高等数学教案提纲

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1、高等数学教案提纲Chapter11InfiniteSeries我们都知道，高等数学的研究对象是函数。到现在为止，我们已经学习了高等数学的主要内容：极限理论和微积分学。这一章所要讨论的无穷级数理论，则是更进一步地表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的重要工具，它对于微积分学的进一步发展是非常重要的。实际上我们已经知道，导数是一个比值的极限、定积分是一个和式的极限，因此，我们说极限思想贯穿于微积分学的始终，而这一章将提供给我们的是一种“函数逼近”的思想方法。我曾经和大家说过：一本书可以很厚，但基本思想方法不会很多。因此，无论是从思想方法、还是从重要工具的角度，无穷级数的理论都将为我们高等数学的学

2、习带来新的精彩，从而为我们的学习画上一个比较圆满的句号。其实，我们大家对无穷级数并不陌生，我来举两个基本的例子：第一个，不知道大家是否记得，在第一章讲数列极限时，我曾举过庄子天下篇中的一个中国古典名例“一尺之槌，日取其半，万世不竭”。记得当时我还曾跟大家开过玩笑，说:“人生太短暂，做不了太多的事情。”但是，当我们有了极限的工具之后，我们却可以站在有限、把握无穷。这或许就是数学的魅力！现在我们换一个角度来看这个问题：1+12+13+11+=1；这是我们看出来的，不是我们算出来的，因为这是无穷222232n多项和的形式。111一.一.如果是：1+1+1+一=?那么，各位：谁能告诉我，这个和是什么？

3、23nsinx大家都认识，如果现在我问：sinx是什么？大家将作何回答？在中学大家就使用过数学用表，求过sinx的近似值，知道这些数学用表是怎样造出来的吗？想知道吗？实际上，352n4sinx真正的数学定义应该是：sinx=x-x+x-+(-1)n，x+，xwR。实际上，3!5!(2n-1)!我们中学sinx的数学用表，就是取了这个无限和的前三项就可以造出来。现在，无论你是在计算器上、还是在计算机里，你所得到的sinx的值都不过是这个无穷和的有限项的代数和，而且可以达到任意高的精确度。这是什么？这就是“函数的逼近”！我们将在第四节之后向大家做完整的交待。此外，如果从物理学的观点来看，把一个复杂

4、的运动分解为一系列基本的简谐运动的叠加形式，这是近代物理中分析处理问题时一个很基本的思想方法。在第七节讨论傅立叶级数时，大家将会看到，比如：在无线电技术中的矩形波函数，就可以用一系列正弦波的叠加来无限的逼近。这是后话。实际上，在现代科学技术当中，级数理论以其非常重要的基础地位而成为现代数学方法中非常重要的数学工具。所以，很多有关这方面的问题，我们都将在这一章当中得到完满的回答！但是，可能有的人就会说了，为什么要把好好的一个1写成这种无穷和的形式？这一方面固然是把确定的东西变为某种不确定的东西，可是另一方面，它却同时也就把某些不易掌握的对象变为我们所熟知的过程了。这里，用的不过是加、减、乘、除运

5、算而已，这是一种思想方法。恩格斯在他的自然辩证法一书中就曾说过：“如果没有无穷级数和二项式定理,我们又能走多远呢？当然，我们每个人都希望能走得更远一些，至少是健康些、快乐些、长久些。下面，我们就来学习这章的第一节：常数项级数的概念与性质。11.1 TheConceptandPropertiesoftheConstantSeries本节教学目的：理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。本节教学重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念。本节教学难点：无穷级数收敛、发散以及和的概念，无穷级数收敛的必要条件。这就是我们这节将要介绍的两个方面的问题。一TheConcept

6、oftheConstantSeries如果给定一个数列Un,则由它构成的表达式4=UiU2-Unn1就叫做常数项无穷级数，简称级数。其中第n项Un叫做级数的一般项(GeneralTerm)0这个无穷多项的和实际上是形式上的，我们以往研究的都是有限和，那么，这个无穷的和本质的含义是什么？在这个无穷和当中我们看出来它是1,而在后一个无穷和当中我们真的还一时看不出来。究竟什么时候它可以代表这样一个确定的数，什么时候它又什么都不代表？这个就涉及到级数收敛与发散的概念。这里，我们同样可以先把无穷级数的形式写出来n工Un=lim口，然后，我让n趋向无穷大，所以说，要想研究无限，我们呢从有限来看有nfy限的

