高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布

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1、高中数学-离散型随机变量的均值与方差、正态分布1已知随机变量X服从二项分布，且E(X)2.4，D(X)1.44，则二项分布的参数n，p的值为()An4，p0.6Bn6，p0.4Cn8，p0.3 Dn24，p0.1【解析】由题意得解得【答案】B2设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12 B12，12C12，12 D12，12【解析】根据正态分布N(，2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x对称，在x处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.【答案】A3一个篮球运动员投篮一

2、次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为()A.B.C. D.【解析】由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0a，0b1.又32，当且仅当，即a2b时取“等号”，又3a2b2，即当a，b时，的最小值为，故选D.【答案】D4马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：123P？！？请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E()_.【解析】令“？”为a，“！”为b，则2ab1.又E()a2b3a2(2ab)2.【答案】

3、25以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示(1)如果X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为x1，x2，xn的平均数)【解】(1)当X8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为：x；方差为：s2(8)2(8)2(9)2(10)2.(2)当X9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选

4、取一名同学，共有4416种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y17).同理可得P(Y18)；P(Y19)；P(Y20)；P(Y21).所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PEY17P(Y17)18P(Y18)19P(Y19)20P(Y20)21P(Y21)171819202119.课时作业【考点排查表】难度及题号错题记录考查考点及角度基础中档稍难正态分布258离散型随机变量的均值16,7,129,13，离散型随机变量的方差34,10,

5、11一、选择题1(2010全国新课标高考)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100B200C300 D400【解析】1 000粒种子每粒不发芽的概率为0.1，不发芽的种子数XB(1 000,0.1)，1 000粒种子中不发芽的种子数为1 0000.1100粒，又每粒不发芽需补种2粒；需补种的数X2100200.【答案】B2(2010广东高考)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2X4)0.682 6，则P(X4)()A0.158 8 B0.158 7C0.158 6 D0.158 5

6、【解析】由正态曲线性质知，其图象关于x3对称，P(x4)0.5P(2x4)0.50.682 60.158 7.故选B.【答案】B3若X是离散型随机变量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1x2，又已知E(X)，D(X)，则x1x2的值为()A. B.C3 D.【解析】由E(X)x1x2得2x1x24又D(X)(x1)2(x2)2得18x9x48x124x2290由，且x1x2得x11，x22，x1x23.【答案】C4已知随机变量X8，若XB(10,0.6)，则E()，D()分别是()A6和2.4B2和2.4C2和5.6 D6和5.6【解析】若两个随机变量，X满足一次关系式aXb(a，b为常数)，

7、当已知E(X)、D(X)时，则有E()aE(X)b，D()a2D(X)由已知随机变量X8，所以有8X.因此，求得E()8E(X)8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4.【答案】B5设随机变量服从正态分布N(，2)，函数f(x)x24x没有零点的概率是，则等于()A1 B4C2 D不能确定【解析】根据题意，函数f(x)x24x没有零点时，1640，即4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f(x)x24x没有零点的概率是时，4.【答案】B6利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()A.A1 BA2CA3 DA4【解析】利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：50

8、0.25650.30260.4543.7；700.25260.30160.4532.5；(20)0.25520.30780.4545.7；980.25820.30(10)0.4544.6.【答案】C二、填空题7已知随机变量X的分布列为X101P那么X的数学期望E(X)_，设Y2X1，则Y的数学期望E(Y)_.【解析】由离散型随机变量的期望公式及性质可得，E(X)(1)01，E(Y)E(2X1)2E(X)12()1.【答案】8在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)，若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为_【解析】在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2

9、)(0)，正态分布图象的对称轴为x1，在(0,1)内取值的概率为0.4，可知，随机变量在(1,2)内取值的概率与在(0,1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量在(0,2)内取值的概率为0.8.【答案】0.89有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若表示取到次品的个数，则E()_.【解析】的取值为0,1,2,3，则P(0)；P(1)；P(2)；P(3).E()0123.【答案】三、解答题10一名学生在军训中练习射击项目，他们命中目标的概率是，共射击6次(1)求在第三次射击中首次命中目标的概率；(2)求他在射击过程中命中目标数的期望与方差【解】(1)第三次射击中首次命中的意

10、思是第一、二次都未命中而第三次命中，这是相互独立事件同时发生的概率又P，P3.(2)他在每次射击中是否命中目标是相互独立的，所以是进行了6次独立重复试验，即随机变量服从二项分布B(6，)由服从二项分布的期望与方差的计算公式知Enp62，Dnp(1p)6.11(2012北京高考)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾

11、202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误额概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c其中a0，abc600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值(注：s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为数据x1，x2，xn的平均数)【解】(1)厨余垃圾投放正确的概率约为.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为0.

12、7，所以P(A)约为10.70.3.(3)当a600，bc0，s2取得最大值因为(abc)200，所以s2(600200)2(0200)2(0200)280000.12(2012江西高考)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V0)(1)求V0的概率；(2)求V的分布列及数学期望【解】(1)从6个点中随机地选取3个点共有C20种选法，选取的3个点与原点

13、O在同一个平面上的选法有CC12种，因此V0的概率P(V0)(2)V的所有可能值为0，因此V的分布列为V0P由V的分布列可得：EV0.四、选做题13某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组

14、成一个样本，数据如下：35338556346 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；(3)在(1)、(2)的条件下，若以”性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：(1)产品的“性价比”；(2)“性价比”大的产品更具可购买性【解】(1)因为E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.2.又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性