2020学而思教材讲义高一数学寒假(目标班、尖子班)-高一寒假-第2讲-与数列的第一次亲密接触-教师版-目标班(共16页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 满分晋级 知识切片本讲主要是数列的概念和等差数列的初步认识，包括等差数列的通项和求和公式，以及等差数列最简单的几个性质，更多的性质会在春季同步时再深入研究本讲内容较多，下讲内数列数列 1 1 级级与数列的第一次与数列的第一次亲密接触亲密接触数列 2 级数列的小伙伴们数列 3 级等差数列深入第 2 讲与数列的第一次亲密接触精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业容较少，可以与下一讲作个时间上的均衡数列的引入我们已经学习过整数、有理数和无理数，它们可以用来表示某些数量不过有些时候，表示的会比较不一般比如下面这个著名的问题（兔子问题）：1202 年，意大

2、利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci）在他的一本书中提出的一个问题一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来如果所有兔子都不死，年初由一对初生的小兔子开始，一年以后共有多少对兔子？要解决这个问题，我们可以列一个表：时间（月）123456789101112兔宝宝（对）1011235813213455成熟兔（对）01123581321345589兔总数（对）1123581321345589144如果我们只是单纯的写出最后的答案，我们会错过很多有趣的结论我们将每个月最后的兔子数写成一列，就得到一列数，研究这一列数的规律，容易发现它们满足：从第 项起

3、，每一1 1 2 3 5 8 ，3项都等于前两项的和，由这条规律我们就可以知道两年后乃至若干年后的兔子总数了这一列数就称为数列还有很多其它的数列，各个数列其各自的项之间都有其内在关系和规律，研究数列的规律和性质是我们接下来两讲要学习的内容（斐波那契数列有视频，可结合视频说明） 2.1 数列的认识考点 1：数列的定义与分类知识点睛1数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项） ，第 2 项，第项，所以，数列的一般形式可以写成：n简记为123aaa为为为 na以前面的斐波那契数列为例，12341123aaaa，需要注意的：

4、 数列中每一项都和它的序号有关，数列中的数是按一定次序排列的如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列如：数列 1，2，3，4，5 与5，4，3，2，1 是不同的数列数列和斐波那契数列也是不12341235aaaa，同的数列 数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同因此，同一个数在数列中可以重复出现如：1，1，1，；2，2，2，2，2，等11 与是不同的概念表示数列，而仅表示数列的第 nana na1a2a3anana na项n2数列的分类 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列 按照数列的每一项随序号变化的情况

5、可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列从第2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第 2 项起，每一项都小于它的前一精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界数列斐波那契数列是无穷数列，递增数列，无界数列更多的例子见例 1经典精讲【例 1】 下面数列哪些是递增数列，递减数列，常数列，摆动数列？哪些是有穷数列，无穷数列？全体自然数组成数列：0，1，2，3，；某校 6 个班学生人数构成的数列：15

6、，16，18，20，22，30；数列：5，3，8；12.61.5数列：5，5，5，5，5；数列：100，90，80，70，60，50， 根据数列的规律填空1 1 2 3 5 8 5 3 10 6 15 12 3 5 9 17 33 1 2 2 3 4 6 （2010 湖南文 20）给出下面的数表序列：12845314311【 3【 2【 1其中表有行，第 1 行的个数是 1，3，5，从第 2 行起，(123)n n ，nn21n 每行中的每个数都等于它肩上的两数之和，写出表 4【 递增数列 无穷数列 递增数列 有穷数列摆动数列 有穷数列 常数列 有穷数列递减数列 无穷数列 13此数列为著名的斐

7、波那契数列，从第三项起每一项是前两项之和20，24此数列是混合数列，奇数项为首项为 5，公差为 5 的等差数列，偶数项是首项为 3，公比为 2 的等比数列，按顺序应填 20，2465根据数列的规律每一项为21n9从第三项起每一项为前两项之和减 1，所以空格应填 9趣味数列：（供课堂增加趣味性，活跃气氛选用）1请写出下列数列的下一项：2，12，1112，3112， ，_12322012847531精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2按规律填空： ； ；1791003 621 4284 69291【1这个数列中每一项都和前一项和读法有关，第一项是 2，第二项是一个 2，第三项是一个1 一个

