(1e ).2六【分析】(1)和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即可得和函数；或者先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数本题可直接采用后者.(2)等比级数求和公式xn 1 X X2 川 xn 卅 d ( 1 x 1)2n【详解】先对和函数f(x) 11)n 求导

22、2nf (x)n 1n 2n 11) xn 2n(1) x1x ( 1)n 0n 2nx2、n(x )x0f(t)dt2dtf(x)f(0)bn(12x2)x1x2对上式两边从0到x积分由f (0)1 ,得f (x) 1 丄1 n(1 x2)2(x1).为了求极值，对f (x)求一阶导数,f (x)2x1 x2x_1 x2令f (x)0,求得唯一驻点x 0 .由于1 x2f(x)吋,f(0)且极大值为f (0)1 .由极值的第二充分条件，得f (x)在x 0处取得极大值,七【分析】题目要求F(x)所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表

23、示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可.【详解】(1)方法1：由F(x) f(x)g(x)，有F (x) f (x)g(x) f (x)g (x) =g2(x) f 2(x)f(x)g(x)2 2f(x)g(x)=(2ex)2 2F(x)可见F(x)所满足的一阶微分方程为F (x)2F(x) 4e2x.相应的初始条件为F (0) f (0) g(0)0 .方法 2： 由 F(x) f (x)g(x)，有F (x) f (x)g(x) f (x)g (x)=f (x)2 g (x)2f(x)g(x)22f(x)g(x)又由 f(x) g(x) 2ex.有 f (x) g (x) 2

24、ex, f (x) g(x) , g (x) f (x)，于是F (x) 4e2x 2f (x)g(x) 4e2x 2F(x)可见F(x)所满足的一阶微分方程为F (x)2F(x) 4e2x.相应的初始条件为 F(0)f(0)g(0)0(2)题(1)得到F(x)所满足的一阶微分方程，求F(x)的表达式只需解一阶微分方程.又一阶线性非齐次微分方程 dy P(x)y Q(x)的通解为dxP(x)dxP(x)dxy eQ(x) e dx C所以/2dxF(x)e4 2x2dx 14e e dxC=e2x 4e4xdx C = e2x Ce 2x将 F (0)0代入上式，得01 C,C1.所以F (x

25、) e2x e2x八【分析】题目要证存在定理要求函数在某闭区间连续,(0,3)，使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理.而罗尔且端点处函数值相等.题目中已知f(3) 1 ,只需要再证明存在一点c 0,3)，使得f (c)1f (3)，然后在c,3上应用罗尔定理即可.条件f(0)f(1) f (2)3等价于丄0ff1问题转化为1介于f(x)的最3值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】方法1 :因为f(x)在0 , 3上连续，所以f (x)在0 , 2上连续，则在0 , 2上必有最大值M和最小值m(连续函数的最大值最小值定理)，于是m f (0) M , m f (1) M , m f (2

26、) M 三式相加3m f (0) f (1) f (2) 3M.f (0) f (1)f(2)从而m1 M.3因为f(c)f (c)f(0) f(1) f(2) 13f(3) 1 ,且f(x)在c,3上连续，在(c,3)可导，由罗尔定理知，必存在 (c,3)(0,3)，使 f ( ) 0.方法2 :由于f (0)f (1) f (2)3，如果f(0), f(1), f (2)中至少有一个等于1,例如f(2) 1，则在区间2,3上对f(x)使用罗尔定理知，存在(0,2)(0,3)使f ( ) 0.如果f (0), f(1), f(2)中没有一个等于1，那么它们不可能全大于1,也不可能全小于1 即

27、至少有一个大于1，至少有一个小于 1，由连续函数的介值定理知，在区间(0,2)至少存在一点使f( ) 1.在区间,3对f (x)用罗尔定理知，存在(,3)(0,3)，使 f ( )0.证毕.九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】方程组的系数行列式a1 ba2a3a1a2 ba3Aa1a2a3ba1a2a3nbaii 1nbaii 1nbaii 1*an bnbaia2a3III ana2ba3I

