最新《空间向量与立体几何》单元练习题

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1、精品文档空间向量与立体几何单元练习题一、选择题（每小题5 分，共 50 分）1. 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点 . 若 A1 B1 =a，A1 D1 =b， A1 A =c，则下列向量中与B1M 相等的向量是A. 1 a+ 1 b+cB. 1 a+ 1 b+c2222C. 1 a 1 b+cD. 1 a 1 b+c22222. 下列等式中，使点 M与点 A、B、C 一定共面的是A. OM3OA2OBOCB.OM1OA 1OB 1OC235C.OMOAOBOC0D.MAMBMC03. 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1，点

2、 E、F 分别是 AB 、AD 的中点，则 EFDC 等于A. 1B.1C.3D.344444. 若 a(1, ,2)， b( 2,1,1) ， a 与 b 的夹角为600 ，则的值为A.17 或 -1B.-17或 1C.-1D.15. 设OA(1,1, 2) ， OB(3,2,8) ， OC(0,1,0) ，则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为A. 13B.53C.53D.5322446. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是正方体圆锥三棱台正四棱锥ABCD精品文档精品文档7. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A. 9B. 10C. 11D

3、. 122322俯视图正 (主 )视图侧 (左 )视图8. 如图， ABCD-A1 B1C1D1 为正方体，下面结论错误 的是A. BD平面 CB1D1B. AC1 BDC. AC1平面 CB1D1D. 异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 609. 如图，在长方体ABCD-A1B1 C1 D1 中， AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D所成角的正弦值为6251510A.B.5C.D.35510. ABC的三个顶点分别是 A(1, 1,2) ，B(5, 6,2) ，C (1,3, 1) ，则 AC边上的高 BD长为A.5B.41C.4D.25二、填空题（每小题5 分，

4、共 20 分）11.设 a (x,4,3)， b(3, 2, y) ，且 a / b ，则 xy.12.已知向量 a(0,1,1) ， b ( 4,1,0) ， a b29 且0，则 =.13. 在直角坐标系 xOy 中，设 A（-2 ， 3），B（3，-2 ），沿 x 轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时AB2 11 ，则的大小为14. 如图， PABCD 是正四棱锥，ABCDA1B1C1 D1 是正方体，其中AB2, PA6 ，则 B1 到平面 PAD的距离为.精品文档精品文档三、解答题（共80 分）15. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是边长

5、为 1 的正方形，侧棱 PA的长为 2，且 PA与 AB、 AD的夹角都等于 600， M 是 PC的中点，设 ABa, ADb, APc （ 1）试用 a, b, c 表示出向量 BM ；（ 2）求 BM 的长PMDCAB16.（本小题满分 14 分）如下的三个图中， 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位： cm） . （ 1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结 BC ，证明： BC 面 EFG.DCGFBEDCAB622244正视图侧视图精品文档精品文档17.

6、（本小题满分 12 分）如图，在四面体ABCD中，BD，点E， FCB CD，AD分别是 AB，BD 的中点求证：（ 1）直线 EF / 面 ACD ；（ 2）平面 EFC 面 BCD 18.（本小题满分 14 分）如图，已知点 P 在正方体 ABCD A BC D 的对角线 BD 上， PDA=60 .（ 1）求 DP 与 CC 所成角的大小；（ 2）求 DP 与平面 AAD D 所成角的大小 .DCABPDCAB精品文档精品文档19. （本小题满分 14 分）已知一四棱锥 PABCD 的三视图如下， E 是侧棱 PC 上的动点（ 1）求四棱锥 PABCD 的体积；（ 2）是否不论点 E 在

7、何位置，都有 BD AE ？证明你的结论 ; （ 3）若点 E 为 PC 的中点，求二面角 DAE B 的大小PED22C1AB111正视图侧视图俯视图20. （本小题满分 14 分）如图，已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD ，ABC60 ， E， F 分别是 BC，PC 的中点（ 1）证明： AEPD ；（ 2）若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为6 ，求二2面角 EAFC 的余弦值PFADBEC精品文档精品文档空间向量与立体几何单元练习题参考答案一、选择题1.1()1a+b)=11，故选A.B1M B1B BM A1A