8、 2，第四项是三个 1 一个 2，往后以此类推所以应该填入的数列为： 2，所以应该填 ；1012789101将数列的前几项反过来写：所以，以此类推后边应该为3612244896192，所以应该填384768，483867，考点 2：数列的通项公式与递推公式知识点睛数列的表示方法： 图象法：数列是以正整数集（或它的有限子集）为定义N12n为为为域的函数，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的项是( )naf n一系列函数值所以，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图来表示这个数列全体正偶数组成的数列用图象法表示为2 4 6 ，（如图）：数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系

9、列孤立的点 列表法：与函数一样，数列也可以用列表的方法来表示如：全体正偶数按从小到大的顺序构成的数列 2，4，6，8，用列表法可表示为n123kna2462k列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，但由于受某些条件的限制，用列表的方法有时不能完整的反映一个数列，或数列的具体规律，所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示图象法可以比较清楚的揭示数列的变化规律，列表法表示数列能使人一目了然，但它们的缺点就是数列的项数比较多时，表示起来一般会非常费劲，比如斐波那契数列用这两种方法就不好表示数列更多的是用下面两种方法来表示 递推公式法：如果已知数列的第 1 项（或前几项） ，且任意一项与它相邻的一

10、项（或几 nana项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式如：数列 3，4，5，6，7，用递推公式可这样表示：，13a 11nnaanN 通项公式法：数列的第项也叫做数列的通项如果数列的第项与之间的关 nanna nannan系可用一个函数关系来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式( )naf n中的数列可以用来表示*2nannN理解数列的通项公式： 数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集为定义域的函数N12n，的表达式； 如果知道了数列的通项公式，那么依次用去替代公式中的就可以求出这个数12n，n列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数

11、列中的项，如果是的话，是第几项 数列的通项公式形式不是惟一的，如，它可以写成，也可以1 11 11 1，( 1)nna 10865443221Onan精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业写成或cos nan11nnan为为为为为为为为为. 不是所有的数列都有通项公式，好比不是所有的函数都有解析式一样有穷数列一定有通项公式无穷数列不一定有比如由全体质数组成的数列，目前就没有通项公式2 3 5 7 ，前面提过的斐波那契数列的递推公式：，121aa112nnnaaannN，通项公式为，这是一个正整数列用无理数来表示通项的例子高11515225nnna中阶段只学习比较简单的递推形式的通项公式，象

12、斐波那契这种比较复杂的递推和通项仅作为帮助了解数列的相关概念经典精讲【例 2】 观察数列前几项，求出下列数列的一个通项公式 ； ；1 11 1，0101 ， ； ；1234，1 11 111 1111 ， ； ，；131793832435，11315228432， 已知数列满足，（） ，则na11a 11nnnaan*2nnN ，_；_2a 5a 已知数列满足，（） ） ，则na11a 121nnaa*2nnN ，_；_2a 10a（目标班专用） （2010 西城二模理 14）我们可以利用数列的递推公式 na，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇2,nnnnaan为奇数为偶数nN

13、数则_；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第 个是2425aa85该数列的第_项【 或（可以不讲）或( 1)nna cos nan11nnan，为奇数，为偶数或； ； ； 112nna 01nnan，为奇数，为偶数1( 1)nn1(101)9n ；121( 1)(2)nnnan n （观察分子觉得分子可能为，从而得到分母为）13579，38152435，；（观察分母得分母都为，将分母整理为，得到规律）2nnna 2k2481632，；2133，；可以推断；212233aa323142aa434255aa545163aa21nan；31023，；可以推断21213aa 32217aa 4

14、15a 531a 21nna 101023a精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业；28640，同时，因此；2412633aaaa2525a242528aa第个出现在第项，因此第 个是该数列的第项k515 2k8575 2640【例 3】 根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式，并分析 ，求出，是否有最大、最小值？24816( )naf nna ，求出，是否有最大、最小值？111124816( )naf nna，求出，是否有最大、最小值？111124816( )naf nna ，求出，是否有最大、最小值？111124816( )naf nna类比函数的单调性、有界性来分析数列的性质

