北师大网络教育数值分析期末试卷含答案

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1、北师大网络教育一一数值分析一一期末考试卷与答案一填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1. 设有节点心公2，其对应的函数y = f x的值分别为y,yi,y2，则二次拉格朗日插值基函数lo（X）为。2. 设f xjux2，则f x关于节点x0 =0,x, = 1,x2 =的二阶向前差分为。j-10 11213.设 A =-1 1-1，X =31，则IIAL二，x10-11 一3J4. n 1个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。二简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？x满足什么条件才能保证

2、不动点存在和不动点迭代序列收敛于：x的不动点？3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足 人対首扎3启兰K，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。三.求一个次数不高于3的多项式P x，满足下列插值条件：Xi123yi2412y3并估计误差。（10分）1 1四试用n =1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分l = J-dx。（10 分）.1 + x五. 用Newton法求f （x） =x-cosx = 0的近似解。（10分）六. 试用Doolittle分解法求解方程组：24一6% 10分- 30七请写出雅可比迭代法求解线性方程组判断其是否收敛？ （ 10分）20x2x2 3x3

3、= 24为8x2 X3 =12的迭代格式，并2咅3x215x3 二 30八.就初值问题y =y考察欧拉显式格式的收敛性。（10 分）y（） = y。2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。数值分析（A）卷标准答案一. 填空题（每小题3分，共12分）“（XXXX?）cr c c c , C X1. lo i x；27 ； 3. 3 , 8; 4.2n+1 o（xo - x） xo - X2）二简答题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分）1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。（4分）对于对称正定阵 A,从aH ；j2可知对任

4、意k i有|lik。即L的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。（4分）2. 解：（1）若X = X ，则称X为函数X的不动点。（2 分）（2）X必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于X的不动点:（2 分）（2 分）1）X是在其定义域内是连续函数;2）X的值域是定义域的子集;3）x在其定义域内满足李普希兹条件。3.解：参照幕法求解主特征值的流程（2 分）（8 分）注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 5 页）步1:输入矩阵A,

5、初始向量vO,误差限；，最大迭代次数 N;步 2：置 k:=1, 口 :=0 , uO=vO/|vO| ; 步 3:计算 vk=Auk-1;步4：计算二 max1 i：“n注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 # 页）并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5:若|mk-卩| ，计算，输出 mk,uk;否则，转6; 步6:若kN,置k:=k+1,卩:=mk，转3;否则输出计算失败 信息，停止解：（1）利用插值法加待定系数法:2设 P2 x 满足 P2

6、1 =2, P2 2 =4,P2 3 =12,则 P2 x = 3x - 7x 6, （3 分）（3 分）（1 分）再设 P3 x = P2 x Kx-1 x-2 x-3K =2注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 # 页）32p3 x = 2x -9x 15x -61 2（1 分）（2 分）四.解：应用梯形公式得1_f 0 f 1= 0.75（2 分）（1 分）应用辛普森公式得:（2 分）应用科特斯公式得:五.解：由零点定理,由牛顿迭代格式=0.69444

7、444（1 分）907f 0 32f ； 12f 2 32f ； 7f 1= 0.6931746x -cosx 二 0在（0,）内有根。2Xn-Xn-0n=0,1,1 sin xn（2 分）（2 分）（2 分）（4分）取 X0得,4为=0.73936133; x2 = 0.739085178（3 分）x3 =0.739085133 x4 = 0.739085133故取 x % =0.739085133（1 分）六.解：对系数矩阵做三角分解:0UnU12U13 I13-19-6 j Jl2131l32U22U23U33（2 分）6 |厂3-7 = LU4（4分）若 Ly =b，则 % =1Q y

8、2 - -1 y3 =4 ；（2 分）若 Ux =y，则 x =（32,1） T。（2 分）七.解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为注:（2）民 X 4!l X -1 X - 2 X - 300.5-0.5B =10-1（2 分）0.50.50其特征多项式为det（ I - B）二，21.25，且特征值为 i = 0,几2 = -1.25，二3 = - . 1.25（2 分）故有亍B=1.25 1，因而雅可比迭代法不收敛。（1分）（2）对于方程组，Gauss-Seidel迭代法迭代矩阵为00.5-0.5B = 0 -0.5 -0.5（ 2 分）000.5 一其特征值为5 = 0,匕-3

9、 - 0.5（ 2分）故有亍B =0.5 ：1，因而雅可比迭代法收敛。（1分）八证明题（本大题共 2小题，每小题7分，共14分）1. 证：该问题的精确解为 y（x） = y0e（2分）欧拉公式为 yiyiy （ h）yi（2 分）对任意固定的x = Xj二ih ,有 二 y（1h）Xi/h =y（1h）1/ h Xi,（2 分）则 y0eXi=y（Xi）（1 分）5 x a2. 证：牛顿迭代格式为Xn 1n 二，n =0,1,2,（3 分）66xn因迭代函数为:x =,而x x=5 弋，又x3 a ,（2 分）6 6x6 3x七吟33舌3故此迭代格式是线性收敛的。（2分）2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。注：1、教师命题时题目之间不留空白；生须在试题图上作解答，请另附该试题图（第 9 页）