8、BA BC=c+ (a+ b+c22222. 由于 M、A、B、C四点共面OMxOAyOBzOC ( x, y, zR)且xy z 1选项 ( A)、(B)、(C )都不正确 . 由于 MAMBMC0MAMBMC所以存在 x1, y1,使 MAxMByMCMA, MB ,MC共面由于 M为公共点M、A、B、C四点共面，故选 D.3. E, F分别是 AB, AD 的中点 ,EF / BD且EF1 BD,EF1BD,22EF DC1 BDDC1 BDDC cosBD, DC11 1cos120012224故选 B.4.B 5.B6.D7. D8. D9. D10. 由于 ADABAC，所以 BD

9、225,故选 AABcosAB, AC4ABADAC二、填空题11.912.313.作 AC x 轴于 C，BDx 轴于 D，则 ABACCDDB AC3, CD5, DB2, AC CD0,CD DB0,ACDBAC DB cos(1800)6 cosAB2CDDB )22222(AC CDCD DBDBAC)( ACACCDDB( 2 11)23252222(006 cos ),cos1 .由于 001800 ,1200214. 以 A1 B1 为 x 轴， A1 D1 为 y 轴， A1 A 为 z 轴建立空间直角坐标系设平面 PAD 的法向量是 m( x, y, z) ，AD(0, 2

10、,0), AP (1,1,2)， y 0, x y 2z0 ，取 z1得 m( 2,0,1) ，B1 A( 2,0,2) ， B1 到平面 PAD 的距离 dB1 A m65 .m5精品文档精品文档三、解答题15. 解：（ 1） M 是 PC的中点， BM1( BCBP)1AD( APAB)1 b (c a)1 a1 b1 c222222（2） 由于 ABAD 1, PA2,ab1, c2由于 ABAD ,PABPAD600,a b0,a cb c2 1 cos6001由于 BM1 ( abc),221 ( abc)21 a 2b2c22(ab ac b c)11212222(011)3BM4

11、442BM6 ，BM 的长为6 .2216. 解：（ 1）如图（ 2）所求多面体体积 V V长方体V正三棱锥 4 4 611 2 232（ 3）证明：在长方体 ABCDABCD 中，D连结 AD ，则 AD BC GAF因为 E，G 分别为 AA ， A D 中点，所以 AD EG，ED从而 EG BC 又 BC 平面 EFG ，所以 BC 面 EFG A17. 证明：（1） E,F 分别是 AB，BD 的中点，EF 是 ABD 的中位线， EFAD ，AD面 ACD， EF面 ACD，直线 EF面 ACD；（ 2） AD BD， EF AD ， EF BD，CB=CD， F 是的中点， CF

12、BD又 EFCF=F, BD 面 EFC，2 284 (cm2 ) 3CBCB精品文档精品文档BD面 BCD，面 EFC面 BCD .18. 解：如图，以 D 为原点， DA 为单位长建立空间直角坐标系 D xyz 则 DA(1，0，0)， CC(0，0，1)连结 BD，BD 在平面 BBD D 中，延长 DP交BD 于H 设 DH( m， m，1)(m0)，由已知DH ，DA60 ，由DA DHDA DHcosDA，DH，可得2m2m21 解得m2，所以 DH2 ， 2， 2221z20211DHC（ 1）因为02 ，ABcos，22PDH CC122所以DH ，CC45，即 DP 与 CC