15、数列的通项公式是，当取何值时，最小？ na2610nann*nNnna 数列的通项公式是，当取何值时，最小？ na23.61nan*nNnna【 ，最小值为首项 2，没有最大值，该数列为单调递增数列2nna ，最大值为首项，没有最小值，该数列为单调递减数列12nna 12 ，最小值为，没有最大值，该数列为单调递增数列12nna 12 ，最大值为，最小值为，该数列不是单调数列 1112nnna 1214 时，最小为 1 该数列无最大值3n na时，最小为该数列无最大值4n na1.16【引出用函数的分析方法分析数列的取值，强调数列是一种特殊的函数，用函数的方法进行分析时，要注意其定义域是大于 0

16、 的整数 1 2naf nn，【拓展拓展】若，当且仅当时有最小值，问的取值范围25nann3n na【函数的对称轴为，故离最近，2( )5f xxx2x3x 2数列12aa，函数 f x定义域1 2 ，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业即且，解得3222342257考点 3：数列的前 项和nnS知识点睛数列的前项和用来表示，如果与的关系可用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列 nannSnSn的前项和公式n数列的前项和于是有n121nnnSaaaa1112nnnSnaSSn，1121nnnSSnaSn，等差等比数列的前项和公式我们会在相关小节学习，数列求和的常用方法我们会在春季n同步讲

17、义时系统学习，这里可以举一些最简单的可以求和的例子：如求常数列：na的前项和或者求数列的前项的和等如果有学生问斐波那契数列5na n111nann10的前项和公式的话，也可以提一下，它是两个等比数列的和，且n1221nnaaaa后面的例题主要是练习给定的通项公式求，要注意只对成立，用nSna1nnnaSS2n求时，必须单独讨论，忽视这个很容易造成错误，见易错门诊nSna1n 经典精讲【铺垫】已知数列的前项和，则_，_，通项_ nan3nSn1a 3a na 已知数列的前项和，则_，_ nan1nnSn1a 6a 【；时，故对，有113aS3323aSS2n13nnnaSS*nN3na ；112

18、aS6657616530aSS 【例 4】 已知数列的前项和，则其通项；若它的第项满足 nan29nSnnna k，则58kak 已知数列的前项和，则其通项_；满足的最大正 nan21nnS na 2013ka 整数为_k前项和减n去前项和1n 第 1 项12nnSaaa精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【 ；8210n ；时，对也满足；118aS 2n1210nnnaSSn1n 由得：，故52108k1592k8k ；1211n，；时，对也满足；故；111aS2n112nnnnaSS1n 12nna，由知，满足不等式的最大的为122013kka101121024201320482k1

19、11已知数列的前项和，求 nan22nSnnna【当，1n 110aS， 2n1nnnaSS222(1)(1)2nnnn2n 0122nnann，2已知数列的前项和，求 nan2nnS na【；，故112aS111222nnnnnnaSS12122nnnan，【强调利用前项和求通项的时候，对首项要单独处理n2.2 等差数列基本量计算前面我们对于一般的数列学习了一些基本概念和知识，总体而言，大部分数列是没什么规律的，小部分规律明显，接下来我们学习一类有迹可循的特殊数列例如：自然数数列，每个数都比它后面的数小 ，正偶数数列，从第二项起，每项都比它前面的数多，等等这一类12特殊的数列就是等差数列考点

20、 4：等差数列的概念知识点睛定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示 d先从直观上认识等差数列，通过一些具体的数列感觉等差数列，之后再学习等差数列的通项公式，熟悉通项公式以及正确计算等差数列的项数再学习等差数列的求和公式，以及一些简单的性质希望把概念分开讲解，分别配例题经典精讲【例 5】下列数列是等差数列吗？如果是求出公差，如果不是请说明理由；13579，5137，5555，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业；2222 22，531123，【是；是，；是0；不是；不是2d 4d d 考

21、点 5：等差数列的通项公式知识点睛已知等差数列，首项为，公差为，第项（通项）为，通项公式： na1adnna11naand11naand通项公式的推导：我们可以说明第二项与第一项相差，第三项与第一项相差，第项与第一项相差d2dn，所以还可以用叠加法求其通项公式1nd11naand叠加法：1nnaad12nnaad23nnaad 21aad将这个式子左右分别相加可得，故1n 1naa1nd11naand知道数列的首项与末项，可以求项数，公式为11naand经典精讲【例 6】 已知等差数列的通项公式为，则公差为_，首项为_ na73nan 等差数列的第 4 项_，第 20 项_951 ，4a 20

