2014考研数学二真题及答案解析

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1、2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D) (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设函数具有2阶导数，则在区间上 （ ）(A) 当时，(B) 当时，(C) 当时，(D) 当时，(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是 （ ） (A)(B)(C)(D)(5) 设函数，若，则 （ ） (A)(B)(C)(D)(6) 设函数在有界闭区域

2、上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则 （ ）(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B) 的最大值和最小值都在的内部上取得(C) 的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D) 的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得(7) 行列式 （ ）(A) (B) (C) (D) (8) 设均为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的 （ ）(A) 必要非充分条件(B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分也非必要条件二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) _.(10) 设是周期为的可导奇函数，且，则 _.(11)

3、 设是由方程确定的函数，则_.(12) 曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是_.(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标_.(14) 设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围为_.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限(16)(本题满分10分)已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.(17)(本题满分10分)设平面区域计算.(18)(本题满分10分)设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.(19)(本题满分10分)设函数的区间上连续，且单调

4、增加，.证明：(I),(II).(20)(本题满分11分) 设函数，定义函数列，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.(21)(本题满分11分)已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.(22)(本题满分11分) 设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.(23)(本题满分11分) 证明阶矩阵与相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当时，若，均是比高阶的无穷小，

5、则的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】由定义 所以，故.当时，是比的高阶无穷小，所以，即. 故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】关于C选项：.，所以存在斜渐近线.故选C(3) 设函数具有2阶导数，则在区间上 （ ）(A) 当时，(B) 当时，(C) 当时，(D) 当时，【答案】D【解析】令，则,.若，则，在上为凸的. 又，所以当时，从而. 故选D.(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是 （ ）(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】故选C(5) 设函数，若，则 （ ）(A)(B)(C)(D)【答案】D

6、【解析】因为，所以 故选D.(6) 设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则 （ ）(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B) 的最大值和最小值都在的内部上取得(C) 的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D) 的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得【答案】A【解析】记则,所以在内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7) 行列式 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列 .(8) 设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的 ( )(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D

7、)既非充分也非必要条件【答案】A【解析】. 记，. 若线性无关，则，故线性无关. 举反例. 令，则线性无关，但此时却线性相关. 综上所述，对任意常数，向量线性无关是向量线性无关的必要非充分条件. 故选A二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) _.【答案】【解析】(10) 设是周期为的可导奇函数，且，则 _.【答案】1【解析】且为偶函数则又且为奇函数，故又的周期为4，(11) 设是由方程确定的函数，则_.【答案】【解析】对方程两边同时对求偏导当时,故故(12) 曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是_.【答案】【解析】由直角坐标和极坐标的关

8、系 ，于是对应于切线斜率 所以切线方程为即(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标_.【答案】【解析】质心横坐标(13) 设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围_.【答案】【解析】配方法：由于二次型负惯性指数为1，所以，故.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限【解析】.(16)(本题满分10分)已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.【解析】 由，得 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为 由得 又由可得 当时，且有：所以在处取得极小值，在处取得极大值即

9、：的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域计算.【解析】D关于对称，满足轮换对称性，则：(18)(本题满分10分)设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.【解析】由，由 ，代入得，即，令得特征方程 得齐次方程通解设特解，代入方程得，特解则原方程通解为由，得, 则.(19)(本题满分10分) 设函数在区间上连续，且单调增加，证明：（I）,（II）.【解析】（I）由积分中值定理，（II）直接由，得到（II）令由（I）知 又由于单增，所以单调不减，取，得，即（II）成立.(20)(本题满分11分) 设函数，定义函数列，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.【解

10、析】(21)(本题满分11分) 已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为,所以其中为待定函数.又因为则，从而.令可得，当时，或，从而所求的体积为(22)(本题满分11分) 设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.【解析】 , (I)的基础解系为(II)的通解为的通解为的通解为（为任意常数）(23)(本题满分11分) 证明阶矩阵与相似.【解析】已知，则的特征值为，(重).属于的特征向量为；，故基础解系有个线性无关的解向量，即属于有个线性无关的特征向量；故相似于对角阵.的特征值为，(重)，同理属于有个线性无关的特征向量，故

11、相似于对角阵.由相似关系的传递性，相似于. 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、 选择题：（18小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)下列反常积分中收敛的是(A)2+1xdx (B)2+lnxxdx(C)2+1xlnxdx (D) 2+xexdx【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 2+1xdx=2x2+=+； 2+lnxxdx=2+lnxd(lnx)=12(lnx)22+=+； 2+1xlnxdx=2+1lnxd(lnx)=ln(lnx)2+=+； 2+xexdx=-2+xd

12、e-x=-xe-x2+2+e-xdx =2e-2-e-x2+=3e-2， 因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分 (2)函数fx=limt0(1+sintx)x2t在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“1”型极限，直接有fx=limt01+sintxx2t =elimt0x2t1+sintx-1=e xlimt0sintt=ex(x0), fx在x=0处无定义，且limx0fx=limx0ex=1,所以 x=0是fx的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点

13、】高等数学函数、极限、连续两个重要极限(3)设函数fx=xcos1x, &x0，0, &x0(0,0).若fx在x=0处连续，则(A)-1 (B)02 (D)00，0, &x0再有 f+0=limx0+fx-f0x=limx0+x-1cos1x=0, 1,不存在，1， f-0=0于是，f(0)存在1，此时f0=0.当1时，limx0x-1cos1x=0， limx0x-1sin1x=0, -10,不存在，-10，因此，fx在x=0连续-1。选A综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数f(x)在(-,+)内连续，其f(x)二阶导

