浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷理科

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1、2015年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求请将你认为正确的选项答在指定的位置上）1（5分）（2012台州模拟）已知集合A=x|xa，B=x|1x2，且A（RB）=R，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba1Ca2Da22（5分）函数的值域为（）A（0，3）B0，3C（，3D0，+）3（5分）（2008上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A充要条件B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件D既不充分也

2、不必要的条件4（5分）如图所示程序框图中，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）AcxBxcCcbDbc5（5分）若实数x，y满足则z=x2y的最小值是（）A0BC2D36（5分）在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为（）A6B7C8D97（5分）（2007四川）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则

3、a与b满足的关系式为（）A4a5b=3B5a4b=3C4a+5b=14D5a+4b=148（5分）从正方体ABCDA1B1C1D1的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A8种B12种C16种D20种9（5分）（2014仁寿县模拟）已知双曲线=1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q若点P是线段F1Q的中点，且QF1QF2，则此双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=2xDy=3x10（5分）（2009杭州二模）设函数f（x）=xsinx在（0，+）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，an，则对任意正整数n必

4、有（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11（4分）若a为实数，则a等于_12（4分）（2007安徽）若的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于_13（4分）在ABC中，若，C=150，BC=1，则AB的值为_14（4分）（2014闵行区三模）等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为_15（4分）设向量满足+2+3=，且（2）若|=1，则|=_16（4分）甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则的数学期望为_17（4分）在长方形ABC

5、D中，AB=3，BC=1，E为DC的三等分点（靠近C处），F为线段EC上一动点（包括端点），现将AFD沿AF折起，使D点在平面内的摄影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角DAFB平面角余弦值的变化范围是_三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx（）求函数f（x）的最小正周期T和函数f（x）的单调递增区间；（）若函数f（x）的对称中心为（x，0），求x0，2）的所有x的和19（14分）已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（I）求数列an的通项公式；（）若数列bn满

6、足：b1=a1且bn=an+bn1（n2，nN*），求数列bn的通项公式20（15分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0a）（1）当a为何值时，MN的长最小；（2）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值21（15分）已知M（2，3）、N（2，3）两点在以F（2，0）为右焦点的椭圆C：=1（ab0）上，斜率为1的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN的两侧）（I）求椭圆C的方程；（）求四边形ANBM面积的最大值22（14分）已知函数f（x）=lnxa（x2x）（aR）（）当

7、a=1时，求f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）在1，2的最大值参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求请将你认为正确的选项答在指定的位置上）1（5分）（2012台州模拟）已知集合A=x|xa，B=x|1x2，且A（RB）=R，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba1Ca2Da2考点：交、并、补集的混合运算专题：集合分析：先求出RB，从而根据集合A及A（RB）=R即可求出a的取值范围解答：解：RB=x|x1，或x2，若A（RB）=R；a2故选C点评：考查描述法表示集合，以及集合的并集、补集运算，也可借助数轴求解

8、2（5分）函数的值域为（）A（0，3）B0，3C（，3D0，+）考点：函数的值域专题：计算题分析：先求出x1时函数的值域；再求出x1时的值域，将两段的值域求并集，即得函数的值域解答：解：当x1时，y=3x，此时当x1时，y=log2x，此时y0所以函数的值域为0，+）故选D点评：求分段函数的值域，应该分段求，再将求出的各段的函数值域求并集3（5分）（2008上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A充要条件B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件D既不充分也不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要

9、条件的判断；函数奇偶性的判断专题：压轴题分析：本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值解答：解若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（x）=f（x），g（x）=g（x），h（x）=f（x）+g（x）=f（x）+g（x）=h（x），“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B点评：本题考查充要条件的判断和函数奇偶性的判断，属基本题4（5分）如图所示程序框图中，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）Acx

10、BxcCcbDbc考点：程序框图专题：图表型分析：由于该程序的作用输出a、b、c中的最小数，因此在程序中要比较数与数的大小，第一个判断框是判断x与b的大小，故第二个判断框一定是判断最小值x与c的大小解答：解：则流程图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，第一个判断框是判断x与b的大小，第二个判断框一定是判断最大值x与c的大小，并将最大数赋给变量x，故第二个判断框应填入：xc，故选：A点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题5（5分）若实数x，y满足则z=x2y的最小值是（）A0BC2D3考点：简单线性规划专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域，将z=x2

11、y化为y=xz，z相当于直线y=xz的纵截距，由几何意义可得解答：解：由题意作出其平面区域，将z=x2y化为y=xz，z相当于直线y=xz的纵截距，则当过（0，1）时有最小值，即z=02=2，故选C点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题6（5分）在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为（）A6B7C8D9考点：简单空间图形的三视图专题：空间位置关系与距离分析：由俯视图可得最底层小正方体的个数，即所有小正方体的摞数

12、，从左视图和主视图可以看出每摞小正方体的个数，相加可得答案解答：解：由俯视图可得所有小正方体共6摞，每摞小正方体的个数如下图所示：故这些正方体货箱的个数为8个，故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，其中准确把握空间几何体的几何特征，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键7（5分）（2007四川）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A4a5b=3B5a4b=3C4a+5b=14D5a+4b=14考点：平面向量数量积坐标表示的应用分析：构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根

