源于经典而高于经典的初二几何难题解答(共17页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 源于经典而高于经典的初二几何难题解答DECBAFG1、经典题：已知正方形ABCD和正方形AEFG，B、A、G在一条直线上，求证BE与DG垂直且相等。HDECBAFG证明 延长BE交DG于H，AB=AD,AE=AG,RtABERtADG,BE=DG.ABE=ADG,ABE+AEB=900，AEB=DEH,DEH+EDH=900，BEDG.即BE与DG垂直且相等.2、已知正方形ABCD和正方形AEFG，P为BG的中点，M、N分别BD、EG的中点。（1）如图1，当B、A、G在一条直线上时，试探究PMN的形状，并证明.P图2ADMENCBFG（2）当正方形AEFG绕点A任意

2、旋转到如图2的位置时，（1）中的结论是否成立?N图1DMECPBAFG解：(1) 如图1连接BE、DG，延长BE交DG于H，易证ABEADG,BE=DG.ABE=ADG,ABE+AEB=900，AEB=DEH,DEH+EDH=900，BEDG.即BE与DG垂直且相等.图1HDMECPBAFGN又PM是BDG的中位线，PN是BGE的中位线，PM平行且等于DG的一半，PN平行且等于BE的一半.PM与PN垂直且相等。PMN是等腰直角三角形。（2）如图2，仿（1）的方法，易证BE与DG垂直且相等。PM是BDG的中位线，PN是BGE的中位线，PM平行且等于DG的一半，PN平行且等于BE的一半.PM与PN

3、垂直且相等。PMN是等腰直角三角形。说明：本题的第（2）小题也可看成以ABG边AB、AG向外作正方形ABCD和P图2ADMENCBFG正方形AEFG。可得以上结论。3、分别以任意四边形ABCD的各边向外作正方形ABEF、AGHD、DIJC、CKLB。M、N、P、Q分别是各正方形的中心。（1） 求证MP与NQ垂直且相等；（2） R、S、T、W分别是NM、MQ、QP、PN的中点。求证四边形RSTW是正方形。解：连接AC取AC的中点X，连接XN，XP。由前面题目易证XN与XP垂直且相等。同理XM与XQ也垂直且相等。因此，MP与NQ垂直且相等。LNXOKIGQTSRPMJHEFDCABW（2）RS平行

4、且等于NQ的一半，TW平行且等于NQ的一半，ST平行且等于MP的一半，MP与NQ垂直且相等，所以，四边形RSTW是正方形。4、以平行四边形ABCD的各边向外作正方形，E、F、G、H分别是各个正方形的中心。1FHDCBAGEO求证 四边形EFGH是正方形。证法1：连接AC、BD交于O，O是AC，BD的中点，连接OE，OF，OG，OH。由前面题的结论知，OE与OF垂直且相等，OF与OG垂直且相等，OG与OH垂直且相等，OH与OE垂直且相等。且E、O、F共线，F、O、H共线。EG与FH垂直平分且相等， 四边形EFGH是正方形。证法2： FB=FC, EB=CG, 1=1800-ABC,BCD=180

5、0-ABC,1=BCD.EBF=GCF,FBEFCG.EF=FG.EFB=GFC,GFC+BFG=900,EFB+BFG=900,EFFG.EF与FG垂直且相等。同理：其它相邻两边也垂直且相等。四边形EFGH是正方形。5、已知，正方形ABCD和正方形CGEF，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到如图所示的位置，取AE得中点P。试探究PD与PF的关系且证明。CPDBAFEG解：连接AC，CE，作DMAC于M，FNCE于N，MCPDBAFEGNH连接MP，PN。则PN是ACE的中位线，四边形MCNP是平行四边形，MD=MC=PN.MP=CN=NF,DMP=900-PMC=900-PNC=PNF. M