22、a 等差数列的项数_，第项为_3711103，n 5 已知数列是等差数列，且，则数列的通项_ na22a 510a nana 【 ，43，故（也可直接由通项公式看出）；73nan1734a 21a 3d ，；，3671(1)9(1)4413naandnn 43a 2067a ；2619，公差，故，再写两项即得第项为734d 10331264n 5193711 1519，也可以先写出通项公式，于是为第项；41nan103426126519a 解法一：设的公差为，由已知条件 解出， nad112410adad 4d 16a 首项公差等差数列第项 nan精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以

23、1(1)6(1)4naandn 644n 410n解法二： ，52310( 2)12daa 4d 12ad 16a 410nan例 6 给出了等差数列的通项公式与项数的常规求法，如果把数列看成特殊的函数，可以将通项公式整理成，故是关于的一次函数（在时），从这个角度出发，1()nadnadnan0d 给出等差数列的通项公式可以马上得出公差，即前的系数，给出公差也可以立刻得到一次n项，再结合给出的某项的值即得到通项公式具体见下面的练习准确快速地求出等差数列的项数非常重要，可以结合“挑战分钟”多练多算5【挑战挑战 5 5 分钟分钟】 已知，则_已知，则_43nand 1001nand 已知，则_已知

24、，则_123ad，na 512ad ，na 已知，则_已知，则_4132ad，na 315122ad ，na 等差数列的项数为_34575，等差数列的项数为_42026，等差数列的项数为_3032013，等差数列的项数为_110824，【；等于加上某数，由知，310031n na3n12a 31nan；，则知；，211n2nan 51a 11112n 12nan4231a；，；192n12nan 3315922a 731667335考点 6：等差数列的求和公式知识点睛已知等差数列，首项为，公差为，通项为，前项和为 na1adnannS前项和的公式：；nnS12nnn aaS112nn nSna

25、d知三求二，可考虑根据公式统一转化为两个基本量1nnadnaS，11122nnn aan nSnad相信大家对高斯小时候算的故事耳熟能详，对于怎么算也知道的八九不123100离十，那对于一般的等差数列，前项和公式怎么求呢，类似的推导如下：n若等差数列的公差为，为数列前项和，可以用倒序相加法求和 nadnS nan倒序相加法：1231111()(2 )(1)nnSaaaaaadadand把项的顺序反过来：121()(2 )(1)nnnnnnnnSaaaaaadadand项数首项等差数列前项和n第项n公差精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业两式相加得，11112()()()()nnnnnSa

26、aaaaaaa得11()(1)22nnn aan nSnad从函数角度看等差数列的前项和公式：n将前项和公式整理成，故时，是关于的常数项为的二次函n2122nddSnan0d nSn0数，从函数的角度看知，当时，有最小值；当时，有最大值可以结合下面nS0d nS0d nS例 7 的拓 2 理解一下这个结论，这方面的更多性质及其应用会在春季同步时展开由等差数列求和公式的形式，我们可以直接看出公差的值，如；d29nSnn2d ，则；22nSnn 4d 若是的二次函数，那么这个数列一定是等差数列吗？nSn举例，则不是等差数列，首项会出问题，从第二项起是公差为的等差数22nSnnna2列如果的表达式不

27、含常数项，则是等差数列所以由前项和判断是不是等差数列，nS nan一定要检验一下前两项满不满足经典精讲【铺垫】等差数列的各项的和为_371179，已知数列是等差数列，则_na13a 2d 20S【 ；820，134ad，1120naand 20379208202S ；4402020 1920324402S 【例 7】 已知数列是等差数列，则前项和_ na15a 525a nnS 已知数列是等差数列，则使得的项数_ na14a 716a 154nS n 已知等差数列的前项和，则_，_nan236nSnn1a na （2010 辽宁文 14）设为等差数列的前项和，若，则 nSnan36324SS，

28、9a （目标班专用） （2010 丰台一模理 8）已知正整数按如下规律排成一列：、，1 , 11 , 22 , 11 , 32 , 23 , 11 , 42 , 33 , 24 , 1，则第个数对是（ ）60A B C D10 , 12 , 105 , 77 , 5【 ；，25522nn1425ad5d 2(1)5555222nn nSnnn 11；，14a 716a 71612daa2d ，有，1(1)(1)4215422nn nn nSa ndn4(1)1540nn n即，或（舍去）231540nn(14)(11)0nn11n 14n 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 ；963n