7、变化趋势。这样，什么叫无穷级数？无非是n越取越多，一直到无穷大。这就写成了一n项的和个极限的形式，而极限对我们来说相对是比较熟悉的内容。这时如果我把级数的前拿来，命名为：n(2)&=5+此+十Un=Ui,Sn称为级数(1)的前n项部分和(PartialSum)。1 1那么，这时候，我们看到了：这个级数究竟代表什么就和它的极限建立起来了联系。即Si=Ui,S2=Ui+U2,S3=u1+u2+u3,，Sn=U1+u2+un,，则它们就构成一个新的数列：Sn,通常称为级数(1)的部分和数列。oOoOSi+(S2-Si)+(SnSn-)+=Si+(Sn-5)=ZUn,n=2niqQ当然,我们也有:Ui

8、=S,Un=Sn-Sn(n之2)。即，给定级数zUn,就有部分和数列Sn；n=4反之，给定数列&,就有以Sn为部分和数列的级数这样一来，级数这无穷多项的和是什么？就与部分和数列Sn的极限建立起了密切的联系。即：如果数列Sn存在极限，limSn=S,则称数列Sn收敛。n:qQ当着这个数列是收敛的时候，哇！这个级数就代表了一个确定的数值，从而级数Un=S；n=iqQ如果数列Sn的极限不存在，则称数列Sn发散，从而级数ZUn不知道会是什么，可能nd是无穷大，也可能什么都不代表。如果我们顺便说点题外的话，这种发散的特性在现代科学技术中也同样有重要的应用，比如，在密码学中，规律性强的密码不是好的密码，嘲

9、的一下就被别人破译了，你们家的那点事别人都知道了。这还是小事，要是国家的大事就惨了。这样，对于一个无穷级数它的这两种发展趋势，我们按照数列的收敛与发散情况就可以很容易的、平行的把它推广到无穷级数当中去。这就是我们要介绍的：Q0DefinitionTheinfiniteSerieS%unconvergeSandhaSSumsiftheSequenceofpartialnTodsumssnconvergestos,thatislim.Sn-s.Ifsndiverges,thentheseries%undiverges.nIn=iAdivergentserieshasnosum.11定义如果级数Un

10、的部分和数列Sn有极限S,即mSn=S,则称无穷级数dn一n1尸cQUnUn收敛,n1这时极限s叫做这级数的和，并写成qQS=Un；如果Sn没有极限，则称无穷级数n1Un发散。n1显然，当级数收敛时，其部分和Sn是级数和S的近似值，它们之间的差值:rn=S-Sn=Un1.Un.2.叫做级数的余项（RemainderTerm卜用近似值Sn代替S所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是|rn|。从上述定义可知，级数与数列极限有着紧密的联系。给定级数Sn；反之，给定数列Sn,就有以Sn为部分和数列的级数Q0Un,就有部分和数列nWSi+（S2Si）+（Sn-Sn_1）+=Si+Z（Sn-5）=2%,

11、n=2qQ其中Ui=S）,Un=Sn-Sn（n之2）。按定义，级数工Un与数列6同时收敛或同时发散，且在n1二二二二n收敛时，有Un=limSn,即UUn=limZUina:nTnF”数列与级数的如此密切的关系（你中有我，我中有你）表明：对于数列极限的一些结果,无穷级数都有相应的结果。但是，在很多情况下，很难把级数的部分和数列写成一个易求极限的表达式，而级数采用无穷多项相加这一特殊形式，具有明显的直观性，使用起来更方便。因此，数列极限的研究，并不能代替级数的研究。我们既要看到它们本质上、内在上的联系。又要注意到它们形式上、方法上的区别。OOExample1讨论等比级数（GeometricSer