6、PDNFP.PD=PF.延长MP交FN于H，PFH+FPH=900,MPD=PFN,MPD+FPH=900,PDPF.PD与PF垂直且相等。顺便指出：若连接PB、PG，仿以上方法，也可证明PB与PG垂直且相等（证明从略）。DECPBAFG6、分别以ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACGF，P为DG的中点。试判断PBC的形状，并证明你的结论。NMDECPBAFGH解：分别作AD、AG中点M、N，连接MB，NC，PM，PN。则PM，PN是ADG的中位线。四边形AMPN是平行四边形。则BM=MA=PN，PM =AN=NC，由AMP=ANP，得BMP=900-AMP，PNC=900-A

7、NP，BMP=PNC，BMPPNC,PB=PC.延长NP交MB于点H，则NHMB.HBP+HPB=900,HBP=CPN，HPB+CPN=900.PBPC.即PBC是等腰直角三角形。7、 ADE和 ABC都是等腰直角三角形，EDA=900,ABC=900.（1） 如图1，点E、A、C在一条直线上时，M是EC的中点。求证 MD=MB且MDMB；图1CMABED图2CMADEB（2） 将ADE绕点A顺时针旋转到如图2的位置时，M是EC的中点。（1）中的结论是否成立？并说明理由。证明：(1) 如图1，作DFEA于F；BGAC于G； EM=FG, EF=MG, EF=FA=DF, DF=MG。FA=M

8、G，FM=AG, AG=BG，FM=BG。RtDFMRtMGB. MD=MB。FMD=MBG.G图1CMABEDF MBG+BMG=900, FMD+BMG=900. MDMB；(2) 答成立。证明：如图2,作DFEA于F；BGAC于G；连接FM，FD，GM，GB。易证四边形AFMG是平行四边形，DFMMGB。进而可证MD与MB垂直且相等。图2CMADEBFG说明；一些以线段为边作等腰直角三角形问题也可归结为做正方形问题，如本题可以分别B，D为正方形的中心构造正方形，仿前面的习题也可以证明上述结论。（从略）GBCPFDQAE8、如图，分别以ABC的边AC和BC向外作正方形ACDE和正方形CBF

9、G，点P是EF的中点，PQAB于Q，求证GBCPFDQAEMNH证明：PQ是梯形EMNF的中位线，AMEACH,BCHBFN,EM=AH,FN=HB,9、经典题：如图1，已知点C是线段BD上一点，以BC、CD为一边向同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE,AC与BE交于P,AD与CE交于Q，BE与AD交于F.(1) 求证BE=AD;(2) 求证BFD=1200；(3) 判断CPQ的形状，并证明你的结论；(4) 如图2，将CED绕点C按顺时针旋转任意角度，其它条件不变，判断（1）、（2）中的结论是否成立？为什么？（5)（用相似三角形明证）如图1，求证图2FEDBAC图1QPFEDCBAM证明：

10、（1）AC=BC，CD=CE，ACD=BCE=1200，ACDBCE,BE=AD. (2)CBE=CAD, CBE+ABE=600, ABE+CAD=600, BAC=600， BFD=ABE+CAD+BAC=600+600=1200. (3)AC=BC，BCP=ACQ=600，CBP=CAQ, BCPACQ,CP=CQ.PCQ=600，CPQ是等边三角形。（4）AC=BC，CD=CE，ACD=BCE，ACDBCE,BE=AD. CBE=CAD, CBE+ABE=600, ABE+CAD=600, BAC=600， BFD=ABE+CAD+BAC=600+600=1200. （1），（2）结论

11、成立。(5)作PMAB交BC于M ,BC=AB, CD=CE,PQ=PM, CNDMPEAQB说明：本题的第（4）小题也可看成以BCD边BC、CD向外作等边ABC和等边ADE。可得以上结论。10、已知：E是线段AB上一点，以AE、EB为边作等边AED和EBC,P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、AD的中点。试判断四边形PQMN的形状，并证明你的结论。CNDMPEAQB解：连接AC,BD,由以上经典题得AC=BD，再利用三角形中位线定理可证明四边形OQMN是菱形BCDAEMHG11、以ABC的边AB、AC分别向外作等边ABD和ACE，M、G、H分别是BC、BD、CE的中点。求证：MG=MH；G