29、 ，；由，故 （也可求出求和）119aS32d6d 63nan1nnnaSS 15；，解得，316132332656242SadSad112ad 91815aad（目标班）C根据题中数列的规律，坐标和为的数有个：k1k 和为：、21 , 1和为 ：、31 , 22 , 1和为：、，41 , 32 , 23 , 1和为：，51 , 42 , 33 , 24 , 1，(1)122n nn10 1111 12556022即和小于等于的数有个，从而第项的和为，11556012前几项依次为：，(1 11)(210)(39)(48)(57)，因此第项为605 , 72.3 等差数列性质初步学过了等差数列的

30、基本概念和简单的计算后，我们会发现等差数列只需要确定两个基本量，然后不管条件怎么变，等差数列的题都可以由这两个数经过一定的运算求出来不1ad，过在求解的过程中，如果只是生搬等差数列最基本的公式，有的题目的运算量就会比较大，导致计算出错的可能就会增加如何尽可能避免很多不必要的繁琐的计算，这就要学习一点点小技巧，这些小技巧就是我们要学的等差数列的性质考点 7：等差数列的性质知识点睛1等差中项：若成等差数列，则称为的等差中项，xAy，Axy，2xyA2等差数列的简单性质（其中公差为）： nad （） ；()nmaanm d*mnN， 若，则有；若，则有（，pqmnpqmnaaaa2mpq2mpqaa

31、apqm） ；nNO123456654321精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业若，则pqmnpqmnaaaa 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，为等差数nan ma2nma，列，公差为；md的前项和为，则 nannS2121nnSna 2121nnSna对于性质可以举简单的例子，求，可以先求，再由和求，也可353ad，6a1a1ad6a以引入性质求解 对于，可以由一些简单的例子之类的得出猜想，然后进行证明1423aaaa 对于性质，可以从隔项取一个的等差数列进行探索，然后隔两个，隔多个进行考虑这一讲对等差数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点

32、学习对性质的简单证明如下：，1111122pqaaapdaqdapqd同理可得，122mnaaamndpqmnpqmnaaaa，11naand11n maanmd2121nmaanmd，1111n mnaaanmdandmd，211211nmn maaanmdanmdmd，为等差数列，公差为；nan ma2nma，md，121211221212nnnnaaSaaa1212nnaaa2121nnSna这条性质是的推论，性质是等差数列题目中经常出现的经典精讲【铺垫】在等差数列中，则的值为（ ） na1910aa5aABCD56810在等差数列中，则_na37513aa，d 11a13S 【 A；由

33、等差数列性质 1 得，所以；1952aaa55a ；221 169，7324aad1173221aaa13713169Sa【例 8】 是与的等差中项，则 ；a4242a 为等差数列，则 220180a，a 下标和相等对应项的和相等211221nnSaaa项数中间项精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（2010 全国卷6）如果等差数列中，那么（ na34512aaa127aaa）A14 B21 C28 D35设是等差数列的前项和，则 nS nan128a 99S 16S已知等差数列满足，则其前 10 项的和_ na244aa7910aa10S（目标班专用）在等差数列中，若，则的值为 na4

34、681012120aaaaa91113aa_【4； 424242a2001802202002aC；由，得， 所以 34512aaa44a 12717417()7282aaaaaa ，955991Saa 5121616722aaS ；35；2433242aaaa79882105aaaa1101038105()352aaSaa16；，故468101281205aaaaaa824a 9118881122324163333aaadada本题可以让学生先用普通方法做一遍，然后再介绍利用等差数列性质解题的简便方法，通过这个对比说清学习等差数列性质的重要性，并说明春季我们会介绍更多的性质【拓展拓展】 （第

35、21 届希望杯全国数学邀请赛高一 16）已知等差数列的前项和为，若不经过点的直线上的三点满足 nannSOABC、，则_32008OBa OAaOC 2010S【1005、三点共线，则由ABC32008320081OBa OAaOCaa 又为等差数列 na120102200932008100510061aaaaaaaa2010122010Saaa1201010051006()()aaaa1005 实战演练【演练 1】 写出下列数列的通项：nana ；9999999999，1313，24816，【；101nna ；2( 1)nna ( 2)nna 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【演练