12、ieS工aqn的敛散性，其中a#0,q为公比。n=0解当q#1时，Sn=a+aq+aqn，nna_aq_a_aq1-q1-q1-q当|q|cl时，limSn=,级数收敛;当|q|1时，limsn=o,级数发散；n_)：当|q|=1时，即当q=1时，sn=naT=o(nTg),级数发散;当 q=1 时，Sna, n为奇数时,0, n为偶数时,从而Sn的极限不存在，级数发散Q0综上，等比级数(GeometricSerieS工aqn当|q|1时收敛；当|q巨1时发散. 二 1 一如： (1)n =1nW 2n=0(前面是看出来的，现在是严谨、科学的)；(3)n发散等等。等比n=02级数既简单又常用，

13、后面会看到：根据它的敛散性可以推断出很多其他级数的敛散性，我们应当熟记它的敛散性。Example2TheTheoryofSpringBall(弹力球问题)：一个弹力球有这样的性质：当它从高度h(m)处落到硬地面后，总可以回跳到前一次高度的r倍处，其中0r+2n 2n 2n故lim (S2n Sn),0 ,与假设矛盾 n，这矛盾说明调和级数 -必定发散。n -1 nqQExample 4判别级数 n =211np-1(n 1)p-1解由sn =1 +n (n 1)1二1 一21111 彳+ =1 t 1 ,3 n n 1 n 11da-1/(p1)的敛散性。(n-1)pnpJ上n.1.11.11

14、由Sn=5TI-n-1=1-n-11ny(k-1)p,kp2p2pJ,1，、=1-pT1(nT叼，(n1)p则由定义可知，原级数收敛。Example5判别级数11一的敛散性。nn(n1)(nT好)可知原级数收敛对于本题，虽然后面会有更简洁的解法，但本题解法在于复习部分分式的技巧。n如果级数为：Z其敛散性如何？(只分析，不详解)n生(n1)!解由unn_n1-1_11(n1)!(n1)!n!(n1)!111111Sn=1+=1T1(nT如)故原级数收敛2!2!3!n!(n1)!(n1)!显然运算技巧更高一筹。NecessaryConditionforConvergenceTheorem(Nece

15、ssaryConditionforConvergence)Iftheseriesunconverges,thenn1nmun=.定理（级数收敛的必要条件）如果级数Unun收敛，则lim3=0。dn,nJ，qQ证明设级数2Un的部分和为Sn,且limSn=s,则nJn:：limun=lim（snsn/）=limsn-limsn=ss=0。n）二二n,-n,n_：一两点说明：qQ1、定理的逆否命题（级数发散的充分条件）是：对级数fun,如果limUn=0,则级数ni厂n=1-qQUn必定发散。因此，级数收敛的必要条件是我们今后审敛时第一件要做的事情。n=1例如：级数1+4+3+&+=J,由limu

16、n=lim=工#0,所以此级数9192939n4l0n-1-n-:10n-110发散。2、特别值得注意的是：定理的逆命题不成立。即，级数的一般项趋于0并不是级数收敛的充分条件。有些级数虽然一般项趋于0,但仍然是发散的。最典型的例子就是：调和级数111,虽然它的一般项趋于0,但前面已经证明它是发散的。nz1n三PropertiesofConvergentSeries给定的级数是否收敛？收敛级数的和有什么性质？这是无穷级数的基本问题。应予以更多的注意。实际上，整个级数部分的内容也主要围绕这两个问题展开的。一般说来，级数的前n项部分和sn的通式是难以写出的，因此，根据定义判断级数的收敛性以及求收敛级

17、数的和是困难的。而判定一个级数的收敛或发散，显然是级数理论中的重要问题。譬如，从级数的和来看，欲求其和，首先需判定收敛，若判定了收敛，即使难以求精确和，也可以取足够多项的部分和作为和数相当好的近似值。为了更深入地研究级数收敛性的判别（简称判敛）问题，我们先介绍级数的基本性质。00Q0Property1IfUnconvergestos,thenkunalsoconverges,andn1n188kkUn=kUn=ks.n1n1性质1如果级数unun收敛于和s,则级数kukun也收敛，且其和为kson1n1oOoOcOProperty2IfUn、Vnconvergestosandrerespect