12、MH=120。BCDAEMHG证明：连接DC,BE,由以上经典题,得DC=BE，再利用三角形中位线定理可证MG=MH；GMH=120AOEDCB12、分别以ABC的两边AB、AC向外作正ABD和ACE，BE与CD交于点O。求证：（1)BE=CD;并求出BOD的度数；（2）OA平分DOE.GFOEDACB证明：作AFDC于F，AGBC于G，AB=AD，AC=AE，DAC=BAE，DACBAE.AF=AG.AO平分DOE.FECBAD13、如图，已知RtABC中，ACB=900，分别以AB、BC为边向外作ABD与BCE，且DA=DB,EB=EC,若ADB=BEC=2ABC,连接DE交AB于F.试探

13、究DF与EF的大小关系。132GD4FBEC1GFEBCADA解：作DGAB于G，连接GC、GE。DA=DB,EB=EC,G是AC的中点，GB=GC,GEBC.ADB=BEC=2ABC,1=2=3, 4=BDG,BDG+2=900，2+4=900，DBBC,DBGB.3+4=900，BEAB,DGBE.四边形DBEG是平行四边形，DF与BG互相平分。即DF=EF.PABEDCFG14、如图，已知AB=10，AC=BD=2，P是线段CD上的动点，PAE和 PBF都是等边三角形，G为EF的中点。当P从C运动到D时，求点G移动路径的长。GCGDMEDABECD (p)C (P)FCFD解：如图，作出

14、点P从C和D的两个特殊图形，四边形ADFDEC是平行四边形，四边形ACFCED是平行四边形，ECFD=AD=8。EDFC=AC=2。MGD是EDECFD的中位线 MGD=4。MGC是ECFCED的中位线，MGC=1。点G移动路径的长GCGD=3。FCEBADG15、经典题：如图，BD、CE分别是ABC的两条高，F是BC的中点，G是ED的中点。求证FGED.FCEBADG证明 连接FE，FD, G是ED的中点。FGED.ODCFBAEPQ16、如图，在ABC中，E、F分别在AC、AB上，且ABE=ACF，BE、CF交于点O,过点O作OPAC于P，OQAB于Q。D是BC的中点，求证DP=DQ.NM

15、ODCFBAEPQ证明 作OB的中点M，OC的中点N、连接MQ，MD，DN，NP。易证四边形MDNO是平行四边形。QMO=2ABE,ENO=2ACF，ABE=ACF，OMD=OND，QMD=DNP.DMQDNP, DP=DQ. OFCEBAD17、如图，已知四边形ABCD中，AOD=BOC，DAO=CBO=900，AE=BE，DF=CF,。求证：EFAB。MFCEBADON证明：分别作OD、OC的中点M、N，连接AM，MF，FN，BN，FA，FB。则MF，NF是DOC的中位线，易证四边形MFNO是平行四边形。再由DAO=CBO=900，则AM=MO=FN，MF =ON=BN，由AOD=BOC，

16、得AMO=BNO,因OMF=ONF,AMF=BNF,AMFBNF,FA=FB,因AE=EB,FAAB.18、 经典题：如图，分别以ABC的AB和AC为边在ABC外侧作正方形ABEF和正方形ACGH.(1)如图1， 若M是FH的中点，延长MA交BC于D,求证ADBC,且(2) 如图2，若ADBC,延长DA交FH于M。求证 M是FH的中点。图1HCAGFBEDM(3)求证图2HCAGFBEDMN图1HCAGFBEDM证明 (1)如下图1， 延长AM到N使MN=AM,FM=MH,FMN=HMA,FMNHMA.N=NAH,FN=AH.FNAH. FN=AC,AF=AB,NFA=1800-FAH=BAC