13、据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果解答：解：与在方向上的投影相同，4a+5=8+5b，4a5b=3故选：A点评：投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0时投影为|b|；当q=180时投影为|b|8（5分）从正方体ABCDA1B1C1D1的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A8种B12种C16种D20种考点：排列、组合及简单计数问题专题：应用题；排列组合分析：根据题意，使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面的情况数目，再分析求出其中其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面的情况数目，进而可得

14、答案解答：解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共C63种不同的取法，而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则选法共有C638=12种故选B点评：本题考查组合的运用，但涉及立体几何的知识，要求学生有较强的空间想象能力9（5分）（2014仁寿县模拟）已知双曲线=1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q若点P是线段F1Q的中点，且QF1QF2，则此双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=2xDy=3x考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：点P是F1Q的中点，O是F1F2的中点，利用三角

15、形的中位线定理可得OPF2Q已知QF1QF2，可得F1QOP进而得到直线F1P的方程，即可得到点P的坐标，利用余弦定理，即可求得双曲线的渐近线方程解答：解：如图所示，点P是F1Q的中点，O是F1F2的中点，OPF2QQF1QF2，F1QOPOP的方程为y=x，=，直线F1P的方程为y=（x+c）联立，解得，即P（，）|PF1|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF1|=|OF2|=|OQ|=c，|QF2|=2a，tanQOF2=，cosQOF2=，由余弦定理，得cosQOF2=1=，e2e2=0，解得e=2，或e=1（舍）b=a，双曲线的渐近线方程为y=x故选B点评：本题综合考查了双曲线的标准方

16、程及其性质、三角形的中位线定理、勾股定理、相互垂直的直线之间的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题10（5分）（2009杭州二模）设函数f（x）=xsinx在（0，+）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，an，则对任意正整数n必有（）ABCD考点：数列与三角函数的综合专题：计算题；压轴题分析：对函数求导，使得导函数等于0，函数f（x）在（0，+）内的全部极值点就是函数y=tanx与y=x的交点的横标，观察两函数图象的交点，在每一个周期上都有一个交点，且从左向右，交点的位置更靠近左渐近线，两个点之间的横标的差解答：解：函数f（x）=xsinx，f（x）=sinx+xcosx=0t

17、anx=x，函数f（x）在（0，+）内的全部极值点就是函数y=tanx与y=x的交点的横标，观察两函数图象的交点，从纵轴向右，在每一个周期上都有一个交点，且从左向右，交点的位置依次更靠左渐近线，两个交点之间的横标之差小于一个周期，大于半个周期，故选C点评：本题考查数列与三角函数的综合，解题的关键是看清题目整理后转化为两个基本初等函数的交点的横标之间的关系二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11（4分）若a为实数，则a等于考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件专题：计算题分析：复数方程两边同乘1+，化简利用复数相等，求出a即可解答：解：可得2+ai=2i所以a=故答案为：点

18、评：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数相等的充要条件，是基础题12（4分）（2007安徽）若的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于7考点：二项式定理专题：计算题分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，令x的指数为0，求出n，r的关系，求出最小的正整数n解答：解：展开式的通项为令其中r=0，1，2，n所以当r=6时，最小的正整数n等于7故答案为：7点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题13（4分）在ABC中，若，C=150，BC=1，则AB的值为考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：由tanA的值及A的范围，利用同角三角函数间的基本

19、关系求出sinA的值，再由sinC及BC的值，利用正弦定理即可求出AB的值解答：解：tanA=，cos2A=，又A（0，30），sinA=，又sinC=sin150=，BC=1，根据正弦定理得：=，则AB=故答案为：点评：此题考查了正弦定理，及同角三角函数间的基本关系熟练掌握定理及公式是解本题的关键，同时在求sinA时注意A的范围14（4分）（2014闵行区三模）等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为考点：等比数列的性质专题：计算题；压轴题分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即

20、可求得q解答：解：等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质属基础题15（4分）设向量满足+2+3=，且（2）若|=1，则|=考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由条件利用两个向量垂直的性质，求得b2=，从而求得|的值解答：解：由题意可得（2）=（2）（）=（4）=（4）=（41）=0，求得b2=，|=，点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模，属于基础题16（4分）甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、

21、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则的数学期望为考点：离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：随机变量可能取的值为1，2，事件“=2”是指有两人同时参加A岗位服务，由此可得的分布列，进而得到的数学期望解答：解：随机变量可能取的值为1，2，事件“=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P（=2）=，所以P（=1）=1P（=2）=，即的分布列如下表所示12P（10分）的数学期望E（）=2+1=，故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的概率与分布列和数学期望，属于中档题17（4分）在长方形ABCD中，AB=3

22、，BC=1，E为DC的三等分点（靠近C处），F为线段EC上一动点（包括端点），现将AFD沿AF折起，使D点在平面内的摄影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角DAFB平面角余弦值的变化范围是，考点：二面角的平面角及求法专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离分析：过点D作DMAF于点O，交AB于点M，不妨设二面角DAFB的平面解为，则cos=，从而求其取值范围解答：解：如图，过点D作DMAF于点O，交AB于点M，不妨设二面角DAFB的平面解为，则cos=，设DF=x，2x3，由勾股定理，OD=，OF=，OA=，cos=在2，3上是减函数，cos故答案为：，点评：本题考查了学生的作图能力及空间想