18、ively,thenZUnVnalson4n-4n1QOconverges,and、Un_Vn=s二:二.n4qQqQqQ性质2如果级数Un、工Vn分别收敛于和s、仃，则级数(UnVn)也收敛，且其和n=4n=4n=4为sCT。性质2也说成：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。说明：与极限的运算法则相类似，我们可有(简言之)：“两个收敛级数一股项的代数和级数必收敛；一收敛级数与一发散级数一般项的代数和级数必发散；两个发散级数一般项的代数和级数可能收敛也可能发散。”大家自己去论证或举出反例。Property3Deleting,addingandalteringthefinitetermsofth

19、einfiniteserieskeeptheconvergenceoftheseries.性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。说明：必须注意的是，当级数收敛时，和是会改变的。这条性质可以使得我们在需要的时候，可以人为地对级数的有限项加以改造(这条性质也表明级数太“伟大了”)。Property4ThetermsofaconvergentseriescanbegroUpedinanyway(providedthattheorderofthetermsismaintained),Andthenewseries(UiUn1)(Un11Un2)jUnkiUnk)willconve

20、rgewiththesamesUmastheoriginalseries.qQ性质4如果级数Un收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数(不改变原来的n1顺序)也收敛，且其和不变。00证明设级数工Un的部分和为与，加括号后所成的级数(相应于前k项)的部分和为A,n1则A=Ui+u=s%,A =(UUn1) (Un1+十Un2）=Sn2,依次类推有A=（U十十U%）+（小+2）+十（5让平十十k）=$口卜。可见，数列AJ是数列0的一个子数列。由数列Sn的收敛性以及收敛数列与其子数列的关系可知，数列Ak必定收敛，且有limAk=limSn,即加括号后所成的级数收敛，且其和不k）二二n）二二变。注

21、意：如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛。例如，级数（1-1）+（1-1）+收敛于零，但级数1-1+1-1+确是发散的。根据性质4可得如下Corollary如果加括号后所成的级数发散，则原来的级数也发散。事实上，倘若原来级数收敛，则根据性质4知道，加括号后的级数就应该收敛了。四CauchyConvergenceCriteriaQOTheorem（CauchyConvergenceCriteria）Theseries%unconvergesifandonlyifforanyn10,thereisanaturalnumberN,suchthatforanynN,andan

22、ynaturalnumberp,theinequality|un1un2+un甲卜：；holds.Example7如图所示，直角三角形ABC中，/A=6,|AC|=b。CD_LAB,DE_LBC,EFlABo这个过程可以一直继续下去。试用日和b来表达所有垂直线段的总长度：L.CD|+|DE|+|EF|+|FG|十。解L=bsin+bsin。+,一+bsiK=bsin0901-sin2关于芝诺（ZenoofElea,约公元前490年-公元前430年）希腊数学家、哲学家。出生于卢卡尼亚埃利亚，是古希腊埃利亚学派的代表人物。他是哲学家巴门尼德的学生和朋友，著有论自然等著作。主要影响是巧妙地构想出关于

23、运动的40多个悖论，其中至少有8个流传至今，而4大悖论尤为著名：1、二分说。“运动不存在。理由是，位移事物在到达目的地之前必先抵达一半处。”即运动被道路的无限分割所阻碍。2、阿基里斯（Achilles,希腊史中的善跑英雄）追龟说。“一个跑得最快的人永远追不上跑得最慢的人，因为追赶者首先必须跑到被追赶者的起跑点，因此，跑得慢的人永远领先。”即阿基里斯永远追不上乌龟，只可以无限地接近它。3、飞箭静止说。“如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时（没有越出它），它是静止的。如果位移的事物总是在”现在“里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的。”4、运动场悖论。相对位移可以证明一半时间和整个时间相等。这些悖论涉及间断与连续、有限与无限等问题，引起后人长期讨论，为数学和哲学中有关问题的研究提供了素材。小资料：“阿基里斯（Achilles,希腊史中的善跑英雄）追龟说”的无穷级数解答假设乌龟在阿基里斯的前面100米处，阿基里斯的速度是乌龟的10倍。即，当阿基里斯跑到乌龟处时，乌龟前进了10米；当阿基里斯又跑到乌龟处时，乌龟又前进了1米；依此类10100一 1 一=11- （秒）。9推，芝诺断言：阿基里斯永远也追不上乌龟（假设乌龟的速度为1米/秒）。t:10.留.油也一独一1010210310n