17、,FANABC,AN=BC. ABC=FAN.FAN+BAD=900,ABC+BAD=900.ADBC.(2) 如下图2,分别过F、H作直线MD的垂线，垂足为P，Q。ABD+BAD=900,FAP+BAD=900,ABD=FAP,AB=AF,RtABCRtFAP,AD=FP.同理：RtACDRtAHQ,AD=QH.FP=QH.易证RtFMPRtHMQ. FM=MH.(3) 如下图2,由（1）和（2）知，直线ADBC时，p图2HCAGFBEDMQM是FH的中点，FP=AD,且19、以梯形ABCD的两腰为直角边向外作等腰RtADE、等腰RtBCF，G为EF的中点，连结GC、GD. 求证：GC=GD

18、.方法1：【二倍法】【平行线等角转换】【周角法】【Rt斜边中线=斜边一半】四边形ABFE，+=360-DAE-AED-CBF-CFB=180MDC=360-（+）- ADE=90，OSABCGEFPDHNM（G） 方法2（平移法）证明：如图，将等腰RtADE和等腰RtBCF沿DC分别向右、向左平移到DC的中点O。连接PS交EF于点G。易证EGPFGS，EG=GF, PG=GS，G是EF的中点，G为EF的中点,点G与点G重合。这就得到一道传统的经典题,即：以MON的两边OM、ON为边向形外作等腰RtMOP和等腰RtNOS, G为PS的中点。求证：GOMN。（证明从略）DCAB，GODC，OD=O

19、C,OG垂直平分DC，GD=GC。20、 以梯形LMNK的两腰为直角边向外作等腰RtLMM、等腰RtKNN，OP垂直平分LK交MN于点P. 求证：PM=PN.（2004全国初中数学联赛题变型）方法1：OSWUOR，UR=OW，OYWVOQ，QV=OW，故UR=QV，又U M=OL=OK=VNR M=QN，易得PM=PN。SOMNKLNP(P)MHHBA 方法2（平移法）证明：如图，将等腰RtMLM和等腰RtNKN沿LK分别向右、向左平移到LK的中点O。连接HS交MN于点P。易证MHPNSP，MP=NP,HP=SP, P是MN的中点，P是HS的中点。延长PO交MN于H，这又得到一道传统的经典题,

20、即：以AOB的两边OA、OB为边向形外作等腰RtAOH和等腰RtBOS， P是HS的中点。求证：PHAB。（证明从略） LKMN，OPLK，OPAB。POHAB,直线PO与直线POH重合，两条直线相交只有一个交点，点P与点P重合。MP=PN即P为MN的中点。21、P为正方形ABCD一点，PA=a, PB=2a, PC=3a, 求正方形ABCD的边长。PDCAB解：将APB绕点B顺时针旋转900，得到BQC,连接PQ,PQC是直角三角形，PQC=900，BPQ=PQB=450，BQC=APB=1350，APQ=1800，A、P、Q三点共线。EQPDCAB22、如图，已知线段AB=CD=EF=2，

21、DOB=FOC=600，AB、CD、EF交于点O。DCOBAFES2S1DCOBAFENGMS3S2S1解：将AOE沿AB平移至BNG处，再将COF沿CD平移至BMG处，M、G、N三点共线。OMN是等边三角形,且边长为2，FGEBOADCMBOADC23、如图，已知四边形ABCD中AC、BD交于O，DOC=600，,AC=BD。求AB+CD与AC的大小。解：分别取AB、BD、BC、DC的中点E、F、G、M、连接EF、FG、EG、ME、MG。EG EF+FG， MEG是等边三角形，EG=ME,AB+CDAC。当ABDC时，等号成立。EDFCBA24、如图，已知,六边形四边形ABCDEF中，ABE