13、 所成的角为 45 DCyAB（ 2）平面 AAD D 的一个法向量是DC(0，1，0)x2021101 ，因为cos，22DH DC122所以DH ，DC60，可得 DP 与平面 AA D D 所成的角为 30 19. 解：（ 1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1的正方形，侧棱 PC底面 ABCD ，且 PC=2. VP ABCD1 S ABCD PC233(2)不论点 E 在何位置，都有BD AE证明如下：连结AC ， ABCD 是正方形， BD ACPC底面 ABCD 且 BD平面 ABCD BD PC又 AC PC C BD平面 PAC不论点 E 在何位

14、置，都有 AE平面 PAC不论点 E 在何位置，都有 BD AE(3)解法 1：在平面 DAE 内过点 D 作 DGAE 于 G，连结 BGCD=CB,EC=EC， Rt ECD Rt ECB ， ED=EB AD=AB ， EDA EBA， BGEA DGB 为二面角 DEA B 的平面角 BC DE，AD BC， AD DE在 R ADE 中 DGAD DE=2 =BGAE3精品文档精品文档在 DGB 中，由余弦定理得 cos DGBDG 2BG2BD 212DGBG2DGB = 2，二面角 DAEB 的大小为 2.33解法 2：以点 C 为坐标原点， CD 所在的直线为轴建立空间直角坐标

15、系如图示：则 D (1,0,0), A(1,1,0), B(0,1,0), E(0,0,1) ,从而zPDE( 1,0,1), DA(0,1,0), BA(1,0,0), BE(0,1,1)E设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为xDCm ( a, b, c), n (a ,b , c )AB由法向量的性质可得：ac0,b 0， a 0,b c0y令 c1,c1，则 a1,b 1， m(1,0,1), n(0,1, 1)设二面角DAE B 的平面角为 ，则 cosm n12| m | | n |2，二面角 DAEB 的大小为 2 .3320. （1）证明：由四边形 ABCD 为菱形，

16、ABC 60 ，可得 ABC 为正三角形因为 E 为 BC 的中点，所以 AEBC 又 BCAD，因此 AE AD 因为 PA平面 ABCD ， AE 平面 ABCD ，所以 PA AE 而 PA平面 PAD ， AD 平面 PAD 且 PA AD A，所以 AE平面 PAD 又 PD平面 PAD ，所以 AEPD （2）解：设 AB2 ， H 为 PD 上任意一点，连接 AH，EH 由（ 1）知 AE平面 PAD ，则 EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角在 RtEAH 中， AE3 ，所以当 AH 最短时，EHA 最大，即当 AHPD 时，EHA 最大此时 tanEHAAE36 ，A

17、HAH2因此 AH2又 AD2 ，所以 ADH45 ，所以 PA2 精品文档精品文档解法一： 因为 PA 平面 ABCD ， PA平面 PAC ，所以平面 PAC 平面 ABCD 过E作EOAC于O，则 EO平面 PAC ，过O作OSAF 于S，连接 ES，则ESO 为二面角 EAFC 的平面角，在 Rt AOE 中， EOAE sin 303 ， AO AE cos303 ，22又 F 是 PC 的中点，在 Rt ASO中， SO AO sin 4532 ，43930 ，在 RtESO 中， cos32又 SEEO2SO2ESOSO415 ，484SE3054即所求二面角的余弦值为15 5解

18、法二： 由（ 1）知 AE， AD， AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又 E，F 分别为 BC， PC 的中点，所以A(0，0，0)， B(3， 1，0)， C (31，0)， D (0，2，0) ，zP，31，P(0 0 2) E(300) F212FA，31， ，所以AE ( 300) AF212yBEDCx设平面 AEF 的一法向量为 m(x1， y1， z1 ) ，m AE 0，3x10，则因此3 x1 y z 0m AF 0，21211取 z11，则 m (0，2， 1) ，因为 BDAC， BDPA，PAAC A ，所以 BD平面 AFC ，故 BD 为平面 AFC 的一法向量精品文档精品文档又 BD ( 3，3，0) ，所以cos，m BD2315 m BDm BD5125因为二面角 E AFC 为锐角，所以所求二面角的余弦值为15 5精品文档