23、象力，注意折起前后的等量关系是本题解决的关键，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx（）求函数f（x）的最小正周期T和函数f（x）的单调递增区间；（）若函数f（x）的对称中心为（x，0），求x0，2）的所有x的和考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（）化简可得：从而可求函数f（x）的最小正周期T和函数f（x）的单调递增区间；（）令即可求出x的值，因为x0，2）故可求所有x的和解答：解：（I）由题得：f（x）=cos2x+sinxcosx=cos2xs

24、in2x=sin（2x+），令，可得：递增区间为；（II）令，可得：，x0，2）k可取1，2，3，4所有满足条件的x的和为：点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，属于基础题19（14分）已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（I）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足：b1=a1且bn=an+bn1（n2，nN*），求数列bn的通项公式考点：数列的求和；数列递推式专题：等差数列与等比数列分析：（I）通过已知条件，等差数列的性质，求出第三项以及第六项，得到公差，即可求数列an的通项公式；（）利用数列bn满足：b1=a1且bn=an+bn

25、1（n2，nN*），利用数列求和，求解数列bn的通项公式解答：（本小题满分14分）解：（I）由题得：（2分）又公差d0（4分）d=2，an=2n1（7分）（II）bn=an+bn1（n2，nN*），bnbn1=2n1（n2，nN*）（9分）bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1（n2，nN*）且b1=a1=1（11分）（n2，nN*）（14分）点评：本题考查数列的综合应用，数列的递推关系式的应用，数列的基本知识的考查20（15分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0a）（1）当

26、a为何值时，MN的长最小；（2）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；与二面角有关的立体几何综合题专题：综合题；空间角分析：（1）作MPAB交BC于点，NQAB交BE于点Q，连接PQ，易证MNQP是平行四边形，根据MN=PQ=，可求出MN的长，利用配方法即可求出MN的最小值；（2）取MN的中点G，连接AG、BG，根据二面角的平面角的定义可知AGB即为二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值即可解答：解：（1）作MPAB交BC于点，NQAB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，MN=PQ

27、CM=BN=a，CB=AB=BE=1，AC=BF=，CP=BQ=aMN=PQ=0a，a=，即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小为；（2）取MN的中点G，连接AG、BG，AM=AN，BM=BN，G为MN的中点AGMN，BGMN，即AGB即为二面角的平面角又AG=BG=，所以由余弦定理有cos=面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值为点评：本题考查空间距离的计算，考查面面角，考查学生的计算能力，属于中档题21（15分）已知M（2，3）、N（2，3）两点在以F（2，0）为右焦点的椭圆C：=1（ab0）上，斜率为1的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN的两侧）（I）求椭圆C的

28、方程；（）求四边形ANBM面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）通过椭圆的焦点求出焦距，利用椭圆的定义求出a，然后求解b，即可求椭圆C的方程；（）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出|xAxB|，然后求四边形ANBM面积的表达式，即可求解面积的最大值解答：（本小题满分15分）解：（I）右焦点为F（2，0）左焦点为F（2，0）（1分）2a=|MF|+|MF|=8a=4（4分）即：a2=16，b2=a2c2=12（6分）椭圆C的方程为：（7分）（II）设l：y=x+m，联立可得：7x2+8mx+4m248=0（9分）xA+xB=

29、 xAxB=（11分）四边形ANBM的面积即：（13分）等号成立当且仅当m=0时，验证m=0交点在直线MN两侧成立 （14分）面积的最大值为（15分）点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的方程的求法，韦达定理的应用，二次函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力22（14分）已知函数f（x）=lnxa（x2x）（aR）（）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）在1，2的最大值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：（）通过a=1，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；

30、（）求出函数的导数，通过a与0的大小，讨论，分别判断函数的单调性求解求f（x）在1，2的最大值解答：（本小题满分14分）解：（I）当a=1时 f（x）=lnxx2+x（3分）f（1）=0，f（1）=0即：所求切线方程为：y=0（6分）（II）当a=0时，f（x）0，f（x）在1，2上递增f（x）max=f（2）=ln2（7分）当a0时 可令g（x）=2ax2+ax+1，x1，2g（x）的对称轴且过点（0，1）当a0时，f（x）0在1，2恒成立，f（x）在1，2上递增f（x）max=f（2）=ln22a（9分）当a0时，若g（1）0，即：a1时，f（x）0在1，2恒成立，f（x）在1，2上递减，f（x）max=f（1）=0（10分）若g（1）0，g（2）0，即：时，f（x）在上大于零，在上小于零f（x）在上递增，在上递减，（12分）若g（1）0，g（2）0，即：时，f（x）0在1，2恒成立， f（x）在1，2上递增，f（x）max=f（2）=ln22a（13分）综上：（14分）点评：本题考查函数的导数的应用，闭区间上的函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力内容总结