36、 2】 数列：，求出，是否有最大、最小值？na111234，( )naf nna【，有最大值，没有最小值1( )1naf nnna12【演练 3】 已知数列是一个等差数列，且，则数列的通项_ na48a 820a nana 【；34nan 解法一：设的公差为，由已知条件 解出， nad1138720adad 3d 11a 1(1)1(1)3naandn 133n 34n 解法二： ，84420( 8)12daa 3d 138ad 11a 34nan 【演练 4】 已知等差数列满足，则它的前 10 项的和为_ na3824aa10S在等差数列中，的前项和为，若，则 na nannS515S 24

37、aa【 120法一：，3824aa111272924adadad101110455 29120Sadad法二：，3824aa1103824aaaa11010101202aaS 6；，53515Sa33a 24326aaa【演练 5】 设等差数列的前项和为，若，求的值，当取最小值 nannS111a 466aa 5anS时 的值n【设该数列的公差为，由等差数列的性质，d46526aaa 53a 111a ，解得，5143118daa 2d 所以，所以当时，取最小值22(1)11212(6)362nn nSnnnn 6n nS【演练 6】 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 第 1

38、列第 2 列第 3 列第 1 行123第 2 行246第 3 行369那么位于表中的第行、第列的数是n1n 【2nn第行第 1 列的数为，第行的数构成公差为的等差数列，nnnn故第行，第列的数为n1n 2(1 1)nnnnn 概念要点回顾1已知数列的前项和为，则_ nannSna 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2等差数列的前项和公式_ nannS 3等差数列，若，则_ na2pqmpqaa2ma谷神星的发现1766 年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学教师，把下面的数列：3，6，12，24，48，96，192的前面加上 0，即：0，3，6，12，24，48，96，192然后再把每个数

39、字都加上 4，就得到了下面的数列：4，7，10，16，28，52，100，196再把每个数都除以 10，最后得到：0.4 0.7 1 1.6 2.8 5.2 10 19.6 ，令提丢斯惊奇的是，他发现这个数列的每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太阳的距离比例（地球到太阳的距离定为 1 个天文单位）有着一定的联系水星金星地球火星谷神星谷神星木星土星天王星天王星计算距离0.40.71.01.62.85.21019.6提丢斯的朋友，天文学家波得深知这一发现的重要意义，就于 1772 年公布了提丢斯的这一发现，这串数从此引起了科学家的极大重视；并被称为提丢斯波得定则即

40、太阳系行星与太阳的平均距离当时，人们还没有发现天王星、海王星，以为土星就是距太阳最远的行星1781 年，英籍德国人赫歇尔在接近的位置上（即数列中的第八项）发现了天王星，从此，人们就19.6对这一定则深信不疑了根据这一定则，在数列的第五项即的位置上也应该对应一颗行星，只是2.8还没有被发现于是，许多天文学家和天文爱好者便以极大的热情，踏上了寻找这颗新行星的征程1801 年新年的晚上，意大利天文学家皮亚齐还在聚精会神地观察着星空突然，他从望远镜里发现了一颗非常小的星星，正好在提丢斯波得定则中的位置上可是，当皮亚齐再想进一步观察这2.8颗小行星时，他却病倒了等到他恢复健康，再想寻找这颗小行星时，它却

41、不知去向了皮亚齐没有放弃这一偶然的机会，他认为这可能就是人们一直没有发现的那颗行星，并把它命名为“谷神星”在高斯之前，著名数学家欧拉曾经研究出了一种计算行星轨道的方法可是，这个方法太麻烦高斯决心去寻找一种简便易行的方法在前人的基础上，高斯经过艰苦的运算，以其卓越的数学才能创立了一种崭新的行星轨道计算理论他根据皮亚齐的观测资料，利用这种方法，只用了一个小时就算出了谷神星的轨道形状，并指出它将于何时出现在哪一片天空里1801 年 12 月 31 日夜，德国天文爱好者奥伯斯，在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空果然不出所料，谷神星出现了！高斯的计算方法成功了高斯从笔尖上寻找到的这颗行星，在隐藏了整整一年后，向人们显示了数学在科学研究中的巨大作用