28、II ana2a3 b1IIIan4I4fea21a341Hl an b(1)n由 aii 1n(bi 1(bi当b 0时,a1x1aja)a?X2a2a2 ba2a2a2bas00可知，ai(i 1,2,a3a3a3a3IIIaii 1ananIIIan0an= bn1(bna).10时，秩A方程组仅有零解.原方程组的同解方程组为anXn0.,n）不全为零.不妨设印得原方程组的一个基础解系1( ,1,0,0/，2( ,0,1,0/，, n ( ,0,0,1)T.aaa1n 当bai时，A 0.这时b 0,原方程组的系数矩阵可化为i 1nIIIa1aii 1a2a3ana1na2aii 1as

29、IIIanAa1*a2inasaii 14IIIang41印a24asIII4nanai 1ai将第1行的（1）倍 加到其余各行|ai 1nai 1nai 1a2naii 1a3IIIIIIIIIHIannaii 1从第2行到第n行aia2a3IIIan同乘以丄倍aiHI将第i行的（aj倍 加到第1行，i 2,3JH,n由此得原方程组的同解方程组为X2X1，X3X1，,Xn原方程组的一个基础解系为(1,1, ,1)T.十【分析】 特征值之和等于 A的主对角线上元素之和，特征值之积等于A的行列式，由此可求出a,b的值；进一步求出 A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），

30、然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】（1）二次型f的矩阵为A020.设A的特征值为i（i 1,2,3），由题设3a11a22 a33a 2( 2)1 ,a0b12 3I A|0204a 2b212.b02解得a 1,b2.（2）求矩阵A的特征值,令102E A0202(2) (3)0,202得矩阵A的特征值122,33.1 0 2对于122,解齐次线性方程组（2E A）x 0 ,系数矩阵为000，得204基础解系1(2,0,1)T，2(0,1,0)T.402对于33，解齐次线性方程组 （3E A）x 0,系数矩阵为050 ，得201基础解系3(1,0, 2)T

31、.由于1,2, 3已是正交向量组，为了得到规正交向量组，只需将1 , 2,3单位化，由此得12 1 12(一 ,0,V，2(0,1,0)T，3(一 ,0, 几5.555令矩阵2 150.5Q123010，1 25 0.5200qtaq020003且二次型的标准形为f 2yi22y；3yf【评注】本题求a,b也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定: 二次型f的矩阵A对应特征多项式为a0bE A0 2 02 2(2)(a 2)(2a b ).b02设A的特征值为21, 2, 3，则 i 2, 23 a 2, 23(2a b ).由题设得1 232 (a 2)1 ,1 2 32(2a b2)

32、12.解得a 1,b2 .第一步求参数见数学复习指南P361重要公式与结论4,完全类似例题见文登数学全真模拟试卷数学三 P47第九题.十一【分析】先求出分布函数 F(x)的具体形式，从而可确定 Y F(X)，然后按定义求 Y 的分布函数即可注意应先确定Y F(x)的值域围(0 F(X) 1)，再对y分段讨论.【详解】易见，当 x 1时，F(x) 0;当x8 时，F(x) 1 .对于 x 1,8，有X 1F(x)dt1 3沪Vx 1.设G(y)是随机变量YF(x)的分布函数.显然，当y 0时，G(y)=0；当y 1时,G(y)=1.对于 y 0,1),有G(y) PY yPF(X)yP3X 1y

33、 px(y1)3F(y 1)3 y.是，Y F(x)的分布函数为0,若y 0,G(y) y,若 0 y 1,1,若 y 1.十二【分析】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型， 要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率.注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.求概率密度g(u)，一般应先求分布函数 G(u) PU u PX Y u,在计算概率的时候，应充分利用X只有可能取值 X 1和X 2 全概率公式：如果事件 A,川，An构成一个完备事件组，即它们是两两

34、互不相容，其和为(总体的样本空间)；并且P A 0,i 1,2j|,n.则对任一事件B有nP B P(A)P(B|A) i 1【详解】设F(y)是Y的分布函数，由全概率公式，得U X Y的分布函数G(u) PX Y uPX 1PX Y u X 1 PX 2PX Y u X 20.3PX Y u X 1 0.7PX Y u X 20.3PY u 1 X 1 0.7PY u 2 X 2 由于X和Y相互独立，所以PYu 1 PYu1 X 1, PY u 2 PY u 2 X 2所以G(u)0.3PY u10.7 PYu 20.3F(u1) 0.7 F(u 2).由此，因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U的概率密度g(u) G (u)0.3F (u 1)0.7F (u 2)0.3f (u 1) 0.7 f(u 2).