22、D，AFCD，BCEF。且CD-AF=AB-ED=EF-BC 0. 求证:A=B=C=D=E=F.NMGEDFCBA证法一：作平行四边形AFEG，过点G作GNAB交BC的延长线于N，交CD于M.则四边形ABNG和四边形GMDE均为平行四边形。AB=GN,AF=EG=DM,ED=GM. EF=AG=BN,CD-AF=CD-DM=CM.， AB-ED=GN-GM=MN，EF-BC=BN-BC=CN . CD-AF=AB-ED=EF-BC .CM=MN=CN .CMN是等边三角形，CMN=MCN=N=600,. 易求出A=B=C=D=E=F=1200.RQEDFCBAP证法二：分别作平行四边形ABC

23、R、AFEP、EDCQ。AF=EP，CD=EQ，CD-AF=EQ-EP=PQ；AB=CR，ED=CQ，AB-ED=CR-CQ=RQ；EF=AP，BC=AREF-BC=AP-AR=PR。CD-AF=AB-ED=EF-BC，PQ=RQ=PR.。PQR是等边三角形。易求出A=B=C=D=E=F=1200.CABDP25、P是边长为1的正方形ABCD内一点，求PA+PB+ PC的最小值。CABDPEFG,解：将BPC绕点B顺时针旋转600，得到BEF，连接PE、AF,过点F作FGAB交AB的延长线于G.BPE是等边三角形，PB=PE.PC=EF,PA+PB+PC的最小值为AF.ABF=1500，GBF

24、=300，AB=BF=1，2EDCBAFEDCBAO6、已知ABC中ABC=ACB=800，D、E分别为AB、AC上的点，DCA=300，EBA=2,00。求BED得度数。解：作FEBC交AB于F 连接FC交BE于O，连接DO，AFCAEB，ABE=ACF=200，BOC和FOE均为等边三角形，EFO=BOC=OCB=600，DCF=100，BCD=BDC=500，BD=BC=BO,BOD=800，DFO=DOF=400，DF=DO,DE=DE,FE=OE,DFEDOE，BED=300.FPDCBAE27、已知平行四边形ABCD中，AE=CF。求证：DPA=DPC.解：连接DF，DE，作DMF

25、C于M,DNAE于N，MNFPDCBAE ， AE=CF，DM=DN.DPA=DPC.S1S2EDCBAF28、如图，把EFC放在面积为40的平行四边形ABCD中，其中FEC=900，AE=AF,AE:DE=3:5。求S1+S2的值。解：连接FD，2=900-1，A=1800-21=BCD，3=BCD-BCE=A-2=1800-21-2=1800-21-(900-1)=900-1，2=3.DE=DC.设AE=3k,ED=5k,DC=5k,AF=3k,AB=5k,FB=2k. S1S2EDCBAF321 CDBAP29、如图，P是正方形ABCD内一点，且PBC= PCB=150。求证 APD是等

26、边三角形。MCDBAP证明 作等边BMC，连接MP。PB=PC,MB=MC,MP=MP.BMPCMP,BMP=CMP=300,MBP=ABP=750,AB=MB,BP=BP,ABPMBP,BAP=BMP=300,PAD=600, 同理：CDPCMP,可得PDA=600. APD是等边三角形。CEDBA1230、 ABC中，AC=BC,BDAC,以线段CD为底边作等腰CED使点E在AB上。求证1=2.3FCEDBA12证明：延长DB到F使BF=AC。BDAC,AC=BC,得四边形BCAF是菱形。CBE=FBE,BC=BF, BE=BE. BCEBFE. 2=3，EC=EF.由EC=ED,ED=EF,1=3.1=2.31、已知，如图P为平行四边形ABCD内一点，1=2.。求证3=4。2PDCBA134 E2PDCBA134 证明：过点P作PEBC，且使PE=BC，连接EB、EA 。则四边形AEPD和EBCP均为平行四边形。2=AEP, 4=BEP,1=2.,1=AEP.A、E、B、P四点共圆。3=BEP，3=4.ACBD32、RtABC中B=900，BD平分ABC,且ACD=450，求证ADDC.证明：ABD=ACD=450，A、B、C、D四点共圆，AB为直径，ADC=900.专心-专注-专业