14、函数f(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为AOBx (A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C【解析】f(x)在(-,+)内连续，除点x=0外处处二阶可导。 y=f(x)的可疑拐点是fx=0的点及f(x)不存在的点。fx的零点有两个，如上图所示，A点两侧f(x)恒正，对应的点不是y=fx拐点，B点两侧fx异号，对应的点就是y=fx的拐点。虽然f0不存在，但点x=0两侧f(x)异号，因而(0,f(0) 是y=fx的拐点。综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数f(,)满足fx+y,yx=x2-y2，则f=1=1与

15、f=1=1依次是 (A)12,0 (B)0,12(C)-12,0 (D)0,-12【答案】D【解析】先求出f,令=x+y,=yx,x=1+,y=1+,于是 f,=2(1+)2-22(1+)2=2(1-)1+=2(21+-1)因此f=1=1=221+-11,1=0 f=1=1=-22(1+)21,1=-12综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x 围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则Dfx,ydxdy= (A)43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr

16、(B) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr (C) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr (D) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr 【答案】 B 【解析】D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将Dfx,ydxdy化为累次积分。 D的极坐标表示为 34，1sin212sin2， 因此 Dfx,ydxdy=43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学多元函数积分学二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。(7)设矩

17、阵A=11112a14a2,b=1dd2。若集合=1,2，则线性方程 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为 (A)a,d (B) a,d (C)a,d (D) a,d 【答案】D 【解析】Ax=b 有无穷多解rAb=rA0，D是由曲线段y=Asinx(0x2)及直线y=0,x=2所 围成的平面区域，V1,V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积。若V1=V2，求A的值 【解析】 V1=02A2sinx2=A2021-cos2x2dx=2A24 由A0可得 V2=202xAsinxdx =-2A02xdcosx =-2A(xcosx02-02cosxdx) =2A又 V1=V2 可得A=

18、8【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(17)已知函数fx,y满足 fxyx,y=2y+1ex,fxx,0=x+1ex,f0,y=y2+2y 求fx,y的极值。 【解析】由 fxyx,y=2y+1ex，得 fxx,y=(y+1)2ex+(x)又已知 fxx,0=x+1ex 可得 ex+x=x+1ex 得x=x ex ,从而 fxx,y=(y+1)2ex+x ex对x积分得 fx,y=(y+1)2ex+x-1ex+(y)又f0,y=y2+2y， 所以y=0所以fx,y=(y+1)2ex+x-1ex于是fyx,y=(2y+2)ex, fxxx,y=(x+y2+2y+2)ex, fyyx,y=

19、2ex令fxx,y=0，fyx,y=0得驻点(0,-1)，所以A=fxx0,-1=1 B=fxy0,-1=0C=fyy0,-1=2由于B2-AC0,所以极小值为f0,-1=-1【考点】高等数学多元函数微分学二元函数的无条件极值(18)计算二重积分Dx(x+y)dxdy,其中D=(x,y)|x2+y22,yx2【解析】因为区域D关于y轴对称，所以Dxydxdy=0 原式=Dx2dxdy=201dxx22-x2x2dy =201x2(2-x2-x2)dx =201x22-x2dx-201x4dx令x=2sint,则 01x22-x2dx=044sin2tcos2tdt=12041-cos4tdt=

20、8又01x4dx=15所以二重积分=4-25【考点】高等数学多元函数积分学二重积分的计算(19)已知函数 fx=x11+t2dt+1x21+tdt，求fx的零点个数 【解析】 fx=-1+x2+2x1+x2,令fx=0，得驻点x=12, 当x12时，fx12时，fx0, fx单调增加； 因为f1=0，所以fx在(12,+)上存在唯一零点。 又f120.解得 T=Ce-kt+20 将初始条件T(0)=120代入上式，解得C=100 将t=30,T=30代入得k=ln1030,所以 T=100e-ln1030t+20 令T=21，得t=60,因此要降至21摄氏度，还需60-30=30（min） 【

21、考点】高等数学常微分方程一阶常微分方程，微分方程应用(21)已知函数fx在区间a,+上具有2阶导数，fa=0,fx 0,fx0.设ba,曲线y=fx在点(b,f(b)处的切线与x轴 的交点是(x0,0),证明ax00，故fx单调增加。由ba可知fbfa=0.又fb0,故f(b)f(b)0,即有x0b x0-a=b-f(b)f(b)-a=b-afb-f(b)f(b)由拉格朗日中值定理得 fb=fb-fa=fb-a,a0，所以fx单调增加，从而ffb,故 fb0,即x0a 综上所述，ax0b【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(22)设矩阵A=a101a-101a,且A3=0 (1)求a的值

22、； (2)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E,其中E为三阶单位矩阵，求X 【解析】(1) 由于A3=0，所以A=a101a-101a=a3=0于是a=0(2) 由于X-XA2-AX+AXA2=E所以 E-AXE-A2=E由(1)知E-A=1-10-1110-11,E-A2=001010-102因为E-A,E-A2均可逆，所以X=E-A-1E-A2-1=21-111-111020-1010100=31-211-121-1【考点】线性代数矩阵矩阵方程(23)设矩阵A=02-3-13-31-2a相似与矩阵B=1-200b0031 (1)求a,b的值； (2)求可逆矩阵P,使PAP-1为对角矩阵。 【解析】(1) 由于矩阵A与矩阵B相似，所以tr A=tr B,A=B于是 3+a=2+b,2a-3=b,解得 a=4,b=5(2) 由(1)知矩阵A=02-3-13-31-24,B=1-20050031由于矩阵A与矩阵B相似,所以E-A=E-B=-12(-5)故A的特征值为1=2=1，3=5.当1=2=1,解方程组E-Ax=0,得线性无关的特征向量1=210，2=-301当3=5，解方程组5E-Ax=0,得特征向量3=-1-11令P=1,2,3=10010-1011,则PAP-1=100010005，故P为所求可逆矩阵。【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的相似对角化28